Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

1. SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 11.HAFTA İÇERİĞİ -

2. EĞRİ UYDURMA SAYISAL YÖNTEMLER Bir çok mühendislik uygulamalarında deneylerden ya da geçmiş tecrübelerden elde edilen tablo bilgileri vardır. Genellikle bir bağımsız değişkene (x) bağlı olarak bağımlı değişkenin (y) değeri bu tablolarda verilir. Bu verileri kullanarak bilinmeyen değerlerin tahmin edilmesi sık sık karşılaşılan bir ihtiyaçtır. Bilinmeyen değerler verilen tablo bilgileri arasında kalan bir değer olduğu gibi tablo dışındaki bir bilgi de olabilir. Ara değer tahmininde 2 tür yaklaşım kullanılır. 1-İnterpolasyon 2-Eğri uydurma Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

3. 1-İnterpolasyon Deneylerden elde edilen değerler tam doğru ise ara değerlerin bulunmasında interpolasyon yaklaşımı kullanılır. Bu yaklaşımda tüm veri noktalarından geçen bir eğri uydurmaya çalışılır. Eğer n+1 tane veri varsa n. dereceden bir polinom tüm noktalardan geçer. Ya da noktalar arasında doğrusal interpolasyon yapılabilir. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

4. 2-EĞRİ UYDURMA SAYISAL YÖNTEMLER Eğer deneysel verilerin değerleri tam (kesin) doğru değilseeğri uydurma yaklaşımından yararlanarakara değerler tahmin edilir. Eğri uydurmada her veri noktasından geçen eğri yerine, verilerin genel eğimini gösteren bir eğri tahmin edilir. Çünkü deneylerden elde edilen ölçme aleti hatası, okuma hatası, deney şartlarının tam olarak kontrol edilememesi gibi sebeplerden dolayı kesin doğru değildir. Bu nedenle tüm veri noktalarından geçen interpolasyon yaklaşımı ile elde edilen değerler hatalı olacaktır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

5. SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal eğri uydurma (doğrusal reglasyon) Eğrisel eğri uydurma (eğrisel reglasyon) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Eğri uydurmada her bir noktaya uğramayan, verilen genel eğimine uyan bir yaklaşım fonksiyonu türetilir. Fakat verilerin arasından çok sayıdadoğru ya da eğri çizilebilir. Bunların hepsi de bu verilerin genel eğilimini göstermektedir denilemez.

6. y e5 e4 e3 e2 e1 x SAYISAL YÖNTEMLER Bu nedenle eğri uydurmada en doğru eğrinin belirlenmesini sağlayan bir KRİTER’e ihtiyaç vardır. Birçok kriter tanımlanabilir. Fakat en uygun kriter gerçek veri değeri ile türetilen fonksiyonun değeri arasında kalanhata değerinin kullanılmasıdır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü e= Hata değeri Bu kriteri kullanan ve yaygın bir kullanımı olan yöntem ‘EN KÜÇÜK KARELER’ yöntemidir.

7. EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ y e5 e4 e3 e1 e2 x Kesme noktası =ao SAYISAL YÖNTEMLER En küçük kareler yönteminin en basit örneği bir deney verileri için doğru uydurmaktır. Deneyler sonucunda (x1, y1), (x2,y2) … (xn,yn) değerleri bulunsun. Bu noktalardan geçen en uygun doğrunun denklemi : Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Eğim=a1 Burada ygerçek değer, xbağımsız, e ise gerçek değer ile tahmin edilen değer arasındaki hatayı gösterir. Ayrıca doğru denkleminde aoy eksenini kesme noktasını ve a1’de eğimi gösterir.

8. SAYISAL YÖNTEMLER Yukarıdaki denklemden hatanın değeri: e = y – ao – a1x Eğri uydurmada bu hata değeri en uygun eğrinin elde edilmesinde kriter olarak kullanılır. Bu amacı sağlayacak ilk yaklaşım hata değerlerinin toplamınınminimum yapılmasıdır: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Burada nveri sayısını gösterir.

9. SAYISAL YÖNTEMLER Fakat bu kriter eğri uydurma için çok uygun değildir. Çünkü hata bazen pozitif bazen de negatif değerler almaktadır. Bu nedenle birbirlerini götürerekyanlış bir yaklaşıma sebebiyet verirler. Bu olumsuzluğun giderilmesinde mutlak değerlerinin toplamının minimum yapılması kullanılabilir. Fakat bu durumda da aynı amacı sağlayan birden fazla uydurulabilir.Bunlar arasında hangisinin kullanılması hakkında yöntem bir şey söyleyemez. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

10. SAYISAL YÖNTEMLER Sonuç olarak diğer yöntemlerin olumsuzlukların giderilmesinde kullanılan kriter ‘hataların kareleri toplamının’ minimum yapılmasıdır. Hataların kareleri toplamı ЄT; Bu kriter kullanılarak ao ve a1 değerlerinin belirlenmesi ile verilere uyan en uygun doğru belirlenmiş olur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

11. a) Doğrusal eğri uydurma SAYISAL YÖNTEMLER En küçük kareler yönteminin anlaşılması için en basit yaklaşım veriler arasında doğru denklemi belirlemektir. Bunun için daha önce ifade edilen hataların kareleri toplamı denklemi kullanılır. ЄT’yi minimum yapan ao ve a1’i belirlemek için ЄT denklemi ayrı ayrı bu değerlere göre türevi alınır ve 0’a eşitlenir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

12. SAYISAL YÖNTEMLER ao için bulunan denklemi düzenlersek ve dönüşümü sonucunda: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sonra a1 için bulunan denklemi düzenlersek; elde edilir.

13. SAYISAL YÖNTEMLER Bu iki denklem; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Lineer (doğrusal) denklem takımı elde edilir. Bu denklem takımını bilinen yöntemlerin biri ile çözülür.

14. SAYISAL YÖNTEMLER Eğer yerine koyma yöntemi kullanılırsa: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü elde edilir. Ya da lineer denklem matris şeklinde yazılabilir. çözülür.

15. ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER Aşağıdaki tablo değerlerine uygun doğrusal eğri denklemini en küçük kareler yöntemine göre uydurunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

16. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

17. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

18. b) Polinom Uydurma SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal yaklaşımın uygun olmadığı durumlarda başka eğri formları denenmelidir. Eğrinin veriler için daha iyi olduğu durumlarda doğrusal yaklaşım için açıklanan en küçük kareler yöntemi polinom uydurmaya da uygulanabilir. n. derecen bir polinom : Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü şeklindedir. En küçük kareler yöntemi n. dereceden bir polinom uydurmak için kolayca genişletilebilir. Bunun için öncelikle 2. dereceden bir polinom için yöntemi uygulayalım. şeklinde yazılır.

19. y x SAYISAL YÖNTEMLER Hata (e) : e = y - ao + a1x - a2x2 e3 e4 e6 e5 e1 Tahmin değeri e2 e7 Gerçek değer Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Hataların kareleri toplamı (ЄT); Burada bilinmeyenler ao, a1, a2olduğundanЄT’nin bu katsayılara göre türevi alınarak 0’a eşitlenir.

20. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gerekli düzeltmeler yapıldığında; ve son düzeltmeler ile

21. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü elde edilir. Görüldüğü gibi 3. dereceden lineer denklem takımı oluşturuldu. Bu denklemler herhangi bir yöntem ile çözülerek ao, a1, a2 bulunur.

22. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Buradan görüldüğü gibi 2. dereceden bir polinom uydurma için 3 doğrusal denklem sistemininçözülmesi gerekir. Bu genelleştirilerek n.dereceden bir polinom için n+1 adet lineer denklemin çözülmesi gerektiği söylenebilir.

23. ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER Yandaki tablo değerlerine uygun 2.dereceden polinom eğrisini en küçük kareler yöntemi ile uydurunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

24. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

25. SAYISAL YÖNTEMLER Herhangi bir yöntem ile çözülürse: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ao= 4.787544 a1= 0.573114 a2= 0.721519

26. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

27. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

28. ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER Yandaki tablo değerlerine uygun 2.dereceden polinom eğrisini en küçük kareler yöntemi ile uydurunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

29. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

30. SAYISAL YÖNTEMLER Herhangi bir yöntem ile çözülürse: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ao= 12.16667 a1= 1.345758 a2= -0.01545

31. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

32. DETERMİNASYON (BELİRLİLİK R2 KATSAYISI) SAYISAL YÖNTEMLER Uydurulan eğrinin, verilere uygunluğunun belirlenmesinde belirlilik R2 katsayısı kullanılır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Gerçek Tahmin Bulunan belirlilik katsayısı R2, kurulan fonksiyon ile elde edilen bağımlı değişkenlerin, gerçek değerlere uyan miktarının yüzdesel (%) değerini verir.

33. DETERMİNASYON (BELİRLİLİK R2 KATSAYISI) SAYISAL YÖNTEMLER • Belirlilik katsayısının değeri 0≤ R2 ≤ 1 arasında değişir. • Eğer R2 = 0 ise bu veriler arasında bir uyumluluğun olmadığını gösterir. • Eğer R2=1 ise tam bir uyum vardır • Eğer R2 bu iki değer arasında ise yorum yapmak oldukça zordur. Bu nedenle ara değerlerin yorumlanmasında veri sayısından (n) yararlanılır. • a) Çok sayıda veri varsa 0.25 e kadar düşmüş değerler bile anlamlı olabilir (n>20) • b) Az sayıda veri varsa 0.71’in üstü anlamlı (15>n>10) • c) Eğer normal sayılabilecek kadar veri varsa • 0-0.49 arası zayıf • 0.5-0.74 arası orta • 0.75-1 arası kuvvetli ilişki vardır denilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü