Deux cas spéciaux

1. Deux cas spéciaux une observation par cellule facteurs fixes versus facteurs aléatoires

2. Exemple: une observation par cellule SSA = 2(5-6)2 + 2(7-6)2 = 4.00 df: 1 SSB = 2(4-6)2 + 2(8-6)2 = 16.00 df: 1 MSSwithin = ∑∑(xij - Xj.) 2 /N-k= ?

3. Analyse de la variance avec une observation par cellule àl’aide de SPSS

4. Output

5. Une application: intraclass correlation

6. Analyse

8. Facteursaléatoires • Modèle général linéaire: Facteurs aléatoires xij = µ + i + i + i + eij • i = une valeur tirée d’une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance de 2a, si l’hypothèse nulle est vraie=> 2a= 0 • i = une valeur tirée d’une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance de 2b, si l’hypothèse nulle est vraie => 2b= 0 • i = une valeur tirée d’une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance de 2ab, si l’hypothèse nulle est vraie => 2ab= 0.

9. Estimation des variances • Deux facteurs aléatoires • MSQlignes : 2p + n2ab + nc2a • MSQcolonnes : 2p + n2ab + nr2b • MSQinteraction : 2p + n2ab • MSQerreur : 2p • Modèle mixte • Facteur aléatoire comme ci-haut • Facteur fixe : MSQeffet est divisé par MSQwithin - MSQaléatoire

10. Exemple Les dégâts causés par des insectes en fonction du type de blé et du terrain

11. Output

12. Random Factors

13. Output

14. Analyse de variance à mesures répétées

15. Exemple Traitements Sujets 1 2 3 moyennes 1 30 28 34 30.67 2 14 18 22 18.00 3 24 20 30 24.67 4 38 34 44 38.67 5 26 28 30 28.00 moyennes 26.4 25.6 32.0 28.00

16. Estimation des variances • Sommes des carrés: • SCbetween = 121.6 et SCwithin = 734.4 • les SCerreur pour un modèle mixte se calculent: SCwithin - SCfacteur aléatoire • SCsujets = k ∑∑(X.i - X..)2 = 3[(30.667-28) 2 + (18-28) 2 + ... + (28-28) 2] = 696.02 • SCerreur = SCwithin - SCsujets = 38.38 • degrés de liberté • il faut utiliser les degrés de liberté de l’erreur dans le cas d’une analyse avec une observation par cellule: (n-1) (k-1)

17. Postulats de base • 1. les observations sont indépendantes • 2. il y a normalité multivariée • 3. il y a sphéricité • Uniformité: Tous les éléments de la matrice des variances et covariances sont égaux. • Sphéricité: Les variances des différences de toutes les paires de mesures répétées sont égales. Ceci est le cas quand toutes les variances ainsi que toutes les corrélations entre les variables sont égales.

18. Exemple

19. Solutions • approche univariée traditionnelle • F[; K-1, (N-1)(K-1)] • approche univariée corrigée • F[; (K-1) , (N-1)(K-1)] avec  entre 1/(K-1) et 1.0;  = 1 quand il y a sphéricité  (Greenhouse et Geisser, 1959) ~ Huynh et Feldt, 1976) • approche multivariée

20. Puissance des tests: exemples n = 24; m1 = 49.17, m2 = 49.72, m3 = 50.28, m4 = 50.83 Exemple 1 univariée Greenhouse-Geisser: .49 univariée Huynh-Feldt: .51 multivariée: .40 Exemple 2 univariée Greenhouse-Geisser: .49 univariée Huynh-Feldt: .51 multivariée: .85

21. Algina et Keselman, 1997 • L’approche multivariée est préférable quand: • K  4, N ≥ K + 15 et  .90 ou • 5  K  8, N ≥ K + 30 et  .85 • avec K - nombre des traitements • N - nombre des sujets ~

22. Exemple: Approche univariée Approche multivariée

23. SPSS - repeated measures Analyze -> general linear model -> repeated measures

24. Définir les facteurs

25. Post-hoc pour facteur non répété

26. Post-hoc pour facteur répété

27. Moyennes et écarts-types

28. Approche multivariée

29. Approche univariée

30. Post-hoc

31. Test pour facteur non repété

32. Post-hoc

33. Tests post-hoc

34. Contraste simple

35. L’analyse des tendances

36. Tendancelinéaire

37. Tendance quadratique

38. Tendance cubique

39. Tendance linéaire et quadratique

40. Exemple

41. SPSS