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1 ． 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离 _____ 的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 _____ ，直线 l 叫做抛物线的 _____ ．

1 ． 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离 _____ 的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 _____ ，直线 l 叫做抛物线的 _____ ． 2 ． 抛物线的标准方程. 相等. 焦点. 准线. ( p ＞ 0). ( p ＞ 0). 3 ． 抛物线的简单几何性质. y ≤ 0. y ≥ 0. x ≥ 0. x ≤ 0. y 轴. y 轴. x 轴. x 轴. (0,0). e ＝ 1. 2 p.

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1 ． 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离 _____ 的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 _____ ，直线 l 叫做抛物线的 _____ ．

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Presentation Transcript

  1. 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离_____的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_____ ，直线l叫做抛物线的_____ ． 2．抛物线的标准方程 相等 焦点 准线

  2. (p＞0) (p＞0)

  3. 3．抛物线的简单几何性质 y≤0 y≥0 x≥0 x≤0

  4. y轴 y轴 x轴 x轴 (0,0) e＝1 2p

  5. 1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为 () A．4B．－2C．4或－4D．12或－2 答案：C

  6. 2．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是 () 答案：D

  7. 3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 () 答案：A

  8. 1．抛物线只有一种定义形式，在定义中，焦点F不在直线l上，否则它将表示一条直线．1．抛物线只有一种定义形式，在定义中，焦点F不在直线l上，否则它将表示一条直线． 2．抛物线没有中心，只有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴且离心率e＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决． 3．抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2＝2px关于y轴、直线x＋y＝0与x－y＝0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y2＝2px绕原点旋转±90°或180°也可得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．

  9. 4．求抛物线标准方程的方法 (1)根据条件判断抛物线标准方程的类型，把握顶点、对称轴，开口方向与方程式的对应关系． (2)抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．

  10. 考点一　抛物线定义的应用 【案例1】(2008·海南、宁夏)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 () (即时巩固详解为教师用书独有) 关键提示：作出图象，利用抛物线的定义可求出．

  11. 答案：A

  12. 【即时巩固1】　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【即时巩固1】　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标． 解：由定义知，抛物线上点P到焦点 F的距离等于点P到准线l的距离d，由 图可知，求|PA|＋|PF|的问题可转化 为求|PA|＋d的问题． 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，

  13. 考点二　求抛物线的标准方程 【案例2】　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程． 关键提示：应分焦点在y轴正半轴、负半轴两种情况，考虑利用抛物线的定义，结合待定系数法求抛物线方程．

  14. 【即时巩固2】　若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．【即时巩固2】　若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标． 所以p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x， 将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6， 所以M(－9,6)或M(－9，－6)．

  15. 考点三　抛物线的几何性质 【案例3】　如图，AB是过抛物线y2＝ 2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是 抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足，求证： (1)AN⊥BN； (2)FN⊥AB； (3)若MN交抛物线于Q，则点Q平分MN； 关键提示：利用抛物线的定义并结合平面几何知识进行证明．

  16. 证明：(1)作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D， 在直角梯形ABDC中， 因为|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|， 由平面几何知识可知△ANB是直角三角形， 即AN⊥BN. (2)因为|AM|＝|NM|，所以∠MAN＝∠MNA. 因为AC∥MN， 所以∠CAN＝∠MNA，所以∠MAN＝∠CAN.

  17. 在△ACN和△AFN中， |AN|＝|AN|，|AC|＝|AF|， 且∠CAN＝∠FAN，所以△ACN≌△AFN. 所以∠NFA＝∠NCA＝90°，即FN⊥AB. (3)在Rt△MFN中，连结QF，由抛物线的定义及(2)的结论得|QN|＝|QF|⇒∠QNF＝∠QFN， 且∠QFN＝90°－∠QFM，∠QMF＝90°－∠QNF， 所以∠QFM＝∠QMF.所以|QF|＝|QM|. 所以|QN|＝|QM|，即点Q平分MN. (4)当AB不垂直于x轴时，

  18. 点评：1.本例主要考查利用抛物线方程和平面几何性质得出有关抛物线焦点弦问题的一些结论．点评：1.本例主要考查利用抛物线方程和平面几何性质得出有关抛物线焦点弦问题的一些结论． 各题证明都可用抛物线的定义结合平面几何知识来证明，对(4)也可用代数方法完成． 由抛物线的焦点弦、准线以及根据定义所作的弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形，有很多有趣的结论，借助抛物线的定义及平面几何知识可以一一证明，对于与焦点弦有关的抛物线几何性质的证明，一般用几何法证明比用代数法证明更简单，所以对于一些解析几何问题，可以灵活运用平面几何性质并辅助代数运算进行，这就使我们的解析几何问题有了“双翼”，解决问题思路将更开阔．

  19. 2．抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛，例如：2．抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛，例如： 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|

  20. 【即时巩固3】　已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝ () 解析：抛物线C：y2＝8x的准线为 l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过 定点P(－2,0)．如图所示，过A、B分 别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，因 为|FA|＝2|FB|，所以|AM|＝2|BN|，点 B为AP的中点．连结OB，则|OB|

  21. 答案：D

  22. 考点四　抛物线几何性质的应用

  23. 【即时巩固4】(1)定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标．【即时巩固4】(1)定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标． 解：(1)如图，设F是抛物线y2＝ x的焦点，过A、B两点作准线的垂线 AC、BD，垂足分别为C、D，过M点 作准线的垂线为MN，N为垂足，

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