DIAGONALES

1. DIAGONALES HACIA UN ENCUENTRO MÁGICO CON LOS IRRACIONALES

2. Cuando emprendas tu viaje a Ítaca pide que el camino sea largo, lleno de aventuras, lleno de experiencias. Pide que el camino sea largo. Que muchas sean las mañanas de verano en que llegues -¡con qué placer y alegría!- a puertos nunca vistos antes.  Detente en los emporios de Fenicia y hazte con hermosas mercancías, nácar y coral, ámbar y ébano y toda suerte de perfumes sensuales. Ten siempre a Ítaca en tu mente. Llegar allí es tu destino. Mas no apresures nunca el viaje.  El Placer del Encuentro: Mirar, Ver y Reconocer

3. LA DIAGONAL Una diagonal es todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro. Etimología La palabra diagonal proviene del griego (diagonios), utilizada tanto por Estrabón como por Euclides para referirse al segmento que conecta dos vértices de un rombo o de un cuboide, y está formada por dia- ("a través") y gonia ("ángulo", relacionada a gony, "rodilla"). Luego fue adoptada por el latín como diagonus ("recta enfocante").

4. EN EL TRIÁNGULO B+A+C=180º B C A Alternos internos B C Un triángulo (tres ángulos) no tiene diagonales. La figura nos introduce en el concepto de DEMOSTRACIÓN: la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre 180º. Se trata de un INVARIANTE de la forma triangular.

5. EN EL CUADRADO El cuadrado tiene dos diagonales IGUALES que se cortan en el punto medio (esto caracteriza al rectángulo) PERPENDICULARMENTE (que lo cuadra)

6. 1 1 La Escuadra Formulación matemática del problema: X 1 DATOS e INCÓGNITA

7. 1 El Teorema de Pitágoras La medida indirecta (mediante el uso de FÓRMULAS –Teorema de Pitágoras-) conduce a

8. LA RAÍZ DE DOS es un NÚMERO que multiplicado por sí mismo da 2

9. El encuentro con lo Irracional Y, según cuenta la leyenda, Hipaso fue el culpable (si se me permite la expresión) de un descubrimeinto que paralizó la matemática griega durante un siglo. Al parecer Hipaso se planteó el problema de medir la diagonal de un cuadrado utilizando el lado como unidad de medida. Por plantear el problema de la forma más simple posible, tomemos un cuadrado de lado 1. En esta situación la pregunta que según parece se realizó Hipaso fue: ¿cuánto mide la diagonal de este cuadrado? Teniendo en cuenta la condición de pitagórico de Hipaso, es posible que él mismo esperara que la medida de esta diagonal pudiera expresarse como un número natural o una fracción… pero en realidad no fue así. Hipaso se dio cuenta de que esta medida no podía expresarse ni como un número natural ni como una fracción formada por números naturales. Ahora sabemos que esta diagonal mide raíz de dos, y que es un número de los conocidos como irracionales. Al menos esto cuenta la leyenda, esto es, que Hipaso fue el descubridor de este hecho. Lo que parece más cercano a la realidad fue que el propio Hipaso comunicó este descubrimiento fuera de la comunidad pitagórica… y esto fue lo que significó el final de Hipaso. Según algunas fuentes, los pitagóricos lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe pitagórica, aunque otras aseguran que lo que hicieron los pitagóricos fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

10. La Irracionalidad en La demostración MÁS HERMOSA

11. EL RECTÁNGULO MOD ¿Qué rectángulo es semejante a su mitad? Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

12. El DIN A = Mod Es el rectángulo de módulo que le hace imprescindible como formato de papel de fotocopiadora: es el único que permite hacer cuadernillos de hojas sueltas sin tener que recortar los márgenes.

13. EN EL PENTÁGONO El pentágono tiene cinco diagonales que son del mismo tipo: conforman la Estrella Pitagórica, Pentalfa, Pentagrama o Pentáculo.

14. Triángulos Sublimes Triángulos ISÓSCELES sublimes (Tienen los ángulos en proporción 3:1:1 y 1:2:2 respectivamente) ¡LA CLAVE ESTÁ EN EL CINCO!

15. 1 1 Figuras semejantes Estos dos triángulos son semejantes (existe una homotecia que tranforma uno en otro) Tienen ángulos iguales como se demuestra a continuación

16. La clave está en el cinco A Teniendo en cuenta que los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales tenemos que la diagonal en rojo es bisectriz del ángulo B. Es decir, los ángulos del triángulo isóscelesABC están en proporción de 1:2:2. α D α Triángulo isósceles sublime α α C B ¿Cuánto vale α? Luego ABC y BCD tienen dos ángulos homólogos iguales, y, por tanto, SON SEMEJANTES. α 2α 2α 2α 2α 2α α ABC BCD

17. Lado igual del grande Lado desigual del grande 1 Teorema de Tales Seguidamente, aplicamos el Terorema de Tales: “Los tiángulos semejantes tienen los lados proporcionales” 1 Lado igual del pequeño = X Lado desigual del pequeño X-1 Y, para finalizar, un poco de álgebra nos conduce a que X2 – X – 1 = 0

18. 1 EL NÚMERO DE ORO EL NÚMERO DE ORO

19. Un número con nombre propio A SECCIÓN AÚREA El punto C divide al segmento AB “en media y extrema razón” Es decir “El total es a la parte mayor, como la parte mayor es la parte menor” C ElNÚMERO DE ORO B 1

20. …que desvela la irracionalidad LA DIVINA PROPORCIÓN

21. La Irracionalidad de Φ Todo parece indicar [Boyer] que fue en figuras como ésta donde los griegos tuvieron la intuición de la irracionalidad (en este caso de Ф) Además, si aplicamos el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a Ф y 1, veremos palpa-blemente que son inconmensurables. Contemplaremos, además, como aparecen los cocientes parciales de su desarrollo en fracción continúa y cómo se delata el aspecto recursivo que tiene Ф visto como razón de una progresión geométrica tal que un término cualquiera es la suma de los dos anteriores. Teniendo en cuenta que Ф – 1 = 1/Ф, y dividiendo reiteradamente por Ф, se tiene que: Algoritmo de Euclides para el cálculo del máx. c. d. Ф = 1/Ф + 1/Ф2 + 1/Ф3 + 1/Ф4 + 1/Ф5 + 1/Ф6 + …

22. La Autosemejanza: El Secreto de Ф En efecto, el secreto de Φ es que es razón de la única progresión geométrica que también es `sumativa´ que presagia la estrecha relación de Ф con la Sucesión de Fibonacci 1, Ф, Ф2, Ф3, Ф4, … 1 + Ф = Ф2, Ф + Ф2 =Ф3, … Consideremos la sucesión de término general:         . Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias podemos concluir que la sucesión dada se convierte en

23.  El Rectangulo más Bello Nos preguntamos ahora qué rectángulo tiene como gnomón un cuadrado. De la figura se desprende que: Crecimiento gnomónico del Rectángulo Áureo La respuesta es que ese rectángulo es un rectángulo que tiene sus lados en Razón Áurea y por eso recibe el nombre de Rectángulo Áureo.

24. El crecimiento homotético La sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55… Tiene un término general “sorprendente”

25. EN EL HEXÁGONO El hexágono tiene diagonales (¿cuántas?) de dos tipos.

26. EN EL HEXÁGONO Empezamos por ésta.

27. EN EL HEXÁGONO 60º 60º 60º Lado Lado = Radio

28. 1 EN EL HEXÁGONO 2

29. EN EL HEXÁGONO Seguimos por ésta

30. 1 1 EN EL HEXÁGONO 2

31. 1 EN EL HEXÁGONO

32. 1 EL RECTÁNGULO MOD plegando desplegando Rectángulo módulo

33. DESPIECE Rombo Cartabón Triángulo equilátero

34. LA RAÍZ DE TRES 1 2

35. 1 EN EL HEPTÁGONO El heptágono tiene también dos tipos de diagonales, que por primera vez no llevan a ninguna raíz

36. Constucciones con regla y compás La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta. Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular: el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.

37. EN EL OCTÓGONO 1 El octógono tiene tres tipos de diagonales y volvemos a encontrarnos con y sus versiones 1+

38. El Podium de los Irracionales Algebraicos Simetría pentámera: característica de la vida. PENTÁGONO Simetría 6, 8, 10, 12: propia del crecimiento cristalino. NÚMERO DE ORO OCTÓGONO HEXÁGONO NÚMERO DE PLATA 3 NÚMERO DE PLATINO

39. EN EL CÍRCULO: un polígono de infinitos lados El círculo tiene infinitas diagonales IGUALES que se llaman DIÁMETROS

40. EN EL CÍRCULO Estudiaremos, en este caso, la razón (L/d) entre la longitud de una circunferencia=L y su diámetro=d.

41. La definición de un número: Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. Euclides fue el primero en demostrar que las razones así definidas en distintas circunferencias forman proporción, es decir, es una cantidad constante que no depende del tamaño. Con el tiempo, a ese número, que muchos siglos más tarde se demostró que era irracional, le llamaron π (pi).

42. L = 3,1415… d d/10 Esta frase nos da las diez primeras cifras decimales de π: Con 1 hilo y 5 mariposas, se pueden hacer mil cosas. En definitiva, cuenta cuántas veces cabe el diámetro d de una circunferencia en la longitud L de su perímetro.

43. La cuadratura del círculo Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático consistente en hallar —sólo con regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX, momento en que se demostró que este problema no tiene solución, lo que es equivalente a demostrar qe π es un número trascendente. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver. Como se muestra en la figura adjunta, cuadrar un círculo equivale a construir π mediante regla y compás, es decir, a demostrar que π es euclideano.

44. Los Irracionales Transcendentes En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema. Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.

45. LA VESÍCA PISCIS La vesica piscis (vejiga de pez en latín) es un símbolo hecho con dos círculos del mismo radio que se intersecan de manera que el centro de cada círculo está en la circunferencia del otro. Esta forma se denomina también mandorla (que significa "almendra" en italiano). Era un símbolo conocido en las antiguas civilizaciones de Mesopotamia, África y Asia.

46. HISTORIA En diversos periodos de la historia ha sido tema de especulaciones místicas; probablemente los primeros fueron los Pitagóricos, que la consideraban una figura sagrada. La razón matemática de su anchura (medida por los puntos extremos del "cuerpo", sin incluir la "cola") por su altura fue aproximada por el cociente 265:153. Esta razón, que da 1,73203, se consideró un número sagrado llamado la medida del pez. Exactamente, la razón geométrica de estas dimensiones es la raíz cuadrada de 3, o 1,73205... (ya que si se traza la línea recta que une los centros de ambos círculos, junto con los dos puntos donde los círculos se intersecan, se obtienen dos triángulos equiláteros unidos por un lado). El cociente 265:153 es una aproximación a la raíz cuadrada de 3, y tiene la propiedad de que no se puede obtener ninguna aproximación mejor con números más pequeños. El número 153 aparece en el Evangelio de Juan (21:11) como el número de peces que Jesús hizo que se capturaran en la milagrosa captura de los peces, lo que algunos consideran como una referencia cifrada de las creencias pitagóricas. Coventry Patmore escribió un poema titulado Vessica Piscis, en la parte XXIV del Libro I de su ciclo The Unknown Eros (El Eros desconocido, 1877)

47. PERÍMETRO 1

48. DIAGONAL Doble cuadrado 1 La diagonal de Vésica Piscis es la diagonal del rombo del hexágonoinscrito en el círculo

49. Ver al Mirar VÉSICA PISCIS EL TEMPLO DE LOS IRRACIONALES

50. Comprender al Ver