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Induktive Statistik

Induktive Statistik. Einleitung Stichproben Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische Prüfverfahren. Einleitung. Beispiel für induktive Statistik Neues Medikament Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist?

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Presentation Transcript

  1. Induktive Statistik • Einleitung • Stichproben • Stichprobenverteilungen • Bestimmung von Vertrauensbereichen • Statistische Prüfverfahren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  2. Einleitung Beispiel für induktive StatistikNeues Medikament • Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist? • Wie beweist man, dass es besser ist als die schon vorhandenen Medikamente? • Wie ist ein solcher Test manipulierbar? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  3. Stichproben Grundgesamtheit: Alle möglichen Ergebnisse des Versuchs Stichprobe: Die nErgebnisse eines tatsächlich durchgeführten Versuchs z.B. Ziehen aus einer UrneGrundgesamtheit: alle KugelnStichprobe die Kugel, die ich ziehe Unendlich viele Versuche: Stichprobe = Grundgesamtheit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  4. Begriff ‚Stichprobe‘ Kommt aus der Metall gewinnenden Industrie und dem Warenhandel Kleiner Teil der Schmelzmasse wurde dem Schmelzofen entnommen um die Qualität der Schmelzmasse zu prüfen Rückschluss von der Probe auf die gesamte Schmelzmasse (die Grundgesamtheit) Auch im Warenhandel (Käse, Getreide, etc.) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  5. Beispiel (1) Bestimmung der Größe der Studenten Vermessungswesen eines bestimmten Jahres N=20 Personen Einfachste Möglichkeit: Alle 20 abmessen  Erwartungswert und Varianz der Grund-gesamtheit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  6. Beispiel (2) Aber: Es ist uns zu aufwändig, also wählen wir n=5 Studenten und messen deren Größe  Stichprobe Wir wollen nun von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen Anzahl der möglichen Stichproben: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  7. Beispiel (3) Ausgangspunkt: Die 5 Studenten wurden zufällig ausgewählt  Mittelwert ist eine Zufallsgröße Mittelwert hat also eine Wahrscheinlich-keitsverteilung (Stichprobenverteilung) Zentraler Grenzwertsatz  Stichproben-verteilung ist die Normalverteilung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  8. Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels Ab etwa n=30 normalverteilt • Erwartungswert: • Standardabweichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  9. Stichprobenverteilung der Standardabweichung Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheit Es folgt: Normalverteilung für die Stich-probenverteilung der Standardabweichung S für n   • Erwartungswert: • Standardabweichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  10. Stichprobenverteilung der Differenz zweier Standardabweichungen Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheiten, große Stichproben(n > 100) Es folgt: Normalverteilung für die Stich-probenverteilung der Differenz der Standardabweichungen DS=S1-S2 • Erwartungswert: • Standardabweichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  11. Vertrauensbereiche Mittelwert ms und Standardabweichung ss sind Punktschätzwerte für m und s Keine Information über Zuverlässigkeit oder Genauigkeit (keine Angaben über Abweichung vom wahren Wert) Abhilfe: Vertrauensbereiche (Vertrauens-, Konfidenzintervall) Mit Stichprobendaten berechnetes Intervall Überdeckt den wahren Wert mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit S Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  12. Vertrauensbereich für Mittelwertbei bekanntem s (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x1, … xn Standardabweichung aus Erfahrung Vertrauensbereich mit P(mu<m<mo) = S Mit muuntere und moobere Vertrauens-grenze Normierte Normalverteilung:P(-us<l<+us) = S Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  13. Mittelwert der Stichprobe Vertrauensbereich für Mittelwertbei bekanntem s (2) us: -Quantill: Stichprobenfunktion Also: Einfache Umformungen: Grenzen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  14. Beispiel Streckenmessung x=130,100m s=4,0cm n=4 S=0,95 Tabelle im Skriptum: us=1,96 P(130,061m<m<130,139m)=0,95 oder: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  15. Vertrauensbereich für Mittelwertbei unbekanntem s (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x1, … xn Standardabweichung nur Schätzwert Vertrauensbereich für die normierte Normalverteilung: P(-tS<t<+tS) = Smit der Stichprobenfunktion Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  16. Vertrauensbereich für Mittelwertbei unbekanntem s (2) Also: Einfache Umformungen: Grenzen: Vertrauensbereich: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  17. Beispiel Streckenmessung x=130,100m s=4,0cm n=4 S=0,95 Tabelle im Skriptum: tS=3,18 (k=4-1=3) P(130,036m<m<130,164m)=0,95 oder: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  18. Vertrauensbereich für die Standardabweichung (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x1, … xn Standardabweichung Vertrauensbereich mit P(su<s<so) = S‘‘ Mit suuntere und soobere Vertrauens-grenze Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  19. Vertrauensbereich für die Standardabweichung (2) Ausgangspunkt: Dichtefunktion der Standardabweichung ist die c2-Verteilung, kann geschrieben werden als S2: Zufallsgröße „Varianz der Stichprobe“k: Anzahl der Freiheitsgrade Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  20. Vertrauensbereich für die Standardabweichung (3) Wenn nicht wahre Fehler e sondern Verbesserungen v: k=n, wenn der wahre Wert bekannt, sonst k=n-1 Es folgt und Also: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  21. Beispiel Streckenmessung s=4,0cm n=4 S=0,95 Tabelle im Skriptum: qu=0,57, qo=3,73 (k=4-1=3) quS=0,574,0cm=2,3cm qoS=3,734,0cm=14,9cm oder: P(2,3cm<s<14,9cm)=0,95 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  22. Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (1) Formeln für Mittelwert bei unbekannter Standardabweichung auch auf Ausgleichungsaufgaben anwendbar Mittel gleich ausgeglichenen Unbekannten oder Messwerten Standardabweichung des Mittels gleich Standardabweichung der Unbekannten oder Messwerten Freiheitsgrade k gleich Anzahl der überschüssigen Messungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  23. Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (2) Beliebiges Ergebnis (Unbekannte oder Messwert) G mit Standardabweichung mG mittSaus der Tabelle für 2-seitige Sicherheitqu, qo als abgeleitete Sicherheitsgrenzen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  24. Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (3) Vertrauensbereich im Allgemeinen aussagekräftiger als Standardabweichung Standardabweichung selbst nur Schätzwert für wahren Wert Standardabweichung nicht mit Wahrscheinlichkeit verbunden Bei geringer Redundanz oft nur unzureichende Beschreibung Vertrauensbereich immer mit Wahrscheinlich-keitsaussage verbunden  deutlicher und zutreffender Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  25. Statistische Prüfverfahren (1) Statistischer Test stellt fest, ob die Daten einer Stichprobe mit einer Hypothese übereinstimmen Zu testende Behauptung: Nullhypothese z.B. Gleiche Mittelwerte – H0: m1=m2 Stichprobenfunktion wird gewählt – liefert Sicherheitsgrenzen Berechnung einer Prüfgröße Vergleich Prüfgröße – Sicherheitsgrenze Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  26. Statistische Prüfverfahren (2) Prüfgröße innerhalb der Sicherheitsgrenzen (Annahmebereich): Hypothese wird angenommen Prüfgröße außerhalb der Sicherheitsgrenzen (Ablehnungsbereich): Hypothese wird abgelehnt Sicherheitswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) üblicherweise 95% (selten 99% - hochsignifikant) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  27. Vorsicht! • Annahme einer Hypothese bedeutet, dass die Stichprobe nicht gegen die Hypothese spricht • Annahme bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% richtig ist • Ablehnung bedeutet, dass die Prüfgröße in einem Bereich liegt, in dem sie bei richtiger Hypothese nur zu 5% liegen würde • Ablehnung bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% falsch ist Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  28. Fehler bei Tests • Fehler erster Art: Ablehnung einer richtigen Hypothese (Wahrscheinlichkeit dafür 5% bzw. 1%) • Fehler zweiter Art: Annahme einer falschen Hypothese (Angabe einer Wahrscheinlichkeit nicht möglich) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  29. Praktische Durchführung • Formulierung der Fragestellung • Aufstellen der Hypothese • Wählen der Stichprobenfunktion und Berechnen der Prüfgröße • Entnahme der Sicherheitsgrenzen aus der entsprechenden Tabelle • Entscheidung über Annahme oder Ablehnung und Beantwortung der Fragestellung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  30. Test von m bei bekanntem s Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  31. Beispiel Refraktionskoeffizient x=0,15 s=0,03 n=10 Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0=0,13also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,96 2,11>1,96 Hypothese abgelehnt, es muss 0,15 verwendet werden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  32. Test von m bei unbekanntem s Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  33. Beispiel Polarplanimeter x=9,97mm2 s=0,015 n=4 k=3 m0=10mm2 Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert m0=10also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle bei k=3tS=3,18 4,00>3,18  Hypothese abgelehnt, es muss 9,97 verwendet werden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  34. Test von m1 und m2 bei bekanntem s1 und s2 Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also Stichprobenfunktionmit Prüfgröße Sicherheitsgrenze und Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  35. Beispiel Senkungserscheinungen x‘ = 32,120m s1=8mm n1=6 x‘‘= 32,113m s2=5mm n2=4 Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,96 1,71<1,96  Hypothese angenommen, keine signifikanten Senkungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  36. Test von m1 und m2 bei unbekanntem s1 und s2 (1) Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also Stichprobenfunktionmitmit dem gewogenen Mittel der Varianzen als Varianz Grundgesamtheit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  37. Test von m1 und m2 bei unbekanntem s1 und s2 (2) Prüfgröße Sicherheitsgrenze mit k=n1+n2-2 Freiheitsgraden Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  38. Beispiel Bauwerksbewegungen x‘=50,630m n1=26 u1=18 s02=0,26mgon Qxx=3,00 x‘‘=50,636m n2=34 u1=21 s02=0,22mgon Qxx=2,53 Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle tS=2,08 1,08<2,08  Hypothese angenommen, keine signifikanten Bewegungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  39. Test einer Standardabweichung (1) Hat die Grundgesamtheit eine bestimmte (vorgegebene) Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheit hat Standardabweichung s0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  40. Test einer Standardabweichung (2) Sicherheitsgrenze aus Tabelle, dabei Entscheidung, ob • Test gegen Alternativhypothese s>s0 (einseitige Fragestellung): cS2 oder • Test gegen Alternativhypothese ss0(zweiseitige Fragestellung): quund qoabgeleitete Prüfgröße: Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  41. Beispiel Nivellement (einseitig) s=3,8mm k=8s0=2,5mm Hypothese: Grundgesamtheit hat s0=2,5mm, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle cS2=15,5 18,5>15,5  Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist geringer Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  42. Beispiel Stationsausgleich (zweiseitig) s=0,1mgon k=44s0=0,14mgon Hypothese: Grundgesamtheit hat s0=0,14mgon, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle qu=0,85, qo=1,22 1,4>1,22  Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist zu hoch Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  43. Test zweier Standardabweichungen Haben die beiden Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheit haben gleiche Standardabw., also Stichprobenfunktion Prüfgröße (s12>s22) Sicherheitsgrenze mit k1/k2aus Tabelle Vergleich (Alternativ: s1>s2) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  44. Beispiel Messgenauigkeit s1=0,39mgon s2=0,27mgon k1=20 k2=15 Hypothese: Messungen gleich genau, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle FS=2,33 2,09<2,33  Hypothese angenommen, beide Geräte gleich genau Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  45. Test mehrerer Standard-abweichungen (Cochran-Test) Haben alle Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheiten haben die gleiche Standardabw., also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  46. Beispiel Messgenauigkeit 8 Messungen mit je 10 übersch. Beob. 0,42, 0,41, 0,36, 0,39, 0,42, 0,52, 0,40, 0,38 Hypothese: Messungen gleich genau, also Prüfgröße SicherheitsgrenzeGmaxS=0,283 0,283>0,196  Hypothese angenommen, keine Änderung der Genauigkeit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  47. Cochran-Test Besonders gut geeignet, wenn eine Standardabweichung wesentlich größer als die anderen Auch verwendbar, wenn Anzahl der Freiheitsgrade nur nahezu gleich Größere Unterschiede bei den Freiheits-graden: Bartlett-Test Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  48. Test eines Korrelationskoeffizienten Ist der Korrelationskoeffizient gleich Null? Hypothese: Korrelationskoeffizient gleich Null, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  49. Beispiel trig. Höhenmessungen 15 Messungen nach 2 Punkten  Verbesserungen Hypothese: Keine Korrelation, also Prüfgröße SicherheitsgrenzetS=2,17 2,57>2,17  Hypothese abgelehnt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

  50. Test eines extremen Merkmals (Ausreißertest) Ist ein Wert ein Ausreißer? Hypothese: Wert gehört zur Grundgesamt-heit, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

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