Principi fisici di conversione avanzata (Energetica L.S.)

1. Principi fisici di conversione avanzata (Energetica L.S.) G.Mazzitelli ENEA Quarta/Quinta Lezione

2. Terza/Quarta Lezione • Le reazioni nucleari • La fusione -Reazioni di Fusione -Bilancio Energetico -Plasma -Moto delle particelle cariche in presenza di campi E e/o B • -Il Tokamak • -Principio di funzionamento • -Equilibrio • -Riscaldamento • -Stabilità

3. Reazioni Nucleari In un tipico esperimento di laboratorio abbiamo: x + X y + Y dove x è la particella incidente su un target di nuclei X e y e Y sono i prodotti della reazione rispettivamente un nucleo Y e una particella y Esempio:

4. Reazioni Nucleari • Come in una reazione chimica, in una reazione nucleare il numero di protoni e di nucleoni deve essere conservato • La reazione deve conservare l’energia, l’impulso e il momento angolare Calcoliamo il Q della reazione

5. Reazioni Nucleari Assumiamo che X si fermo e che le energie cinetiche delle particelle siano molto inferiori alla loro energia a riposo (cinematica non relativistica) Energia iniziale = Energia finale

6. Reazioni Nucleari • Possiamo avere due casi: Q>0 energia nucleare è convertita in energia cinetica - reazione esotermica Q<0l’energia cinetica della particella incidente è convertita in energia di legame reazione endotermica

7. Reazioni Nucleari Esercizio: In una reazione endotermica l’energia cinetica della particella incidente deve essere sufficiente anche per l’energia a riposo in più dei prodotti di reazione. Ciò significa che il processo avviene al di sopra di una certa energia minima o soglia. Trovare la formula per l’energia di soglia (trattare il problema nel sistema di riferimento del centro di massa)

8. Reazione di fusione La reazione nucleare consiste nella fusione di due nuclei leggeri che producono un nucleo più pesante di massa inferiore alla somma delle masse iniziali. La reazione determina un rilascio di energia sotto forma di energia cinetica dei prodotti di reazione. DE = mc 2

9. Reazione di fusione • La più promettente reazione di fusione è: 1D2 +1T32He4+0n1 3.5 MeV + 14.1 MeV = 17.6 MeV

10. Reazione di fusione Calcoliamo il bilancio delle masse: D = (2 - 0.000994) mp T = (3 - 0.006284) mp a = (4 - 0.027404) mp n = (1+0.001378) mp Dm = 0.01875 mp E =Dmc2=2.818x10-12joules = 17.59 MeV

11. Reazione di fusione La sezione d’urto a basse energie è piccola a causa della repulsione coulombiana che impedisce ai nuclei di avvicinarsi rm=raggio del nucleo

12. Reazione di fusione L’effetto tunnel della meccanica quantistica fa si che il picco della sezione d’urto per la reazione D-T avviene ad energie minori di quelle richieste per superare la barriera coulumbiana. Il picco si ha per energie dei nuclei intorno ai 100 KeV. Assumendo che le nostre particelle abbiano una distribuzione di velocità maxwelliana il numero di medio reazioni di fusione per unità di tempo e di volume è:

13. Reazione di fusione

14. P nT =nD Bilancio Energetico E’ possibile a “priori” determinare a quali condizioni un plasma termonucleare può produrre energia per mezzo delle reazioni di fusione ? Calcoliamo : Energia prodotta da reazioni nucleari D-T (W/m3) < s v > E a

15. Bilancio Energetico Energia persa (W/m3) (3 2) / nk T ( + T ) i e P = l t E dell’energia t = tempo di confinamento E n = T =n Assumendo T nD i = e T 2 Uguagliando energia persa e energia prodotta si ha: n 3 nkT < s v > W = n 4 t E 12 kT n t = E < s v > E a

16. Bilancio Energetico Ma tra 10 – 20 keV il rate della reazione dentro un 10% è - 24 2 3 -1 < s v . 1 x 10 T s , T in keV >= 1 m così che usando E = 3 . 5 MeV a la condizione per l' ignizionediventa : 21 -3 t nT > 3 x 10 m keVs E n = densità =1020m-3 T = temperatura=10keV tE= tempo di confinamento dell’energia=3s

17. Bilancio Energetico Con questi valori del triplo prodotto n,T e tE la reazione si autostiene. Ovverosia l’energia cinetica delle particelle a riscalda il plasma senza apporto dall’esterno Quando si raggiunge questa condizione si ha I’ignizione.

18. Il Plasma • Il plasma (quarto stato della materia) è un gas ionizzato • In un plasma gli atomi sono dissociati nei loro costituenti ioni ed elettroni. • Un plasma, come un gas, può essere descritto in termini di densità e temperatura delle particelle.

19. 14

20. Il Plasma Un plasma ha due caratteristiche proprie: – Complessivamente è quasi-neutro;ovverosia le cariche di un certo segno non sono mai in eccesso rispetto a quelle di segno contrario. – Campi elettrici e magnetici cambiano sensibilmente le proprietà fisiche del plasma.

21. Il Plasma Quasi-neutralità Questa condizione è ciò che caratterizza un plasma e permette di definirlo “quantitativamente ” tramite il raggio di Debye: Te l D >>cost n Affinchè un plasma possa essere considerato come un gas di particelle cariche,macroscopicamente neutro, è necessario che la sua dimensione tipica L sia molto più grande di lD

22. 1 ö æ- KT f / u = A mu ( 2 ) exp ç e 2 è ø +¥ ò n= f (u ) du - ¥ Il Plasma Come in un gas in equilibrio termodinamico, la distribuzione delle velocità delle ioni ed elettroni in un plasma è Maxwelliana: dove A è una costante, ½ mu2 è l’energia cinetica, K è la costante di Boltzmann (K=1.38x10-16 erg/ºK), f(u)du rappresenta il numero di particelle per cm3che hanno velocità compresa tra u e u+du la densità, o il numero di particelle per cm3 sarà:

23. Il Plasma Supponiamo di perturbare lo stato di equilibrio del plasma con un campo elettrico generato da una particella test di carica positiva +q posizionata nell’origine. Calcoliamo il potenziale elettrostatico f(r). La funzione di distribuzione adesso deve tener conto della nostra particella test e diviene: La densità sarà: i,e ioni ed elettroni

24. Il Plasma Se assumiamo che la perturbazione al potenziale elettrostatico è debole,cioè: qf (r)/KT<<1 Allora possiamo riscrivere l’eq. per la densità r e per la densità di carica

25. Il Plasma Se consideriamo la prima eq. di Maxwell e la relazione tra il campo elettrico e il potenziale scalare Otteniamo l’equazione di Poisson:

26. Il Plasma Assumendo simmetria sferica abbiamo: dove l = e KT / N e 2 D 0 risolvendo otteniamo : ö æ e ç f ( r ) = exp( - 2 r / l ) ç D l 2 4 p r è ø D

27. Il Plasma Pertanto il potenziale decade esponenzialmente e l’effetto della particella test è neutralizzato su una distanza pari alla lunghezza di Debye che in una utile forma diventa: lD=2.35x105(T/n)1/2 m, T in eV In un tokamak 0.01<lD<0.1 mm

28. Il Plasma • Se applichiamo una piccola differenza di potenziale nel plasma scorre corrente. • Se applichiamo un campo magnetico il moto delle ioni ed elettroni non è più random

29. Moto delle particelle L’equazione del moto di una particella di massa mJ e carica eJ in presenza di un campo magnetico è: dv m =e v x B J J dt Se B è uniforme e diretto lungo l’asse z abbiamo: dv dv dv y v w v z = 0 = w x = y cj x cj dt dt dt

30. Moto delle particelle e B j dove w = cj m j è la frequenza ciclotronica . Se separiamo vx e vynell’eq. precedente si ha: la cui soluzione è :

31. Moto delle particelle ma v =dx / dt e v = dy / dt per cui x y int egrando ancora abbiamo : x = - r cos w t y = r sen w t Lj cj Lj cj dove m v v j ^ r = ^ = Lj w e B cj j è il raggio di Larmor

32. Moto delle particelle Pertanto le particelle descrivono delle eliche nella direzione del campo magnetico. La direzione delle rotazione è tale che il campo magnetico generato è tale da opporsi al campo esterno. Il plasma è diamagnetico

33. Moto delle particelle Se adesso consideriamo la presenza di un campo elettrico l’equazione del moto diviene: r r r r d v = + m q( E v x B ) dt r r nel // B caso più semplice che E d (m ) v E =e j // j // dt la particella è accelerata

34. Moto delle particelle Ma cosa succede se il campo magnetico ha un gradiente parallelo a B

35. Moto delle particelle • Assumiamo che le variazione del campo B siano molto piccole su una distanza dell’ordine del raggio di Larmor rL e che il campo sia assisimmetrico ovverosia la componente in q sia nulla. • Partiamo dall’eq .di Maxwell : = 0 Ñ·B

36. 1 r ∂ 1 ∂B ∂B ( ) rB + + = 0 q z ∂ r ∂ z r r ∂ q Moto delle particelle • In coordinate cilindriche = Ñ · B 1 ∂B ma B = 0 e = 0 per cui q q r ∂ q 1 ∂ B ∂ ( ) rB = - z r ∂r r ∂z

37. r r L L ∂ ∂ B ò ò z rB dr = - r dr ( ) r ∂ r ∂ z 0 0 Moto delle particelle Integrando nell’intervallo di un rL abbiamo: ∂ B z se var ia poco nell ' int ervallo ∂ z 0 < r < r lo consideria mo cos tan te L ,

38. Moto delle particelle Pertanto: B = - ( r / 2 ∂ ) B / ∂ z r L Se B var ia poco lo sostituiamo con B z Calcoliamo la componente z della forza v r B ∂ [ ] F = q v B - v B = q ^ L z q r 2 ∂ z v m ma r = ^ qB L

39. Moto delle particelle Per cui si ha: 2 1 mv ∂ B F = - ^ z 2 B ∂ z se definiamo il momento magnetico della particella ruo tan te come 1 mv 2 m = : ^ 2 B allora ∂ B F = - m z ∂ z

40. Moto delle particelle m è molto importante perche è un invariante adiabaticocioè come la particella si muove in zone di campo più forte o più debole cambia il suo raggio di Larmor ma m rimane invariato. Dimostriamolo!

41. Moltiplich iamo la forza per z d dt Moto delle particelle v   1 dB mv = - m 2 z 2 dt L ' energia della particella si conserva d m cos ì che = 0 c . d.v. dt

42. 1 mv ∂ 2 B ^ - Fz = 2 B Moto delle particelle Ma torniamo all’espressione della forza: ∂z notiamo che: • Non dipende dalla carica elettrica • Respinge le particelle verso le zone di campo B più debole

43. Moto delle particelle Sulla scala di rL le particelle girano rapidamente intorno al centro di guida ma in presenza di: 1 E ^ B B 2 Ñ B ^ 3 Curvatura di B 4 E(t) Il centro di guida si sposta (drift) perpendicolarmente

44. Moto delle particelle r r r ExB vd = Drift elettrico B 2 ioni E B elettroni

45. Moto delle particelle r r r 1 B x Ñ B Drift dovuto ad un gradiente v r V v = d Lj ^ 2 B 2 ioni B Ñ B elettroni

46. Moto delle particelle 1 r r Drift dovuto alla v + v 2 2 r B x Ñ B // 2 ^ = v curvatura del campo d w B 2 cj

47. Moto delle particelle r r d E 1 Drift di polarizzazione v = d w B dt cj E B

48. Confinamento magnetico • Abbiamo visto che in presenza di un gradiente di campo parallelo a B si ha:

49. Confinamento magnetico • Per ovviare alle perdite longitudinali, l’idea più ovvia e quella di richiudere il cilindro su stesso a formare un toro.

50. Confinamento magnetico Solo un campo magnetico toroidale non confina le particelle. E’ necessario sovrapporre un campo magnetico poloidale. La configurazione magnetica risultante sono delle superfici chiuse l’una dentro l’altra e le particelle si avvolgono su di esse.