El problema de dos ciclistas y una mosca (recuerda la paradoja de Zenón)

1. El problema de dos ciclistas y una mosca (recuerda la paradoja de Zenón) http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Zenon/zenon.htm Tres soluciones: la simple, la elaborada y la numérica. Alberto Rojas Hernández y Ricardo Ramírez Martínez Trimestre 05P Mayo de 2005

3. Consideraciones para el plantemiento del problema: Se puede usar un sistema de coordendas de un dimensión, que sigue la misma dirección. Así, el ciclista 1 –que parte de la ciudad A– puede decirse que avanza en el sentido positivo, en tanto que el ciclista 2 –que parte de la ciudad B a 300 km de distancia de la ciudad A, avanza en el sentido negativo. Entonces la velocidad de los ciclistas puede expreserase como Si arbitrariamente se elige como cero la de la ciudad A, para la posición de los ciclistas y la mosca y t0 = 0 cuando todos comienzan a moverse, al encontrarse los ciclistas al tiempo final tf:

4. Respuesta simple Los ciclistas se encuentran justo a la mitad del camino, ya que llevan la misma velocidad en magnitud, pero viajan en sentido contrario sobre la misma dirección. Así: ciclista 1 ciclista 2 50tf = (300-fxc2) = 150 km 50tf = fxc1 = 150 km tf = 150 km/(50km/h) = 3 h Los ciclistas se encuentran cuando han viajado 3 horas. Ahora bien, si la mosca viaja a velocidad constante de 100 km/h, después de 3 h debe haber recorrido una distancia fdm = 100tf = = 100(3) km = 300 km

5. Respuesta elaborada Condición inicial de la primera etapa t = 0 ciclista 2 t = 0 ciclista 1 + mosca 300 km 0 Ecuaciones de movimiento: ciclista 1 50t = xc1 mosca 100t = xm ciclista 2 50t = (300-xc2)

6. Respuesta elaborada Primer encuentro: mosca con ciclista 2. Final de la primera etapa. 50t = (300-xc2) 100t = xm t1 = 2h ciclista 2 + mosca 50t = xc1 t1 = 2h ciclista 1 100 km 200 km 300 km 0 Mosca encuentra al ciclista 2 x1 = 100t1 = 300 – 50t1 t1 = 300/150 = 2h x1 = (100km/h)(2h) = 200 km

7. Respuesta elaborada Condición inicial de la segunda etapa t´ = 0 ciclista 2 + mosca t´ = 0 ciclista 1 100 km 0 Ecuaciones de movimiento: ciclista 1 50t´ = x´c1 mosca 100t´ = (100 – x´m) ciclista 2 50t´ = (100 – x´c2)

8. Respuesta elaborada Segundo encuentro: mosca con ciclista 1. Final de la segunda etapa. 100t´2 = (100 – x´2) 50t´ = (100 – x´c2) 50t´2 = x´2 t´2 = (2/3)h ciclista 2 t´2 = (2/3)h ciclista 1 + mosca (100/3) km (200/3) km 100 km 0 Mosca encuentra al ciclista 1 x´2 = 100 (1 - t´2) = 50t´2 t´2 = 100/150 = (2/3)h x´2 = (50km/h)[(2/3)h] = (100/3) km

9. Respuesta elaborada Condición inicial de la tercera etapa t ´´ = 0 ciclista 2 t´´ = 0 ciclista 1 + mosca (100/3) km 0 Ecuaciones de movimiento: ciclista 1 50t´´ = x´´c1 mosca 100t ´´ = x´´m ciclista 2 50t´´ = ([100/3]-x´´c2)

10. Respuesta elaborada Tercer encuentro: mosca con ciclista 2. Final de la tercera etapa. 50t´´ = ([100/3]-x´´c2) 100t´´ = x´´m t´´3 = (2/9)h ciclista 2 + mosca 50t´´ = x´´c1 t´´3 = (2/9)h ciclista 1 (100/9) km (200/9) km (100/3) km 0 Mosca encuentra al ciclista 2 x´´3 = 100t´´3 = (100/3) – 50t´´3 t´´3 = 100/[(3)150] = (2/9)h x´´3 = (100km/h)([2/9]h) = (200/9) km

11. Respuesta elaborada Condición inicial de la cuarta etapa t (iii) = 0 ciclista 2 + mosca t (iii) = 0 ciclista 1 (100/9) km 0 Ecuaciones de movimiento: ciclista 1 50t (iii) = x (iii)c1 mosca 100t(iii) = ([100/9] – x (iii)m) ciclista 2 50t (iii) = ([100/9] – x (iii)c2)

12. Respuesta elaborada Cuarto encuentro: mosca con ciclista 1. Final de la cuarta etapa. 100t(iii)4 = ([100/9] – x(iii)4) 50t(iii) = ([100/9] – x(iii)c2) 50t(iii)4 = x(iii)4 t (iii)4 = (2/27)h ciclista 2 t (iii)4 = (2/27)h ciclista 1 + mosca (100/9) km (100/27) km (200/27) km 0 Mosca encuentra al ciclista 1 x(iii)4 = (100/9)(1 - 9t(iii)4) = 50t(iii)4 t(iii)4 = 100/[(9)150] = (2/27)h x(iii)4 = (50km/h)[(2/27)h] = (100/27) km

13. Respuesta elaborada • De las cuatro etapas descritas anteriormente, se pueden obtener las siguientes conclusiones: • La distancia que separa a los ciclistas al principio de cada etapa se puede representar de acuerdo a la expresión: • La mosca recorre en cada etapa (2/3) de las distancia que separa a los ciclistas al principio de cada etapa, en tanto que cada ciclista sólo recorre (1/3) de la misma distancia, en el sentido en el que se mueve. Por lo tanto, la distancia recorrida por la mosca, en cada etapa (idm) es:

14. Respuesta elaborada • De las cuatro etapas descritas anteriormente, se pueden obtener las siguientes conclusiones: • El tiempo transcurrido en cada etapa se puede obtener a partir de la velocidad que lleva la mosca (vm = 100 km/h) : • de manera que:

15. Respuesta elaborada • De las cuatro etapas descritas anteriormente, se pueden obtener las siguientes conclusiones: • La distancia total recorrida por la mosca puede escribirse de acuerdo a la expresión: • El tiempo total recorrido por la mosca es:

16. Respuesta elaborada • Es posible demostrar que: • por lo que esta respuesta elaborada lleva a los mismos resultados que la respuesta simple. • Aunque teóricamente, dentro del modelo el número de etapas es infinito, en la realidad los ciclistas se alcanzan para un tiempo finito (3h). • A continuación, se muestra una solución numérica de la respuesta elaborada, obtenida con la ayuda de la hoja de cálculo Excel.