Programação Linear

1. Programação Linear Introdução Prof. Antonio Carlos Coelho

2. Por Que Modelos de Programação Matemática • Constatação básica: • Recursos limitados e escassos • exemplos: tempo, dinheiro, recursos naturais, capacidade instalada • Necessidades ilimitadas e crescentes • princípios de eficiência e eficácia • Objetivo do modelo: • Possibilitar aos agentes econômicos decidir sobre o melhor uso dos recursos limitados • Proporcionar a otimização da alocação de recursos escassos de modo a maximizar lucros e minimizar custos

3. Preço de venda $ 260.000 $ 258.000 Custo variável $ 205.000 $ 204.000 Modelo 4 portas Modelo 2 portas Alocação de recursos com restrição única • Uma indústria automobilística fabrica 2 modelos de veículos com as seguintes características: MC unitária $ 55.000 $ 54.000 • Cada porta possui uma maçaneta, que é igual para todas as portas. • Num determinado mês, há uma restrição de 8.000 maçanetas. • Quanto devo produzir de cada modelo para maximizar a Margem de Contribuição para a empresa no período?

4. Alocação de recursos com restrição única • Princípio geral: • fabricar o produto que proporciona maior MC por fator limitativo: • 4 portas: $ 55.000/4 maçanetas = $ 13.750/ maçaneta • 2 portas: $ 54.000/2 maçanetas = $ 27.000/ maçaneta

5. Alocação de recursos com restrição única • Solução: • produzir modelo de 2 portas • 4.000 veículos (8.000 maçanetas / 2 portas) • MC total: 4.000u X $ 54.000 = $ 216.000.000 • Se produzir modelo de 4 portas • 2.000 veículos (8.000 maçanetas / 4 portas) • MC total: 2.000u X $ 55.000 = $ 110.000.000

6. E quando há mais restrições? • Aplicam-se modelos deProgramação: • Linear • Linear Inteira • Multiobjetiva (goal programming) • Não Linear • Outros modelos: • Simulação • Análise da Decisão

7. Programação Linear • É uma técnica matemática que auxilia na determinação da melhor utilização dos recursos limitados de uma organização em problemas com relações lineares

8. Programação Linear APLICAÇÕES USUAIS • Planejamento Operacional • Determinar o mix de produtos que maximiza o lucro da empresa • Determinar logística e rotas que minimizam o custo de transporte • Planejamento Financeiro: • Determinar a alocação de recursos em carteiras de investimento que maximizem o retorno e/ou minimizem o risco

9. Desenvolvendo o Modelo Características • Envolve uma decisão a ser tomada • Existem restrições a serem consideradas nas alternativas de decisão • Existe uma meta ou objetivo a ser maximizado ou minimizado

10. Desenvolvendo o Modelo • Análise e Compreensão do problema • Montagem do Modelo • identificação das variáveis de decisão • definição das restrições • formulação da função objetivo • Solução do Modelo

11. Expressando Matematicamente • A decisão é representada pelas variáveis de decisão • X1, X2, ... , Xn • O objetivo é representado por uma função-objetivo do tipo • MAX (MIN) V = f (X1, X2, ... , Xn)

12. Expressando Matematicamente • As restrições são representadas pelo parâmetro b, expressas de 3 maneiras possíveis: • menor ou igual • f (X1, X2, ... , Xn)  b • maior ou igual • f (X1, X2, ... , Xn)  b • igual • f (X1, X2, ... , Xn) = b

13. Fórmula Geral MAX (MIN) V = c1X1 + c2X2 + ... + cnXn Sujeito a: a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn b1 ak1X1 + ak2X2 + ... + aknXn bk am1X1 + am2X2 + ... + amnXn= bm . . . . . . Onde: c1, c2, ... , cn = margem de contribuição; medida de custo; taxa de retorno, etc. aij = quantidade do fator de restrição consumido em cada unidade produzida ou disponível para utilizar, etc. bi = valor máximo ou mínimo do recurso escasso

14. Resolvendo o Modelo • Solução Gráfica • Solução Matricial • Método Simplex • Solução Computacional

15. Exemplo • Variáveis de decisão • Dois tipos de banheira • Margens diferentes de Contribuição • Restrições • Disponibilidade de Mão de Obra • Disponibilidade de Canos • Disponibilidade de Bombas

16. Exemplo Função Objetivo MAX: 350x1 + 300x2 Sujeito a: Fatores de Produção → Limitação Bombas 1x1 + 1x2 200 Horas de Mão de Obra 9x1 + 6x2  1.566 Canos (metros) 12x1 + 16x2  2.880

17. Exemplo Função Objetivo MAX: 350x1 + 300x2 Sujeito a: 1x1 + 1x2 200 9x1 + 6x2  1.566 12x1 + 16x2  2.880 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

18. x2 Restrição de trabalho Restrição de bombas Restrição detubos x1 Solução Gráfica Função Objetivo Solução ótima

19. Solução Gráfica • Como determinar a solução ótima? • A partir da visualização do encontro das curvas de nível com as retas de restrição • A partir da comparação dos diversos pontos extremos, para escolher o maior (menor) valor

20. Solução Gráfica Sumário da Solução Gráfica • Desenhe a reta de cada restrição no gráfico • Identifique a área de soluções factíveis, isto é, a área do gráfico que simultaneamente satisfaz a todas as restrições • Encontre a solução ótima por um dos métodos a seguir descritos

21. Métodos Gráficos • Desenhe uma ou mais curvas de nível da função objetivo e determine a direção na qual curvas paralelas resultam em aumentos no valor da função objetivo • Desenhe curvas paralelas na direção do crescimento até que a curva toque a área de soluções em um único ponto • Encontre às coordenadas deste ponto • Identifique as coordenadas de todos os pontos extremos da área de soluções factíveis e calcule os respectivos valores da função objetivo. • O ponto com o maior valor da função-objetivo é a solução ótima

22. Solução Matricial • A resolução de um problema de programação linear consiste em • resolver sistemas algébricos lineares e calcular o valor da função-objetivo • Escolher dentre os diversos resultados obtidos para a função-objetivo, aquele que fornece o maior (menor) valor

23. Método Simplex • Baseia-se nas variáveis de FOLGA • Base para os relatórios de Sensibilidade do software SOLVER • Sistema com n variáveis e m equações • Seleciona m variáveis (BÁSICAS) • As demais assumem valor = 0 (NÃO BÁSICAS) • Calcula Função Objetivo para cada rodada • Escolhe a de maior valor

24. Solução Computacional • Para Problemas mais Complexos • Solução via Excel • Ferramenta Solver

25. Condições Especiais • Alternância de Soluções Ótimas • Restrições Redundantes • Soluções Ilimitadas • Soluções de Impossibilidade • As duas primeiras não impossibilitam o modelo • As duas últimas impossibilitam o uso do modelo

26. Condições Especiais Alternância de Soluções Ótimas: • Ocorre quando há mais de um ponto que maximiza (ou minimiza) o valor da função objetivo • A existência de mais de uma solução possível não inviabiliza o uso da ferramenta Programação Linear Restrições Redundantes: • Ocorre quando uma restrição não faz diferença na determinação da área de soluções factíveis

27. Soluções Ilimitadas • Ocorre quando são encontradas soluções nas quais a função objetivo é infinitamente grande (maximização) ou infinitamente pequena (minimização) • Exemplo: • MAX: x1 + x2 • Sujeito a: x1 + x2 400 - x1 + 2x2  400 x1  0 x2  0

28. Soluções Ilimitadas x2 x1

29. Solução Impossível • Exemplo: • MAX: x1 + x2 • Sujeito a: x1 + x2 150 x1 + 2x2  200 x1  0 x2  0