Álgebra elemental

1. Álgebraelemental

2. Las cuatro operaciones fundamentales Productos notables y factorización Fracciones Ecuaciones de primer grado Funciones y gráficas Ecuaciones simultaneas de primer grado Exponentes radicales Ecuaciones de segundo grado Razones, proporciones y variaciones Logaritmos

3. Las cuatrooperacionesfundamentales

4. 1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

5. 1. El sistemade losnúmeros reales

6. Las operaciones fundamentales Las operaciones fundamentales del álgebra son la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

7. Los números naturales El primer paso en la creación del sistema de los números reales fue la invención de los enteros positivos 1, 2, 3 ... , o números empleados para contar un conjunto de objetos.

8. Los números naturales

9. El concepto de cerradura Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

10. El concepto de cerradura Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural. Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de suma.

11. El concepto de cerradura Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

12. El concepto de cerradura Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural. Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de multiplicación.

13. El concepto de cerradura Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

14. El concepto de cerradura Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

15. El concepto de cerradura Lo mismo sucede en el caso de la división. El cociente de dos números enteros positivos, no es en general un número entero.

16. El concepto de cerradura Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema.

17. El concepto de cerradura Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema. Por ejemplo, no existe ningún entero positivo que sea igual a 5 - 9 ó a 5 ÷ 9. Esto es, la sustracción y la división sólo pueden aplicarse de manera limitada a los enteros positivos.

18. El concepto de cerradura Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto.

19. El concepto de cerradura Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. Puesto que la suma y el producto de dos enteros positivos cualesquiera es también un entero positivo, entonces el conjunto de los enteros positivos es un conjunto cerrado con respecto a la adición y la multiplicación

20. El concepto de cerradura Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. En cambio, la diferencia y el cociente de dos enteros positivos no conduce siempre a un entero positivo, esto es, el conjunto de los enteros positivos no es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división.

21. Necesidad de ampliar los números naturales Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. El conjunto de los enteros positivos no es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división. Es así como se origina la necesidad de ampliar el sistema. (Recuérdese que el sistema numérico es una invención).

22. Los enteros negativos La solución de problemas prácticos, esencialmente la solución de ecuaciones, llevo, de manera natural, a la introducción de los números enteros negativos.

23. Los enteros negativos Si tengo 4 pesos y un pan cuesta 5, ¿cuánto tengo? ¿4-5=?

24. Los números enteros Así el conjunto de los números enteros está constituido por los números naturales, el cero y los números enteros negativos.

25. Los números enteros

26. Los números enteros El conjunto de los números enteros es cerrado para las operaciones de suma, resta y multiplicación.

27. Los números racionales ¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?

28. Los números racionales ¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1? Evidentemente esta pregunta no tiene respuesta “dentro de los números enteros”. El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división.

29. Los números racionales ¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1? El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división. Para responder esta pregunta tenemos que “inventar” los números racionales.

30. Los números racionales Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

31. Los números racionales Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

32. Los números racionales

33. Los números racionales

34. Los números irracionales

35. Los números reales

36. Interpretación de los números como distancias La interpretación de los números como distancias es útil para definir y para comprender las ampliaciones del sistema numérico.

37. Interpretación de los números como distancias

38. Interpretación de los números como distancias Interpretación de los números como distancias. La interpretación de los números como distancias es útil para definir y para comprender las ampliaciones mencionadas del sistema numérico. Para ello se usarán la línea recta indefinida L' L (Fig. 1.1), un punto O fijo sobre ella, y la unidad de distancia u. A la derecha de O se trazan intervalos de longitud u, obteniéndose los puntos que aparecen debajo de li línea. Luego, a partir del primer punto a la derecha de O, se colocan sucesi· vamente los enteros 1, 2, 3 ... Se tiene así la certeza de que cada uno de los puntos marcados en la línea está asociado tanto con uno de los números enteros como con una distancia que representa a cada uno

40. Definición del sistema de los números reales, Se define el conjunta de los números reales como el conjunto de los números r que se pueden asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal manera que cada punto R está a una distancia r del punto fijo O. Si R está a la derecha de O, r es positivo; si R está a la izquierda de O, r es negativo; si R coincide con O, r es cero, Cero no es positivo ni negativo y separa, además, a los números positivos de los números negativos.

41. El valor absoluto • El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue: • El valor absoluto o valor numérico de un número real positivo es el número mismo. • El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

42. El valor absoluto El valor absoluto o valor numérico de un número es el número “en si”, sin el signo. El valor absoluto, es por tanto, siempre un número positivo.

43. El valor absoluto El valor absoluto de un número n, se representa por medio del símbolo │n│ y se puede imaginar como la distancia entre O y el punto que representa a n en la escala de los números reales.

45. El valor absoluto • El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue: • El valor absoluto o valor numérico de un número real positivo es el número mismo. • El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

46. 1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

47. 2. Definicionesbásicas

48. Definición de expresión Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

49. Definición de expresión Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

50. Definición de término Un número o una letra, o varios números y letras, combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas, recibe el nombre de término