제 7 부 피타고라스의 정리

1.    A A A B B C C B C 제 7부 피타고라스의 정리 제1장 피타고라스의 정리 제 1절 피타고라스의 정리 <학습목표> 직각삼각형의 세 변의 길이 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아보자. 일 때 가. C=90인 ABC에서 a, b, c를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이 a2, b2, c2를 써 넣어라.    a2 4 4 9 이 표에서 a2+ b2= c2임을 알 수 있다. 1 b2 4 1 c2 8 5 10

2. 나. 피타고라스의 정리 증명 그림과 같이 한 변의 길이가 a+b인 정사각형을 그리고 이 정사각형의 네 꼭지점에서 직각을 낀 두 변의 길이가 a, b인 직각삼각형을 그리면 a b H 이들 네 개의 직각삼각형은 모두 합동이다. (SAS)합동 D a c b c A BAH=180º -(BAC+ HAD) =180º - 90º = 90º c c b a 따라서, 한 변의 길이가 c인 정사각형이다. a b B C (큰 정사각형)=(4개의 삼각형 ABC)+(작은 정사각형)

3. 다. 피타고라스의 정리 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 a, b라 하고 빗변의 길이를 c라고 하면 A c b B C a

4. 예제 1) 다음 그림과 같은 직각삼각형에서 의 길이를 구하여라. A 5 x C B 4 5 빗변의 길이는 피타고라스 정리 적용 x>0 이므로 x=3

5. 즉, ABC에서 C < 90º이면 c2<a2+b2이다. <학습목표> 삼각형에서 각의 크기와 변의 길이의 관계를 알아보자. 1) C < 90º일 때(예각) A 점 A에서 변 BC에 수선을 내려 그 수선의 발을 H라 하자. c b 직각삼각형 ABH에서 h ㅣ C B H  a  직각삼각형 ACH에서 식을 식에 대입하면 al>0이므로

6. 즉, ABC에서 C > 90º이면 c2>a2+b2이다. 2) C > 90º일 때(둔각) A 점 A에서 변 BC의 연장선에 수선을 내려 그 수선의 발을 H라 하자. c h b 직각삼각형 ABH에서 H l a B C   직각삼각형 ACH에서 식을 식에 대입하면 al>0이므로

7. 삼각형의 각의 크기에 대한 변의 길이 ABC에서 일 때, 1. C<90º 이면 c2<a2+b2 2. C=90º 이면 c2=a2+b2 3. C>90º 이면 c2>a2+b2 A A 2. 3. 1. A c c c b b b C B a C B C a B a

8. 제 2절 피타고라스의 정리의 역 <학습목표> 삼각형의 세 변의 길이 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보자. 가. C=90인 ABC에서 a, b, c를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 구하고 다음 빈 간을 채우시오.    A A A B B C C B C b2 a2+b2, c2 a2 c2  9 5 8 a2+b2>c2  9 4 13 a2+b2=c2  9 5 20 a2+b2<c2

9. 나. 피타고라스의 정리의 역 증명 가정 : 세 변의 길이가 a, b, c인 ABC에서 a2+b2=c2이다. 결론: C=90º이다. A A c x b b B C C B a a 가정에서 ABC에서 a2+b2=c2 A B C에서 a2+b2=x2 C=90º인 삼각형 따라서, c = x ABC  A B C 즉, C= C =90º

10. 나. 피타고라스의 정리의 역 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a2+b2=c2 인 관계가 성립하면, 이 삼각형은 c를 빗변으로 하는 직각 삼각형이다. A c b 이면, C=90º이다. B C a

11. 다. 세 변의 길이가 각각 인 ABC를 그리면, A 3 5 3 6 C B 4 여기서, C=90º인 삼각형과 비교하면 ABC의 C > 90º임을 알 수 있다. 세 변의 길이가 a, b, c인 ABC에서 a2+b2 < c2이면 C > 90이다.

12. 라. 세 변의 길이가 각각 인 ABC를 그리면, A 9 6 6 10 C B 8 여기서, C=90º인 삼각형과 비교하면 ABC의 C < 90º임을 알 수 있다. 세 변의 길이가 a, b, c인 ABC에서 a2+b2 > c2이면 C < 90이다.

13. 삼각형의 변의 길이에 대한 각의 크기 ABC에서 일 때, 1. c2<a2+b2 이면 C<90º (예각) 2. c2=a2+b2 이면 C=90º (직각) 3. c2>a2+b2 이면 C>90º (둔각) A A 2. 3. 1. A c c c b b b C B a C B C a B a

14. 제 2장 피타고라스의 정리의 활용 제 1절 평면도형에의 활용 <학습목표> 피타고라스의 정리를 이용하여 평면도형에서 길이와 넓이를 구해 보자. 가. 그림과 같이 한 변의 길이가 각각 a, b인 두 정사각형 에서 선분 AB의 길이는 직각 삼각형 ABC의 빗변 이므로 피타고라스 정리에 의하여 B a b A A C 즉, b 를 한 변으로 하는 a 정사각형의 넓이는 a, b를 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합과 같다.

15. 예제 1) 그림과 같은 직사각형 모양인 화단에서 대각선 AC의 길이를 구하여라. 4m A D 3m ABC는 B=90º인 직각 삼각형이므로 B C 이므로,

16. 예제 2) 60º의 각을 가진 직각삼각형에서 일 때, 나머지 변의 길이는? A 선분 BC의 연장선 위에 가 되게 점D를 잡으면, ABD에서 2cm x 를 수직 이등분한다. 는 따라서, ABD는 정삼각형이다. 60º D B 이므로 이다. C 1cm 라 하면 피타고라스 정리에 의하여 이므로,

17. *. 특별한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비 1. 직각이등변삼각형 2. 정삼각형 A A 45º 30º 2a a 45º 60º B B C a C a a

18. 예제 3) 세 변의 길이가 각각 2, 3, 4인 삼각형의 넓이를 구하여라. A 그림과 같이 ABC의 꼭지점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H, 2 3 h 라고 x 하자. H 4 B C ABH에서 AHC에서 대입 h>0이므로 넓이는

19. y A(3, 2) 2 x o 3 <학습목표> 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구해 보자. 나. 좌표평면 위의 점 A(3, 2)와 원점O 사이의 거리를 구하여 보자. OAB는 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여 B >0이므로,

20. 한 점과 원점 사이의 거리 y 좌표평면 위에서 한 점 A(a, b)와 원점 O사이의 거리 A(a, b) b o x a 이다.

21. 예제 4) 좌표평면 위의 두 점 A(-2, -1), B(3, 2)사이의 거리를 구하여라. 그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A(-2, -1), B(3, 2)를 잡고, C=90º인 직각삼각형 을 그리면, 점 C의 좌표는 C(3, -1)이다. y B(3, 2) 3 o x 5 A(-2, -1) C(3, -1) 피타고라스 정리에 의하여 이므로, .

22. 예제 5) 가로의 길이가 5cm, 세로의 길이가 4cm인 직사각형 ABCD의 종이를 그림과 같이 꼭지점 A가 변 BC위에 오도록 접었을 때, 선분 BA의 길이는? 5 A D ACD에서, 4 이므로, 피타고라스 정리에 의하여 C B A 이므로

23. 제 2절 입체도형에의 활용 <학습목표> 피타고라스 정리를 이용하여 입체도형에서 길이, 넓이, 부피 등을 구해 보자. D C A EFG에서 F=90º이므로 B y c H G 즉, x2 = a2 + b2 x a E b F AEG에서 AEG=90º이므로 즉, y2 = x2 + c2 y2 = a2 + b2 + c2 y>0이므로

24. V a h C A x D H B 예제 1) 정사면체 V-ABC의 꼭지점 V에서 내린 수선의 발 H는 정삼각형 ABC의 무게중심이다. 한 모 서리의 길이가 acm인 정사면체의 높이는? VCH에서 VHC=90º이므로 a2 = h2 + x2 ABC는 정삼각형이고, 는 ABC의 높이이므로, 무게중심 성질에서, 대입 이므로,

25. V aº r A B V r h H A x 예제 2) 반지름의 길이가 r이고 중심각의 크기가 aº 인 부채 꼴을 사용하여 원뿔을 만들 때, 이 원뿔의 높이는? 호 AB의 길이는 이고 이것은 원뿔의 밑면의 둘레와 같으므로, VAH에서 H=90 º이므로, r2 = x2 + h2 h>0이므로

26. 의 해를 구하여 보자. 이므로