INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA Nice Maria Americano da Costa

A NOÇÃO DE SOMAS INTEGRAIS A ferramenta da integral definida que estudaremos envolve um dos conceitos mais fundamentais da Análise Matemática. Ela surge a partir da noção de somas integrais. Nosso ponto de partida é o cálculo de áreas sob curvas de funções. Suponhamos que é dada uma função f(x), contínua no intervalo [a,b], mostrada no gráfico. Desejamos calcular a área delimitada por esta curva no intervalo. M Aproximadamente, poderíamos dividir o intervalo [a,b] em pequenos segmentos e construirmos retângulos sob a curva e somar as suas áreas. m Xn=b X0=a x1 x2 Xn-1 x3

Sejam, em cada pequeno intervalo [xi, xi+1], mi e Mi o menor valor e o maior valor da função no intervalo. Então Mi mi Correspondem à área do retângulo menor, neste intervalo, e à área do retângulo maior no mesmo intervalo, respectivamente. Construamos então duas somas dessas áreas: * Essas somas são chamadas de somas integrais inferior e superior, respectivamente. Temos ainda que vale:

Note que representa a área do retângulo construído com o menor valor da função, em todo o intervalo [a,b]. e que representa a área do retângulo construído com o maior valor da função, em todo o intervalo [a,b]. M m X0=a x1 x2 x3 Xn=b Xn-1

Vemos que Podemos escrever então: Ou seja: a área construída com o retângulo formado pelo tamanho do intervalo e o maior valor da função é maior que a soma integral superior, que, por sua vez, é maior que a soma integral inferior, que, por sua vez, é maior que área construída com o retângulo formado pelo menor valor da função e o tamanho do intervalo.

A INTEGRAL DEFINIDA Mas sob a curva a área é delimitada pela própria curva, pelo eixo x e pelas retas x=a e x=b. Se considerarmos cada pequeno intervalo nos quais subdividimos o intervalo inteiro, a área sob este pequeno pedaço da curva será igualmente delimitada pela curva, o eixo x e as retas x=xi e x=xi+1. X0=a Xn=b xi+1 Xi

Tomemos agora um ponto intermediário,x=iem cada subintervalo [xi,xi+1] e construamos a área do retângulo formado por f(i ) e pelo tamanho do subintervalo, xi. Somemos essas áreas assim formadas: Sint é a soma integral da função f(x) no intervalo [a,b]. Como mif(i)Mi, teremos: Somando sobre todos os subintervalos, teremos finalmente

Se agora, calculamos o limite de Sint, quando o maior xi→0 e esse limite existe, dizemos que esse limite é a integral definida de f(x) Vemos então que a integral definida de uma função num intervalo [a,b] corresponde à área sob a curva, da figura trapezoidal curvilínea, compreendida entre o eixo x e as retas x=a e x=b X0=a Xn=b

Na expressão simbólica da integral definida a é o limite inferior da integração, b o limite superior da integração, o intervalo [a,b] é o intervalo de integração e x é a variável de integração Se f(x) é contínua sobre um intervalo [a,b] ela é integrável neste intervalo. A integral definida de f(x) depende dos limites de integração mas não da variável de integração. Podemos então escrever, de forma indiferente:

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 1.Trocando os limites de integração, a integral muda de sinal: Exemplo: 2.Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração; Demonstração:

3.A integral definida da soma de duas funções é igual à soma das integrais definidas das mesmas funções Demonstração: 4.Se no intervalo [a,b], as funções f(x) e (x) satisfazem à condição f(x) (x), então, tem-se

Demonstração: e Temos, então

5.Sendo m e M, respectivamente, o menor e o maior valor da função no intervalo [a,b], então, tem-se Demonstração: Por hipótese, no intervalo [a,b], tem-se * Pela propriedade anterior

Teorema da Média. A função f(x) seno continua no intervalo [a,b], existe um ponto , tal que se tem: Demonstração: Considerando que, respectivamente, m e M são o menor valor e o maior valor de f(x) no intervalo, teremos: Considerando que o resultado da integral é um número, designemos esse por . Temos então com Como a função é contínua no intervalo, haverá um valor de f(x) igual ; isto é, um ponto , ab, tal que f()=  (o valor médio da função no intervalo).

Propriedade 6. a,b e c sendo três números arbitrários, ter-se-á: x a c b

INTEGRAL DEFINIDA: Fórmula de Newton-Leibniz Considerando que, para a integral , o limite de integração inferior seja fixo,a. Variemos o limite superior, b, e calculemos, sucessivas integrais de f(x). Os resultados, portanto dependerão de b. Podemos então trocar a variável de integração por t. Então (x) é portanto igual à área subtendida pelo trecho da curva entre a e x, o eixo t e as retas t=a e t=x. a x t

Teorema. Sendo f(x) uma função contínua e se colocamos então Demonstração: Se então Aplicando o teorema da média,temos

Teorema Fundamental . Se F(x) é uma primitiva de f(x) então Demonstração: Seja F(x) uma primitiva de f(x). Pelo teorema anterior, (x) é também uma primitiva de f(x). Mas, Além disso, duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante. Então: Determinemos C, calculando a integral para x=a: Mas

Coloquemos então x=b Esta é a fórmula de Newton Leibniz

f(b) x1 x3 x2 a b CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA DEFINIÇÃO f(a) Mas,

k x1 x3 x2 a b

Exemplos usando fórmula Newton-Leiniz

Teorema (Mudança de variável) . Seja dada a integral onde f(x) é contínua no intervalo [a,b]. Introduzamos a variável t, por Se e, ainda, se (t) ´(t) são contínuas no intervalo [], e também f[(t)] é definida e contínua no intervalo [], então

Demonstração: se F(x) é uma primitiva de f(x), podemos escrever: Da primeira podemos escrever Da segunda podemos escrever

INTEGRAÇÃO POR PARTES Sabemos que Integrando entre x=a e x=b, teremos Mas, , e Então

EXTENSÃO DA NOÇÃO DE INTEGRAL Integrais com limites de integração infinitos Definição. Se o limite existe, ele será representado por a b e diz-se que a integral converge. Por definição, então

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