1. La integral definida VBV

2. Derivada  Recta tangente • Integral  Área • Entendemos: • Área de una función f : región comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.

3. Pensemos en como obtener el área bajo la función f f(x) Sabemos calcular el área de polígonos…

4. Podríamos … f(x) x x0 x1 x2 x3 x4 Nosotros construiremos rectángulos!!!

5. Ejemplo: • Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas geométricas. Evaluar y calcular el área representada por la integral.

6. En realidad… • Este es un problemamuyantiguo (Arquimedes se planteaesto, pero son Newton y Leibniz los que lo resuelven) . • Idea: Construirrectangulos “bajo” la curvaf(x), encontrar el área de todosestosrectangulos.

7. Sea [a,b] un intervalo cerrado. • Dividamos el intervalo [a, b] ennsub-intervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que: x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn • Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]

8. Denotemos por Δxila longitud de cada sub-intervalo tal que: Δx1= x1 – x0 Δx2= x2 – x1 … Δxi= xi – xi-1 … Δxn-1= xn-1 – xn-2 Δxn= xn – xn-1 Notar que Δxicorresponderá a la base de cada rectángulo.

9. Definición: • La longitud del sub-intervalo (o sub-intervalos) más largo de la partición P se llama norma de la partición y se denota ||P||. • Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}

10. Ejemplo: • Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.

11. Pensar en una partición para [a,b] • Geométrica: • a, ar, ar2,… arm, donde r0 • Aritmética: • a, a+d, a+2d, … a+md

12. PARTICIÓN GEOMÉTRICA • Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a • Se tiene: xi= x0*rn • Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo ΔxiNO es constante .

13. PARTICIÓN ARITMÉTICA • Se define d=(b-a)/n • Se tiene: xi= x0+id • Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxies constante e igual a d. • Por esto, denotamos Δx=d.

14. Ejercicios: Construir en el intervalo [0,1] , las siguientes particiones y calcular su norma: • 10 sub-intervalos usando la partición: xi= (i/n)2 • 8 sub-intervalos del mismo largo.

15. Pensemos en la altura de cada rectángulo… • Sea f : [a,b]  una función acotada • P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b] • Para i = 1, . . . ,n denotamos: • mi = inf { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } • Mi = sup { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } • Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.

16. Definición:SUMA INFERIOR de f asociada a P f x2 … x1 a=x0 xn-1 b=xn

17. Definición:SUMA SUPERIOR de f asociada a P f x2 … x1 a=x0 xn-1 b=xn

18. Ejemplo: • Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2 • Usando una partición con n=4.

19. Ejercicio: • Sea • Encuentre s(f,P) para una partición del intervalo [0,2] en dos partes iguales. • Certamen 1 – II sem 2012

20. Proposición: • Para cada partición, se verifica: s(f,P) ≤ S(f,P) • Dem: mi ≤ Mi  mi Δxi ≤ Mi Δxi   mi Δxi ≤ Mi Δxi  s(f,P) ≤ S(f,P)

21. Proposición: • P1 P2  s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1) • Dem: Pensar en agregar puntos (de a uno a la partición P1).

22. Corolario: • Sean P1 y P2dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces: • m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a) • Además, si P= P1  P2 , entonces: • s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)

23. Definición:INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]

24. Definición:INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]

25. OBS:

26. DEF: • f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si: • Se escribe:

27. Pensar… • ¿Qué debe suceder para que … ??????

28. Ejemplo: • Calcular la integral de Riemann para f(x) = x en [a,b]. • Considerando las particiones aritméticas: • Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n} • Se tiene que:

29. Teorema • Si la norma de la partición Pnse aproxima a cero, la suma inferior y superior coinciden. • Esto es, • Notar que es equivalente a decir:

30. OBS: • Si hacemos que la norma de la partición Pnse aproxime a cero. • Entonces, la suma de Riemann se aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) , y el eje x desde a hasta b.

31. Interpretación … La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

32. Teorema • Considere una sucesión de particiones Pnde un intervalo [a,b] tales que: • y, • Entonces, f es Riemann integrable,

33. Veamos esto geométricamente… n = 3 rectángulos

34. n = 6 rectángulos

35. n = 12 rectángulos

36. n = 24 rectángulos

37. n = 48 rectángulos

38. n = 99 rectángulos

39. Pensar en… • Alguna función que NO sea Riemann integrable.

40. Definición: • Sea f : [a,b]  una función acotada • P una partición de [a,b] • Una SUMA DE RIEMANN para la función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:

41. En la graficahemosconsiderado el puntomedio de cada sub-intervalo. f x2 … x1 a=x0 xn-1 b=xn

42. y • • • y = f(x) • • • • wn-1 wn wi w2 w1 x • • • • • • • • • • x0=a x1 x2 0 xn=b xi-1 xi xn-1 • • • … … Δ1x Δ2x Δix Δn-1x Δnx Otra grafica…

43. Ejercicios: • Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo. • Encontrar la suma inferior, superior y de Riemann. • Estudiar estas sumas para una partición de n subintervalos. • Hallar el área de f(x)=x2+2, entre x=-1 y x =2 mediante la busqueda del limite de las sumas de Riemann.

44. Ejercicios: • Evaluar : Donde: x0=0, x1= …, xn =/6 • Evaluar: Donde: x0=1, x1=1+x …, xn =3

45. OBS: • Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann. • Escribimos: • Para denotar que:

46. Teorema: • Sea f : [a,b]  una función acotada, entonces: • Si f es integrable en [a,b] , entonces:

47. Propiedades: • Sean f , g : [a,b] acotadas e integrables. • Se cumple:

48. Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.

49. Proposición • Si m  f(x)  M , salvo quizás en un conjunto finito de puntos, entonces:

50. Proposición(Aditividad): • Si f : [a,b]  es acotada e integrable, y para todo c  [a , b] . • Se cumple: • f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b]. • Además se verifica el reciproco.