Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX

1. Cosinus d’un angle aigu. Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX

2. Conseils et méthode de travail Lorsqu ’une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, neles corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.

3. Cosinus d ’un angle aigu Définition dans le quart de cercle trigonométrique. Définition dans le triangle rectangle. Résolution d ’un triangle rectangle à partir d ’un angle et de l ’hypoténuse Résolution d ’un triangle rectangle à partir d ’un angle et d ’un petit côté Résolution d ’un triangle rectangle à partir de deux côtés

4. Dans un quart de cercle de centre O de rayon 1, on trace un angle xÔz Et on définit le cosinus de l'angle xÔz : c'est l'abscisse du point d'intersection de ce quart de cercle avec la demi droite [Oz). 1 z N Conséquence immédiate Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1 ! x 1 M O cos xÔz = OM.

5. Utilisation de la calculatrice : Afin de vous familiariser avec votre calculatrice, les touches 1 et 2 permettent de cacher ou montrer les mesures de l ’angle ou la valeur du cosinus.

6. Déplacer le point M. Cacher oN. (Touche 1) Trouver la séquence calculatrice qui permet de calculer le cosinus de l ’angle MôN Faire plusieurs essais

7. Déplacer le point N. Cacher MoN. (Touche 2) Trouver la séquence calculatrice qui permet de calculer l ’angle MôN dont le cosinus a pour valeur ON Faire plusieurs essais

8. A propos du triangle rectangle... On dit qu’un triangle rectangle est résolu si on connaît les mesures des trois côtés et des trois angles. Dans un triangle rectangle, le cosinus d ’un angle aigu est un outil puissant qui permet de résoudre le triangle rectangle à partir * d ’un côté et d ’un angle aigu ou * de deux côtés

9. Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté BC s ’appelle l ’hypoténuse. L ’hypoténuse est le côté opposé de l ’angle droit : c’est aussi le côté le plus long. C AC est appelé "côté adjacent" à l’angleACB. A B De même AB est appelé "côté adjacent" à l ’angle ABC Adjacent : attenant, qui touche...

10. Dans un triangle rectangle, le rapport entre un côté de l'angle droit et l ’hypoténuse est égal au cosinus de l' angle aigu défini par ces deux côtés C CA Cos ACB= CB donc BA Cos ABC= BC A B L ’hypoténuse est BC. Le côté adjacent à C est CA, le côté adjacent à B est BA. (L'hypoténuse est aussi adjacente aux angles B et C)

11. Pour vérifier la concordance des deux définitions, on dispose le triangle de sorte que le point O coïncide avec le point C, la demi droite [ OA) avec l'axe des abscisses et la demi droite [OB) détermine le point d'intersection N avec le quart de cercle. • le triangle rectangle 1 B CA cosACB = N CB z • le quart de cercle trigonométrique. cos xÔz = OM. A C M 1 x Problème : les deux définitions sont-elles compatibles ? A retenir : 2 définitions du cosinus dans... = O

12. Problème : a-t-on cos xÔz = cos ACB ? Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Donc les droites (NM) et (AB) sont parallèles alors les triangles ONM et OBA sont en situation de Thalès.. donc 1 B z N M x A C = O 1 et D'où Finalement Car C = O

13. La même manipulation permet de vérifier que cos ABC = BA/BC Dans le quart de cercle trigonométrique cosABC = OM z C Or ONM et OAC sont deux triangles en situation de Thalès donc N 1 En particulier, O = B x 1 A M Et finalement

14. Premier type de problème : On connaît les mesures d’un côté du triangle et la mesure d’un angle.On cherche à calculer les mesures des deux autres côtés et du troisième angle C Dans le triangle ABC rectangle en A, BA Cos ABC= BC 7 cm AB Cos 70 = 7 7 cos70 = AB A 70° B On trouve alors AB proche de 2,4 cm Dessine le triangle en vraie grandeur et vérifie.

15. Quelques remarques! Si tu ne trouves pas AB proche de 2,4 cm à l ’aide de ta calculatrice, vérifie qu’elle est bien en mode degré…Et relis le manuel d ’utilisation ! Pour calculer AC on peut utiliser le théorème de Pythagore en utilisant la valeur approchée de AB et la valeur connue de BC. En général on préfère se souvenir que : dans un triangle la somme des mesures des trois angles est égale à 180° donc l ’angle C mesure 20° CA Cos ACB= Donc CA = 7 cos 20 CB Et on trouve CA proche de 6,6cm CA Cos 20 = 7

16. Deuxième type de problème : On connaît les mesures d’un côté du triangle et la mesure d’un angle. On cherche à calculer les mesures des deux autres côtés et du troisième angle Dans le triangle ABC rectangle en A, B CA Cos ACB = 65° BC 5 Cos 65 = BC BC proche de 11,8 cm BC cos 65 = 5 C A 5 BC = 5 cm cos65 Dessine le triangle en vraie grandeur et vérifie.

17. Quelques remarques! Si tu ne trouves pas BC proche de 11,8 cm à l ’aide de ta calculatrice, vérifie qu’elle est bien en mode degré…Et relis le manuel d ’utilisation ! Pour calculer AB on peut utiliser le théorème de Pythagore avec la valeur approchée de CB et la valeur connue de AC. En général on préfère : 5 cos 25 BA Donc BA = Cos ABC= cos65 BC BA Et on trouve BA proche de10,7cm Cos 25 = 5 cos65 Tu peux remplacer BC par 11,8 cm mais, tu risques d ’obtenir un résultat moins précis

18. Troisième type de problème : On connaît les mesures de deux côtés du triangle. On cherche à calculer la mesure du troisième côté et les mesures des angles du triangle. C BA On trouve AC = 12 cm , à l ’aide du théorème de Pythagore. Cos ABC = BC 5 Cos ABC = 13 cm 13 Et la calculatrice donne une valeur de ABC proche de 67,4°. D’où ACB proche de 22,6° A B 5cm Dessine le triangle en vraie grandeur et vérifie.

19. 10 53,1 36,9 Le triangle AUC est rectangle en C. Calculer les éléments inconnus au 1 /10 prés. 10,6 48,6 41,4 7,8 4,5 60 12,5 3,7 17