Informática Teórica Engenharia da Computação

1. Informática Teórica Engenharia da Computação

2. REDUTIBILIDADE • Uma redução é uma maneira de converter um problema em outro

3. FORMA 1 - REDUTIBILIDADE • A  B ( A se reduz a B) • Resolver A não pode ser mais difícil que resolver B • Se B for decidível A tb será. • Se A for indecidível, B tb será.

4. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO • O método da história de computação é uma técnica importante para provar que AMT é redutível a certas linguagens. • Esse método é muito útil quando o problema a ser mostrado como indecidívelenvolve testar a existência de algo. • Por exemplo, a indecidibilidade do 10º problema de Hilbert: testar a existência de raízes inteiras em um polinômio.

5. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO • A história de computação para uma MT sobre uma entrada é a seqüênciade configurações pelas quais MT passa a medida em que ela processa a entrada. • Registro completo da computação de MT.

6. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO DEFINIÇÃO: • Seja M uma MT e w uma cadeia de entrada. • Uma história de computação de aceitação para M sobre w é uma seqüênciade configurações, C1, C2,...,Cl, onde: • C1 é a configuração inicial de M sobre w, • Cl é uma configuração de aceitação de M, e • Cada Ci segue de Ci-1 conforme as regras de M. • Uma história de computação de rejeição para M sobre w é definida similarmente, exceto que Cl é de rejeição.

7. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO • Histórias de computação são seqüências finitas. • Se M não para sobre w, nenhuma história de computação de aceitação ou de rejeição existe para M sobre w. • MTs determinísticas têm no máximo uma história de computação sobre qualquer entrada.

8. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO DEFINIÇÃO: • Um autômato linearmente limitado (ALL) éum tipo restrito de MT na qual a cabeça de leitura-escrita não pode se mover para fora da parte da fita contendo a entrada. • Se a máquina tentar mover sua cabeça para além de qualquer das extremidades da entrada, a cabeça permanece onde está.

9. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO • Um autômato linearmente limitado (ALL) é uma MT com uma quantidade limitada de memória. • Ele só pode resolver problemas que requerem memória que possa caber dentro da fita usada para a entrada. Usar um alfabeto de fita maior que o alfabeto de entrada permite que a memória disponível seja incrementada de no máximo um fator constante. • Logo, dizemos que para uma entrada de comprimento n, a quantidade de memória disponível é linear em n.

10. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO • ALLs são poderosos. • AAFD, AGLC, VAFD e VGLCsão ALLs. • Toda LLC pode ser decidida por um ALL • AALL é o problema de se determinar se um ALL aceita sua entrada. Muito embora AALLseja o mesmo que o problema indecidívelAMT onde a MT é um ALL, podemos mostrar que AALLé decidível. • AALL= {<M,w> | M éum AALLque aceita a cadeia w}

11. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO LEMA: • Seja M um ALL com q estados e g símbolos no alfabeto da fita. Existem exatamente configurações distintas de M para uma fita de comprimento n, já que: • M tem q estados. • O comprimento de sua fita é n, • entãoa cabeça pode estar em uma das n posições, • e cadeias posíveisde símbolos de fita aparecem sobre a fita.

12. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO TEOREMA: • AALLé decidível. • IDÉIA DA PROVA: Para decidir se a ALL M aceita a entrada w, simulamos M sobre w. • Durante a simulação, se M para e aceita ou rejeita, • aceitamos ou rejeitamos. • A dificuldade ocorre se M entra em loop sobre w. Precisamos ser capazes de detectar a entrada em loop de modo que possamos parar e rejeitar. • A idéiade detectar quando M está em loop é que, à medida em que M computa sobre w, ela vai de configuração em configuração.

13. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO TEOREMA: • IDÉIA DA PROVA: Se M repetir uma configuração ela continuaria a repeti-la e estaria em loop. • Em razão de M ser um ALL, a quantidade de fita disponível para ela é limitada. Pelo Lema mostrado, M pode estar em apenas um número limitado de configurações sobre essa quantidade de fita. • Consequentemente, apenas uma quantidade limitada de tempo está disponível para M antes que ela entre em alguma configuração previamente visitada. • Detectar que M estáem loop é possível simulando M pelo número de passos dado pelo Lema. • Se M não parou então, ela tem que estar em loop.

14. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.9: AALLé decidível. • L é um decisor para AALL: • L = Sobre a entrada <M,w> onde M é um ALL, e w é uma cadeia: • Simule m sobre w por passos ou até parar; • Se M parou : • aceite se aceitou, e • rejeite se rejeitou. • Se não parou, rejeite.

15. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.9: AALL é decidível. L M Aceita w M,w qaceita Rejeita qrejeita Se o no. de config. de M > q.n.gn

16. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO • O Teorema 5.9 mostra que ALLs e MTs diferem de uma maneira essencial: Para ALLs o problema da aceitação é decidível, mas para MTs não. • Entretanto, certos outros problemas envolvendo ALLspermanecem indecidíveis. • Um deles éo problema da vacuidade: • VALL= {<M> | M é um ALL onde L(M) =∅}. • Para provar que VALLé indecidível, damos uma redução que usa o método da história de computação.

17. REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO TEOREMA: • VALL é indecidível. • IDÉIA DA PROVA: Essa prova é por redução a partir de AMT. Mostraremos que se VALLfosse decidível, AMTtambém seria. • Suponha que VALLseja decidível. • Para uma MT M e uma entrada w podemos determinar se M aceita w construindo um certo ALL B e então testar se L(B) évazia. • A linguagem que B reconhece compreende todas as histórias de computação de aceitação para M sobre w.

18. REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃOVALLé indecidível. • Se M não aceita w, essa linguagem évazia. Se pudermos determinar se a linguagem de B évazia, podemos determinar se M aceita w. • Agora descrevemos como construir B a partir de M e w. • Note que precisamos mostrar mais que a mera existência de B. • Temos que mostrar como uma MT pode obter uma descrição de B, dadas descrições de M e w. • Construímos B para aceitar sua entrada x se x éuma história de computação de aceitação para M sobre w. • Uma HC de aceitação é a sequência de configurações, C1, C2,...,Cipela qual M passa quando aceita w.

19. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível. • Esta HC pode ser vista como uma só cadeia: • Funcionamento: quando ALL B recebe uma entrada x, espera-se que B aceite se x for uma computação de aceitação para M sobre w. • Primeiro, B quebra x, conforme os delimitadores, em cadeias C1, C2,...,Ci.

20. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível. • Então B determina se Ci satisfaz às 3 condições de uma HC de aceitação: • 1. C1 éa configuração inicial para M sobre w. • 2. Cada Ci+1 legitimamente segue de Ci. • 3. Ciéuma configuração de aceitação para M. • A configuração inicial C1 para M sobre w é a cadeia q0w1w2... wn. • B tem essa cadeia diretamente embutida, de modo que ela écapaz de verificar a primeira condição. • Uma configuração de aceitação é aquela que contem o estado de aceitação qaceita, portanto B pode verificar a 3ª condição procurando por qaceitaem Ci.

21. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível. • A 2ª condição é a mais difícil de verificar. • Para cada par de configurações adjacentes, B verifica se Ci+1 segue de Ci. Esse passo envolve verificar que Ci e Ci+1 sãoidênticas exceto pelas posições sob e adjacentes à cabeça em Ci. Essas posições têm que ser atualizadas conforme a função de transição de M. • Então B verifica se a atualização foi feita apropriadamente zigue-zagueando entre posições correspondentes de Ci e Ci+1. Para manter o registro das posições correntes durante o zigue-zague, B marca a posição corrente com pontos sobre a fita.

22. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível. • Finalmente, se as condições 1, 2 e 3 são satisfeitas, B aceita sua entrada. • Note que o ALL B nãoé construído para rodar sobre alguma entrada. Construimos B apenas para alimentar uma descrição de B no decisor para VALL. • Uma vez que esse decisor retorne sua resposta podemos invertê-la para obter a resposta a se M aceita w. • Portanto, poderíamos decidir AMT, uma contradição!

23. REDUTIBILIDADEB é um ALL que aceita a HC de aceitação de w por M B Sim Sim qA Sim C1C2...Cl x C1 = q0w1...wn Q. x Cl contem qaceita Ci+1 segue de Ci Não Não Não qR

24. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível. • PROVA: Agora estamos prontos para enunciar a redução de AMT para VALL. • Suponha que MT R decide VALL. Construa MT S que decide AMT da seguinte forma. • S = “Sobre a entrada <M,w>, com M MT e w cadeia: • 1. Construa o ALL B a partir de M e w conforme descrito na ideia da prova. • 2. Rode R sobre a entrada <B>. • 3. Se R rejeita, aceite; se R aceita, rejeite.

25. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível. • Se R aceita <B>, então L(B) =∅. • Portanto, M não tem nenhuma HC de aceitação sobre w e M não aceita w. • Consequentemente, S rejeita <M,w>. • Similarmente, se R rejeita <B>, a linguagem de B énão-vazia. A única cadeia que B pode aceitar éuma HC de aceitação para M sobre w. • Portanto, M deve aceitar w. • Consequentemente, S aceita <M,w>.

26. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível. S Aceita Rejeita qrejeita Construção do ALL B B M,w M,w R Rejeita Aceita qaceita

27. REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALLé indecidível.