Análisis de Algoritmo

Análisis de Algoritmo Cecilia Laborde González Cecilia.laborde.g@gmail.com

Objetivos de la Clase Conocer y comprender el funcionamiento de los grafos.

¿ Que es un Grafo? • Un GRAFO es un conjunto de nodos o vértices (V) y un conjunto de aristas (E), donde cada arista relaciona a un par de nodos pertenecientes a V. • La estructura algebraica para los grafos es G=(V,E). Existen dos tipos de Grafos: • Grafo dirigido • Grafo no dirigido

GRAFO DIRIGIDO Un GRAFO DIRIGIDO G consiste de un conjunto V de vértices y un conjunto E al conjunto de aristas del grafo. a b c d V={a, b, c, d} E={(a,c), (a,b), (b,c), (b,d), (c,d)}

GRAFO DIRIGIDO Los vértices de un grafo dirigido pueden usarse para representar objetos y los enlaces relaciones entre los objetos, ejemplo de ello que los vértices pueden representar ciudades y los enlaces vuelos aéreos entre ciudades.

GRAFO DIRIGIDO Un enlace es un par ordenado de vértices (v, w), donde v es la cola y w corresponde a la cabeza del enlace. v w

GRAFO NO DIRIGIDO Sea G un Grafo no Dirigido, donde G=(V,E), V corresponde al conjunto de vértices y E al conjunto de aristas del grafo. Un Grafo no Dirigido se diferencia de un Grafo Dirigido debido a que cada arista en E es un par no ordenado de vértices. Si (v,w) es una arista no dirigida  (v,w) = (w,v). V={a, b, c, d} E={(a,c),(c,a),(a,b),(b,a) (b,c),(c,b),(b,d),(d,b), (c,d),(d,c)} a b c d

20 20 a a b b a a b b 25 25 30 30 40 40 c c d d c c d d 15 15 COSTOS Los enlaces tanto para los grafos Dirigidos como No Dirigidos tienen un costo (valor), por lo tanto son grafos etiquetados Grafo Dirigido Etiquetado Grafo No Dirigido Etiquetado

2 1 4 3 REPRESENTACION LOS GRAFOS • Un grafo Dirigido o No-Dirigido se puede representar mediante: • Matriz de Adyacencia • Lista de Adyacencia • Arreglos para la Lista de Adyacencia. • Sea el siguiente Grafo Dirigido: • Donde: • V={1,2,3,4} • E={(1,2),(2,3), (,3,1), ((4,2),(3,4)}

2 1 4 3 MATRIZ ADYACENTE La Matriz Adyacente A de un Grafo G=(V,E) tiene V*V elementos y se define como: Fila Columna Sea: E={( 1 , 2 ), ( 2 , 3), (3 , 1 ), ( 4 ,2),( 3 , 4 )}

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MATRIZ DE ADYACENCIA VENTAJAS: Se puede determinar en un tiempo fijo y constante si un enlace(arco) pertenece o no al grafo. Es fácil determinar si existe o no un arco o enlace, solo se debe posicionar en la matriz. Es fácil determinar si existe un ciclo en el grafo, basta multiplicar la matriz por ella misma n veces hasta obtener la matriz nula(no hay ciclos) o bien una sucesión periódica de matrices(hay ciclo) DESVENTAJAS: Se requiere un almacenamiento |v|*|v|. Es decir O(n2). Solo al leer o examinar la matriz puede llevar un tiempo de O(n2).

LISTA ADYACENTE La lista de adyacencia para un vértice V es una lista enlazada de todos los vértices W adyacentes a V. Un grafo puede ser representado por |V| listas de adyacencias, una para cada vértice. Vértices 1 2 3 4 Lista de Grafos Adyacencia

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS LISTAS DE ADYACENCIA • VENTAJAS: • La lista de adyacencia requiere un espacio proporcional a la suma del número de vértices más el número de enlaces(arcos). Hace buen uso de la memoria. • Se utiliza bastante cuando el número de enlaces es mucho menor que O(n2) • DESVENTAJAS: • La representación con lista de adyacencia es que puede llevar un tiempo O(n) determinar si existe un arco del vértice i al vértice j, ya que pueden haber O(n) vértices en la lista de adyacencia. Para el vértice i.

UTILIZACION DE ARREGLOS PARA LA LISTA DE ADYACENCIA • VENTAJAS: • Se utilizan los arreglos para implementar la Lista de Adyacencia:

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