Gli Indici di VARIABILITA ’

1. Gli Indici di VARIABILITA’ Elementi di Statistica descrittiva - Campo di variazione • Scarto dalla media • Varianza • Scarto quadratico medio • Coefficiente di variazione

2. Indici di Variabilità I valori medi sono indici importanti per la descrizionesintetica di un fenomenostatistico Hanno però il limite di non darci alcuna informazione sulla distribuzione dei dati

3. Esempio In tre differenti prove di matematica 4 studenti hanno riportato le seguenti valutazioni In tutte e tre le prove la media è 6,25 ma i dati sono chiaramente distribuiti in modo diverso

4. Diagramma di distribuzione delle tre prove

5. nel caso della 1aprova e 2a prova sarà opportuno fare un recupero per alcuni studenti • nel caso della 3a prova l’insegnante può ritenere che gli obiettivi siano stati raggiunti dalla classe, anche se ad un livello solo sufficiente

6. In statistica è possibile valutare in modo sintetico la distribuzione dei dati mediante gli indici di variabilità (o dispersione) Vedremo i seguenti indici • Campo di variazione (Range) • Scarto medio dalla media • Varianza e scarto quadratico medio • Coefficiente di variazione

7. Campo di variazione E’ il più semplice degli indici di variazione: Si calcola facendo la differenza tra il dato più grande e il dato più piccolo Campo variazione = x max – x min Rappresenta l’ampiezza dell’intervallo dei dati

8. Esempio Consideriamo le valutazioni della prima prova Xmax = 9; Xmin = 3 Range = 9 – 3 = 6

9. Calcoliamo il Range per tutte le tre prove Range 1a prova = 6  dati più dispersi, risultati più eterogenei Range 3a prova = 1  dati più concentrati, risultati più omogenei Range 2a prova = Range 1a prova = 6 Stessa Distribuzione?

10. Vediamo graficamente

11. Osservazioni: • 1. Il campo di variazione dà informazioni sulla distribuzione dei dati: • più R è piccolo più i dati sono concentrati; • più R è grande più i dati sono dispersi. • 2. R è espresso nella stessa unità di misura dei dati • 3. Tuttavia R tiene conto solo dei dati estremi della distribuzione e non di tutti i dati, pertanto distribuzioni diverse ma con gli stessi valori estremi hanno range uguali Es. Range 1aprova = Range 2a prova. • ma distribuzione 1a prova  Distribuzione 2a prova

12. Scarto medio dalla media aritmetica Un altro modo per calcolare la variabilità dei dati (tenendo conto di tutti i dati) consiste nel calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distanze Scarto medio = Distanza media dei dati dalla media

13. Osservazione Scarto sm = 0

14. Esempio Consideriamo le valutazioni della prima prova x1 =  3 – 6,25  = 3,25; x2 =  5 – 6,25  = 1,25; x3 =  8 – 6,25  = 1,75; x4 =  9 – 6,25  = 2,75; Sm = 3,25 + 1,25 + 1,75 + 2,75 = 2,25 4

15. Calcoliamo lo Scarto medio per tutte le tre prove Scarto 1a prova = 2,25  dati più dispersi, risultati più eterogenei Scarto 3a prova = 0,38  dati più concentrati, risultati più omogenei Scarto 2a pr.  Scarto 1a pr. “Le Distribuzioni Differiscono”

16. Diagramma degli scarti dalla media

17. Osservazioni: • 1. Lo scarto medio dalla media dà informazioni sulla distribuzione dei dati: • più SM è piccolo più i dati sono concentrati; • più SM è grande più i dati sono dispersi. • 2. SM è espresso nella stessa unità di misura dei dati • 3. Non ha l'inconveniente del “Campo di variazione” in quanto SM tiene conto di tutti i dati della distribuzione

18. Varianza e Scarto quadratico medio Sono gli indici di variabilità più utilizzati, e tengono conto della distribuzione di tutti i dati. Varianza Rappresenta la media aritmetica dei quadrati delle distanze dei dati dalla media M

20. Esempio - Varianza Consideriamo le valutazioni della prima prova (x1)2 = (3 – 6,25 )2 = 10,5625; (x2)2 = (5 – 6,25 )2 = 1,5625; (x3)2 = (8 – 6,25 )2 = 3,0625; (x4)2 = (9 – 6,25 )2 = 7,5625; 2 = 10,5625+1,5625+3,0625+7,5625 = 5,6875 4

21. Calcoliamo la Varianza per tutte le tre prove Varianza 1aprova = 5,69  dati più dispersi, risultati più eterogenei Varianza 3a prova = 0,19  dati più concentrati, risultati più omogenei Varianza 2a pr.  Varianza 1a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

22. Scarto quadratico medio o Deviazione standard È uguale alla radice quadrata della varianza

23. Esempio - Scarto quadratico medio Riprendiamo le valutazioni della prima prova

24. Calcoliamo lo Scarto quadratico medio per tutte le prove Scarto q. 1aprova = 2,38  dati più dispersi, risultati più eterogenei Scarto q. 3aprova = 0,43  dati più concentrati, risultati più omogenei Scarto q. 2a pr.  Scarto q. 1a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

25. Osservazioni: • 1. La varianza 2 e lo scarto quadratico medio danno informazioni sulla distribuzione dei dati: • più 2 e sono piccoli più i dati sono concentrati; • più 2 e  sono grandi più i dati sono dispersi. • 2. Entrambi gli indici tengono conto di tutti i dati della distribuzione

26. 3. Entrambi si basano sulla proprietà della media per cui la somma dei quadrati degli scarti dalla media è minima 4. La varianza è espressa mediante il quadrato dell’unità di misura dei dati 5. Lo scarto quadratico nella stessa unità di misura dei dati e pertanto viene preferito alla varianza

27. Il coefficiente di variazione CV Il CV è una misura relativa di dispersione (le precedenti sono misure assolute) ed è una grandezza adimensionale. E’ particolarmente utile quando si devono confrontare le distribuzioni di due gruppi con medie molto diverse o con dati espressi in scale differenti (es. confronto tra variazione del peso e variazione dell’altezza).

28. In natura il coeff. di variazione tende a rimanere costante per ogni fenomeno: i valori normalmente variano dal 5% al 15% Se i valori di CV sono esterni a quelli indicati « o si è in presenza di errori di rilevazione, « oppure il fenomeno presenta aspetti particolari. « se CV è molto basso (2 – 3 %) bisogna sospettare l’esistenza di fattori limitanti la variabilità, « se CV è molto alto (intorno al 40% o più) è molto probabile l’esistenza di fattori che aumentano la variabilità

29. Calcoliamo il Coeff. di variazione delle tre prove CV 1a prova = 38,16%  dati più dispersi, risultati più eterogenei CV 3a prova = 6,93%  dati più concentrati, risultati più omogenei CV 2a pr.  CV 1a pr  “Le Distribuzioni Differiscono”

30. Coefficiente di variazione Esempio Nel reparto di ginecologia e ostetricia di un ospedale è stato rilevato il peso di un campione di 80 neonati maschi e contemporaneamente il peso dei rispettivi papà. I dati ottenuti sono espressi nella seguente tabella: Ci si chiede se, rispetto alla variabile peso, esiste più variabilità nel gruppo dei neonati o in quello dei papà.

31. Per poter operare un confronto sulla variabilità dei due gruppi è opportuno calcolare i rispettivi coefficienti di variazione: Osservando i risultati si può concludere che il gruppo dei bambini presenta una maggiore variabilità rispetto a quella del gruppo dei Papà.

32. Le misure di Forma Sono indici sintetici utilizzati per evidenziare particolarità nella forma della distribuzione. • Noi esamineremo: • l’asimmetria • la curtosi

33. Asimmetria media = mediana = moda Una distribuzione è simmetrica quando la sua curva di frequenza presenta un asse di simmetria In una distribuzione simmetrica media, mediana e moda sono coincidenti. In una distribuzione asimmetrica media, mediana e moda non sono più coincidenti La differenza (distanza) tra la media e la moda può essere considerata una misura della asimmetria

34. Sono state proposte diverse misure dell’ asimmetria, per esempio le più semplici sono: Dette rispettivamente: primo e secondo coeff. di asimmetria di Pearson Un altro coeff di asimmetria è il Coeff. di asimmetria (di Fisher) • = scarto quadratico medio Se a = 0 distribuzione simmetrica Se a > 0 asimmetria destra Se a < 0 asimmetria sinistra

35. Asimmetria positiva (as. Destra) media=63,65 moda = 48 mediana =58 La distribuzione è asimmetrica quando non presenta nessun asse di simmetria. Si ha un’asimmetria positiva o destra quando il ramo destro della curva è più lungo di quello sinistro In questo caso si ha: moda < mediana < media

36. Asimmetria negativa (as. Sinistra) media = 85,24 moda = 100 mediana = 90 Si ha un’asimmetria negativa o sinistra quando il ramo sinistro della curva è più lungo di quello destro In questo caso si ha: media < mediana < moda

37. Curtosi Se una distribuzione è simmetrica o quasi simmetrica allora può esser più o meno appuntita o più o meno appiattita rispetto alla distribuzione normale (o di Gauss) • Se la curva è • più appuntita si dice curva Leptocurtica • più appiattita si dice curva Platicurtica Coeff. di curtosi di Pearson •  = scarto quadratico medio • 0  K < +  • Se K = 3 distribuzione normalese K > 3 curva leptocurtica • Se K < 3 curva platicurtica.

38. Curtosi leptocurtosi K = 8,57 curva normale K = 3 platicurtosi K = 2,8

39. Curtosi Spesso il coeff. di curtosi viene indicato con b2 che, come visto, nel caso della distribuzione normale è = 3 pertanto, talvolta, la curtosi viene indicata con (b2 – 3) Allora: se la distribuzione è normale (b2 – 3 ) = 0 se la distribuzione è leptocurtica (b2 – 3 ) > 0 se la distribuzione è platicurtica (b2 – 3 ) < 0

40. Esempio 1 Data la seguente distribuzione unitaria del carattere X: X: 4 2 4 2 6 4 0 4 0 2 4 4 a. Calcolare la media aritmetica utilizzando la distribuzione di frequenza; b. Verificare che la somma degli scarti dalla media è zero; c. Verificare che la somma degli scarti al quadrato dalla media ( varianza) è più piccola della somma dal valore 2 ( ciò vale per ogni altro valore diverso dalla media aritmetica ).

41. Esercizio 2 • Con riferimento alla seguente distribuzione di un gruppo di 60 aziende, secondo la classe di fatturato, calcolare • La media e la classe modale; • La varianza e lo scarto quadratico medio della distribuzione di fatturato.

43. Quando i valori si presentano raggruppati in classi si parla di classi modali. Se la distribuzione delle unità statistiche hanno intervalli di ampiezza diversa, allora la classe modale è quella classe a cui corrisponde la massima densità di frequenza hi. Nel nostro caso: Nel nostro caso è la classe modale 0 – 5

44. b) La varianza e lo scarto quadratico medio della distribuzione di fatturato.

45. Fine Lezione

46. La deviazione standard è particolarmente significativa nelle distribuzioni gaussiane (grafico simmetrico rispetto alla media). Si può dimostrare che se la distribuzione è gaussiana, si ha che: σè un parametro che caratterizza la distribuzione normale (Gaussiana)

47. In una distribuzione perfettamente simmetrica con media M