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第十章 數論演算法

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第十章 數論演算法

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  1. 第十章 數論演算法 • 10.1數論回顧(Number Theory Review) 10.1.1合成數與質數 10.1.2最大公因數 10.1.3質因數分解 10.1.4最小公倍數 • 10.2計算最大公因數 10.2.1歐幾里得演算法 10.2.2歐幾里得演算法的擴充

  2. 10.3模演算的回顧 10.3.1群論 10.3.2在模n同餘 10.3.3子群 • 10.4解模線性方程 • 10.5計算模冪次 • 10.6尋找大質數 10.6.1搜尋大質數 10.6.2檢驗數值是否為質數 • 10.7 RSA加密系統 10.7.1公鑰加密系統 10.7.2 RSA加密系統

  3. 10.1數論回顧(Number Theory Review)

  4. 10.1.1合成數與質數 • 若大於1個整數n僅有兩個除數:1與n,則我們稱n為質數(prime number)或簡稱為質(prime)。質數沒有因數。大於1的非質數整數則被稱為合成數(composite number)。合成數至少有一個因數。

  5. 10.1.2最大公因數 • 若h│n且h│m,則h稱為n和m的公因數。若n和m不全為零,則n和m的最大公因數(greatest common divisor),被標示為gcd(n,m),是同時整除他們的最大整數。

  6. 定理10.1 • 若h│n且h│m,則對於任何整數I和 j h│(in+jm) • 證明:既然h│n和h│m,則存在整數k和l使得n=kh及m=lh。因此 in+jm=ikh+jlh=(ik+jl)h 代表h│(in+jm)

  7. 定理10.2 • 令n和m為整數,不全為0,並令 即,d是n和m的最小正線性組合。則

  8. 證明

  9. 推論10.1 • 假設n與m為整數,不全然為0,則n與m的每個公因數皆為gcd(n,m)的除數。 意指如果h│n且h│m,則 h│gcd(n,m) • 證明:藉由先前的定理,gcd(n,m)為n與m的線性組合。由定理10.1可得此證明

  10. 定理10.3

  11. 10.3.1質因數分解

  12. 定理10.4 • 若h與m互質,且h整除nm,則h整除n。 也就是說。gcd(h,m)=1且h│nm意味著h│n。 • 證明: ih+jm=1 (ni)h+j(nm)=n

  13. 推論10.2 給定整數n,m及質數p,假如p│nm,則p│n或p│m(可兼得)

  14. 定理10.5 唯一分解定理(unique factorization theorem) • 大於1的整數必可分解為唯一的一組質數乘積,亦即 其中p1<p2<…<pj皆為質數,且這個n的表示式是唯一的。整數ki在n中稱為pi的次數(order)

  15. 定理10.6 • gcd(n,m)為n與m兩者質數乘積的共同部分,而乘積中各個質數的冪次為其在n與m中次數較小者

  16. 10.1.4最小公倍數 • 類似最大公因數的概念式最小公倍數。 若n與m皆不為零,則n與m的最小公倍數(least common multiple),標示為1cm(n,m),是他們同時整除的最小正整數。

  17. 定理10.7 • 1cm(n,m)為n與m兩者質數乘積的共同部分,而乘積中各個質數的冪次為其在n與m中次數較大者

  18. 10.2計算最大公因數 10.2.1歐幾里得演算法

  19. 演算法10.1 歐幾里得演算法

  20. 定理10.8

  21. 分析演算法10.1 最差情況時間複雜度(歐幾里得演算法) • 基本運算:計算餘數的過程中,單一位元的運算 • 輸入大小:花在將n編碼的位元數s及將m編碼的位元數t。

  22. 證明遞迴呼叫calls(s,t)的次數為

  23. 10.2.2 歐幾里得演算法的擴充

  24. 10.2演算法 歐幾里得演算法2

  25. 定理10.9

  26. 10.3模演算的回顧

  27. 10.3.1群論

  28. 定理10.10

  29. 定理10.11

  30. 10.3.2在模n同餘

  31. 定理10.12

  32. 定理10.13

  33. 定理10.14

  34. 定理10.15

  35. 定理10.16

  36. 定理10.17

  37. 10.3.3子群 • 若G=(S,*)為一個群, ,且 亦為一個群,則稱 為G的子群(subgroup)。若 ,則稱 為嚴格子群(proper subgroup)

  38. 定理10.18

  39. 定理10.19

  40. 定理10.20

  41. 定理10.21

  42. 定理10.22