1 / 28

Pertemuan 4

Pertemuan 4. Vektor 2 dan 3 Dimensi. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS. Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan Vektor Dimensi 3 Dapat menghitung perkalian dan jarak antara 2 vektor. Vektor di Ruang-2 Vektor di Ruang-3

eshe
Télécharger la présentation

Pertemuan 4

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pertemuan 4 Vektor 2 dan 3 Dimensi Aljabar Linear

  2. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : • Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan Vektor Dimensi 3 • Dapat menghitung perkalian dan jarak antara 2 vektor Aljabar Linear

  3. Vektor di Ruang-2 Vektor di Ruang-3 Bab 3.1 Aljabar Linear

  4. 3.1) Vektor -> Pengantar vektor v = AB Adisebut titik awal/inisial Bdisebut titik akhir/terminal Arah panah = arah vektor Panjang panah = besar vektor B v A Vektor : Besaran skalar yang mempunyai arah ex : gaya, ke kanan bernilai (+) , ke kiri bernilai (-) Secara geometris, Simbol vektor : v Skalar vektor : v + Vektor : 2 dimensi - * 3 dimensi + - * Aljabar Linear

  5. B v A vektor v =AB Adisebut titik awal/inisial Bdisebut titik akhir/terminal Vektor-vektor ekivalen Dianggap sama Panjang dan arahnyasama Aljabar Linear

  6. Negasi sebuah vektor v–v secara geometrik v Panjang sama, arah berlawanan –v Penjumlahan dua vektor: w= u + v secara geometrik Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v) w v u u w v v w u Aljabar Linear

  7. Penjumlahan dua vektor: w = u + v w v u • Cara analitik: • Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3 • Ruang-2:u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2) • w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2) • = (u1 + v1, u2 + v2) • w1= u1 + v1 • w2= u2 + v2 Aljabar Linear

  8. Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar secara geometrik: v v 3v –2v Aljabar Linear

  9. Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = kv ; k = skalar Cara analitik: Di Ruang-2:w = kv = (kv1, kv2) (w1, w2) = (kv1, kv2) w1= kv1 w2 = kv2 Aljabar Linear

  10. Koordinat Cartesius: • P1 = (x1, y1) dan P2 =(x2, y2) • P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1) • atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x1 dan komponen kedua y1 • P2dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2) • atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x2 dan komponen kedua y2 • Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1) Aljabar Linear

  11. Using Coordinat y v ( v1, v2 ) v1 & v2 komponen2 v Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 ) ( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 ) = ( 1 + 7, -2 + 6 ) = ( 8, 4 ) ( - ) v – w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 ) = ( 1 - 7, -2 - 6 ) = ( -6, -8 ) ( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 ) = ( 4, -8 ) x w V + w v V - w 4v Aljabar Linear

  12. Vektor 3 dimensi z 6 v = ( v1, v2, v3 ) Misal: v = ( 4, 5, 6 ) Mis : v = ( 1, -3, 2 ) w = ( 4, 2, 1 ) ( + ) v + w = ( 5, -1, 3 ) ( - ) v – w = ( -3, -5, 1 ) ( * ) 2 v = ( 2, -3, 4 ) v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 ) y v 5 4 x P2 v P1 Aljabar Linear

  13. Ex 2 hal 104 Example 2: Komponen-komponen Vektor v = P1 P2 dengan titik permulaan P1 ( 2, -1, 4 ) Dan titik Terminal P2 ( 7, 5, -8 ) adalah: v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 ) Analog dengan itu, maka di dalam ruang-2 vektor dengan titik permulaan P1 ( x1, y1 ) dan titik terminal P2 ( x2, y2 ) adalah: P1 P2 = (x2 - x1 , y2 - y1 ) Aljabar Linear

  14. Translasi sumbu-y sumbu-y’ (x, y) (x’, y’) y’ P y (0, 0) l x’ sumbu-x’ (k, l) k x sumbu-x (0, 0) x’ = x – k y’ = y – k Aljabar Linear

  15. Translasi sumbu-y’ P (x, y) (x’, y’) sumbu-y y’ pers.Translasi : x’ = x - k y’ = y – l x = x’ + k y = y’ + p Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah koordinat ( x’ , y’ )? Jwb : x’ = x – k y’ = y – l = 2 – 4 = 0 - 1 = -2 = -1 (0, 0) x’ l sumbu-x’ (k, l) x k sumbu-x (0, 0) Aljabar Linear

  16. Ex 3 hal 104 Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’-coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1) • Find the x’y’-coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2, 0 ) • Find the xy-coordinates of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1, 5 ) Solutions (a): the translations equations are x’ = x – 4 y’ = y – 1 So the x’y’-coordinates of P ( 2, 0 ) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = - 1 Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as x = x’ + 4 y = y’ + 1 So the xy-coordinates of Q are x = -1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6 Aljabar Linear

  17. Contoh soal Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P jwb : v = ( 4, 5 ) dari titik P so, x’ = 4 y’ = 5 Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat mula-mula ( 0, 0 ) x = k + x’ y = l + y’ = 2 + 4 = 3 + 5 = 6 = 8 Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q ( 6, 8 ) y y’ v x’ P ( 2, 3 ) x Aljabar Linear

  18. Aritmatika vektor Norma sebuah vektor Bab 3.2 Aljabar Linear

  19. Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3 • Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3 • k, l adalah skalar (bilangan real) • u+v = v+u • (u+v)+w = u+(v+w) • u+0 = 0+u = u • u+(-u) = (-u)+u = 0 • k(lu) = (kl)u • k(u+v) = ku + kv • (k+l)u = ku + lu • 1u = u Aljabar Linear

  20. Bukti teorema 3.2.1.: • Secara geometrik (digambarkan) • Secara analitik (dijabarkan) • Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3 • u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3) • u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0) • = (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0) • = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (0+ u1, 0 + u2, 0 + u3) • = v + u = 0 + u • = (u1, u2, u3) • = u Aljabar Linear

  21. k(lu) = k (lu1, lu2, lu3) k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)) = (klu1, klu2, klu3) = k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = kl(u1, u2, u3) = (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 ) = klu = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 ) = ku + kv (k + l)u = ((k+l)u1, (k+l)u2, (k+l)u3) = (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3) = k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3) = ku + lu Aljabar Linear

  22. Norma sebuah vektor: (Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor) Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| =  u12 + u22 Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| =  u12 + u22 + u32 Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1 Aljabar Linear

  23. Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1) jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) d =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) d =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 Aljabar Linear

  24. Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka norma ku = | k | || u || Aljabar Linear

  25. Vektor bisa dinyatakan secara grafik analitik (diuraikan mjd komponennya) • Norma v = panjang vektor v = || v || = v1 + v2 • v = P2 P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 ) d = || v || = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 + ( z2 – z1 )2 Ex: • Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14 • Jarak ( d ) antara titik P1 ( 2, -1, -5 ) dan P2 ( 4, -3, 1 ) adalah d = ( 4 – 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2 = 44 = 2 11 Aljabar Linear

  26. Contoh (1): Cari norma dari v = (0, 6, 0) Penyelesaian : Contoh (2): Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4 Penyelesaian : ||kv|| = | k | [(–1)2 + 22 + 52 ] = | k |30 = 4  | k | = 4 / 30 k=  4 / 30 Aljabar Linear

  27. Contoh (3): Carilah jarak antara • P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7) • P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3) Penyelesaian : • d =(5 – 3)2 + (7 – 4)2 =  4 + 9 = 13 • d =(6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 =  9 + 9 + 0 = 18 Aljabar Linear

  28. PR • 3.1 3.f , 4, 6.f , 7, 8, 10, 11 • 3.2  2.b, 3.f , 4, 5, 6, 7 Aljabar Linear

More Related