Download
1 / 55
550 likes | 679 Vues
Advanced Topics in Search Theory. 3: Concurrent Search. Theme Paper. The Economics of Information – George Stigler, 1961. שונות מחירים. מדוע מוכרים שונים קובעים מחירים שונים לאותו מוצר הומוגני? שונות המחירים כמדד לחוסר המידע בשוק כאשר יש שונות גדולה במחירים, כדאי לדגום מספר מוכרים. דוגמה.
E N D
Advanced Topics in Search Theory 3: Concurrent Search
Theme Paper • The Economics of Information – George Stigler, 1961
שונות מחירים • מדוע מוכרים שונים קובעים מחירים שונים לאותו מוצר הומוגני? • שונות המחירים כמדד לחוסר המידע בשוק • כאשר יש שונות גדולה במחירים, כדאי לדגום מספר מוכרים
דוגמה • המוכרים מתחלקים (באופן שווה) בין כאלה המבקשים 2$ עבור המוצר וכאלה המבקשים 3$ • מהי התפלגות המחיר המינימלי אם דוגמים מספר מוכרים? 0.75*2+0.25*3 0.875*2+0.125*3
Distribution of the Minimum Price fN(x) fN(x)
תוחלת מינימום המחיר • דוגמה – uniform distribution f(x) 1 P=1 0 1 F(x) 1 0 1
תוחלת מינימום המחיר (המשך) • You can easily check this with Excel… • Can you guess what is EN(x) for the maximum of a sample?
התועלת שבדגימה נוספת • יורד בקצב קטן (הוכחה על-ידי Robert Solow)
עלות החיפוש • בד"כ פרופורציונאלית למספר המוכרים שנדגום • כמות החיפוש האופטימלית תתקבל על-ידי השוואת הרווח השולי מחיפוש נוסף ועלות החיפוש cost of search marginal benefit N
Sequential Search • Expected benefit when using sequential search with reservation value: • And when searching for minimal price:
Sequential Search • We also know that V(x*)=x* searching for maximum searching for minimum
איזו שיטה עדיפה? • Take the uniform distribution as an example: • One-sample strategy: overall expected cost: • Sequential search:
Comparison • Sequential search is always better (why?) • Unless what?
דוגמה • מחירים מתפלגים בצורה אחידה בין 50 ל- 100 (רציף) • עלות כל מחיר נוסף – 1 דולר f(x) 0.02 N=5: E_5+5=63.33 N=6: E_6+6=63.14 N=7: E_7+7=63.25 50 100
EN+N N
מתי נעדיף לדגום N בו-זמנית? • מועמד השולח בקשות למספר מוסדות • חברה הפונה למספר ספקים לקבל הצעות • תהליך הבודק מספר שרתים בו זמנית
תוחלת של מקסימום (המשך) • עבור התפלגות אחידה בין 0 ל- 1:
Problem 1 • You are about to purchase an iPod touch over the internet • You estimate the price distribution of the product over the different sellers to be uniform between 200-300 dollars • You can search by yourself, by visiting different web-sites – the cost of time for obtaining a price quote is $1 • How will you search? What will be your expected cost? What’s the mean of the number of merchants you’ll visit?
Problem 1 (cont.) • Alternatively, you can access one of the comparison-shopping web-sites over the internet • Web-site “A” offers you searching 100 web-sites for a total of $10 (average of 10 cent per searched site). • Web-site “B” offers you searching 20 web-sites for a total of $2 (average of 10 cent per searched site)
Solution • The minimum of a sample of size 100 can be calculated using:
Solution (cont.) • Calculating the expected minimum: Integration by parts:
Solution (cont.) • 214.14>200.99+10 • So we better take this offer… • and here is a simpler way to come up with that: • The minimum of 100 quotes is very close to the 200 lower bound • In fact, we know for the uniform distribution that: f(x) 0.01 200 300 In the 201 vicinity
It can become even simpler… f(x) • In our problem: 0.01 200 300 f(x) 1 0 1
Solution for web-site B • Conclusion: it’s better to use web-site B
Problem 1 (cont.) • What would be the break-even cost of search c, for which we’ll prefer to search by ourselves?
מודל משולב • עלות דגימה של N הזדמנויות היא: α+βN • ערך דגימה מגיע מהתפלגות g(x) ו- G(x) • מינימום המדגם הוא: • פונקציית התפלגות המינימום:fN(y) ו- FN(y) • תוחלת המינימום: • ה- horizon אינסופי
אסטרטגיה אופטימלית • לאחר קבלת מדגם בגודל N, ניתן: • לסיים החיפוש ולשלם YN • לבקש מדגם נוסף בגודל N, ולשלם שובα+βN • האסטרטגיה האופטימלית מאופיינת על-ידי הצמד (N*,x*): • N* - גודל המדגם האופטימלי שיש לעבוד לפיו • x* - ה- reservation value בו יש להשתמש • שאלה: מדוע N* ו- x* אינם תלויים באיטרציית החיפוש בה אנו מצויים (כלומר בזמן)?
Analysis • For fixed (arbitrary) N, VN(x) is the expected search cost (until the search is terminated) using the rule: • Terminate search if YN≤x • Resume search otherwise • Notice that:
Analysis • The expected cost is thus: • Notice that: (this is very intuitive)
Analysis • Also notice: Bernoulli trial is an experiment whose outcome is random and can be either of two possible outcomes, "success" and "failure".
Analysis • Proof:
Strictly Decreasing Cost Function • If VN‘(x)=0 does not exist over [0,A] then either: • VN(x) is strictly increasing • VN(x) is strictly decreasing • From , the sign of VN‘(x) is determined by , and from the sign is negative
Strictly Decreasing Cost Function Proof: For any value x≥A, (why?) Therefore, VN(x) strictly decreases in x if and only if A-VN(A) < 0 which is equivalent to
Example – uniform distribution • (0.01=, 0.002=, N=3) α+βN
התחום בו מצוי הפתרון Solution Algorithm
Finding x* • What if α, β, N increase?
Finding N* • The trivial way: • Set N = 1 and calculate V1(x)=x1 Then set N = 2 and calculate V2(x)=x1and so on. Then choose a sample size N* for which the value of the cost function is minimal • How long should we continue with this? • We know that and Also, clearly: and therefore:
Algorithmic approach for N* Proof: Therefore:
Similarly: • Now, let’s assume and show that: • According to theassumption:
If (i.e., otherwise): • Therefore: ≤
however notice that: non-negative, strictly decreasing in k Hence: Which leads to a contradiction! Implication: just check for increasing N values until you see an increase
Special cases • What is the optimal sample size for α=0? β=0?
