Mapa conceptual de Álgebra II

1. Mapa conceptual de Álgebra II

2. Problema a resolver al final del curso • Se tiene un terreno rectangular y se quiere construir una pileta en forma de elipse cuyo eje no sea paralelo los lados del terreno

3. Parte del Mapa Conceptual de Álgebra I

4. Espacios vectoriales .Definición Sea V un conjunto cuyos elementos se llamarán vectores Se definen dos operaciones : Suma de vectores → cada par de vectores u,vle corresponde otro vector u +v Producto de un vector por un escalar → Dado k (nro.real o complejo) y un vector u le corresponde otro vector k.u

5. Propiedades de la suma • S1 ) Si u є V , v є V → u+v є V ( cerrada ) • S2) u + v = v+u , para todo u,v є V ( conmut.) • S3 ) (u +v) +w = u+(v+w) (asociativa) • S4) Existe elemento neutro para la suma o sea existe 0 єV , tal que 0+u=u para todo u є V • S5) Para todo u є V existe el vector inverso designado por -u que cumple u+ (-u) =0

6. P1) Para todo perteneciente a V k. Propiedades del producto • P1) Para todo uєV → k.u є V (cerrada) • P2) Para todo u є V →1.u =u • P3) (k1.k2 ).u = k1.(k2 .u ) (asociativa) • P4 ) (k1+k2 ).u = k1.u+k2.u (distributiva) • P5) k.(u+v) = k.u+k.v (distributiva)

7. Proposiciones • a)El 0 ,elelemnto neutro para la suma es único • b) Dado 0  R y dado cualquier uV , se cumple que 0.u =0v • c) Dado 0v el elemento neutro de un e.v. V y dado cualquier a R , se cumple a.0v = 0v • d) Para todo u V , -1.u = -u

8. Subespacio . Definición • Un subconjunto S no vacío de V es un subespacio de V → la suma y el producto definidas en V estructuran también a S como un espacio vectorial .

9. Propiedades necesarias para que S V (e.v.) sea subespacio • a) Si c) 0v S

10. Definiciones • Combinación lineal : Un vector v  V es combinación lineal de los vectores v1,v2,…vk si existen escalares 1,.. ..k tal que v = 1v1+ …..kvk • Sistema de Generadores : Un conjunto de vectores M = {v1 ,….vn } tal que vi  V (e.v.) genera al espacio V si y sólo si para todo xV , x = 1v1+ …..nvn

11. 3 . Conjunto de vectores linealmente dependiente o linealmente independiente Sea M ={ v1,v2 ,….vk } un conjunto de vectores tal que vi V (e.v.) y sea v11+ ….vkk = 0 (una com-binación lineal de dichos vectores igualada a 0) entonces nos queda formado un sistema de ecuaciones homogéneo que puede tener  soluciones  M es un conjunto linealmente dependiente solución única  M es un conjunto linealmente independiente .

12. 4. Sea V e.v. y B= { vi } i=1..n / viV para todo i. Decimos B es una base de V si cumple dos condiciones : a) B es un conjunto l.i. b) B es un sistema de generadores de V Ejemplo : Base canónica • Rn : (1,0,…0) , (0,1,0…),(0,…1) • Rnxm (por ejemplo 2x3) ……… • Pn ………………

13. 5. Coordenadas de un vector respecto de una base : Sea B = { ei } i=1…n una base de V e.v. y un vector x V , entonces a los escalares i / x= 1e1+….. nen se los llama coordenadas de un vector respecto de la base B.

14. Proposiciones • Para todo x V e.v. existen coordenadas respecto de una base b)Las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas c) Si un espacio vectorial tiene una base de n elementos , entonces cualquier conjunto de n+1 elementos es un conjuno l.d. d) Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos

15. Definición 6. Dimensión de un espacio vectorial V : Es el número de elementos que contiene una base de V

16. Proposiciones e) En un e.v. V / dim V =n , n vectores l.i. pertenecientes a V determinan una base de V f) En un e.v. V / dim V =n si n vectores pertenecientes a V son un S.G. de V , entonces son una base de V

17. Definiciones Dados dos subespacios S y T de V e.v. podemos definir : • Intersección  S T= { x V / xS y x T} • Unión  ST={ xV / xS ó xT } • Suma  S+T = { xV / x=a+b con aS,bT } • Suma directa  S T = S+T con S T={ 0 }

18. Proposiciones • Teorema de la dimensión de suma de subespacios : Si S y T son subespacios de V e.v. ,tal que dimV es un número finito ,entonces dim(S+T) = dim(S) + dim( T) –dim (S T)