De wondere wereld van de kwantummechanica

1. De wondere wereld van de kwantummechanica Vijfde les Voorbeelden en toepassingen

2. Voorbeelden: het waterstofatoomKwantisatie als eigenwaardeprobleem Ann. d. Phys. 79 (1926) 361-376 Quantisierung als Eigenwertproblem; von E. Schrödinger (Erste Mitteilung) “In dieser Mitteilung möchte ich zunächst an dem einfachsten fall (nichtrelativistischen und ungestörten) Wasserstoffatoms zeigen, daß die üblichen Quantisierungsvorschift sich durch anderen Forderung ersetzen läßt, in der kein Wort von “ganzen zahlen” [zoals L=nħ]mehr vorkommt. Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselben natürlichen art, wie etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite. Die neue Auffassung ist verallgemeinerungsfähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief an das wahre Wesen der Quantenvorschriften.”…

3. ...”Wir suchen solche reelle im ganzen Konfigurationenraum eindeutige endliche und zweimal stetig differenzierbare Funktionen ψ, welche das über den ganzen Konfigurationenraum erstreckte Integral der eben genannten quadratischen Form zu einem Extremum machen. Durch dieses Variationsproblem ersetzen wir die Quantenbedingen.” … • Variatieprobleem voorbeeld: (modern) principe van Fermat: licht neemt de weg met de kortste optische weglengte L=nl, waarin n de brekingsindex is: Z-as L=n1l1+n2l2 moet minimaal zijn. Welke keuze van xO hoort daarbij? X-as wet van Snellius! • Variatieprobleem is ook uitgangspunt van de lagrange/hamilton formulering van de klassieke mechanica: “Principe van de minste actie.”

4. ...“Wir werden für H zunächst die Hamiltonsche Funktion der Keplerbewegung nehmen [H=T+V=p2/(2m)-e2/r ] und zeigen, daβ die aufgestellte Forderung für alle positiven, aber nur für eine diskrete Scharvon negativen E-Werten erfüllbar ist. D.h. das genannten Variationsproblem hat ein diskretes und ein kontinuierliches Eigenwertspektrum. Das diskrete Spektrum entspricht den Balmerschen Termen, das kontinuierliche den Energien der Hyperbelbahnen.”… • Dan volgt: • K is een constante die om dimensionele redenen is ingevoerd. S. gebruikt elektrostatische eenheden, daarom ontbreekt 4πε0 • S. bindt oplossingen aan een aantal randvoorwaarden, zoals integreerbaar zijn. Noodzakelijke, maar niet voldoende voorwaarde voor integreerbaarheid: ψ→0 als r→ ∞. • Hij onderscheidt E>0 (ongebonden toestand)en E<0 (gebonden toestand).

5. Na een wiskundige tour de force (8 bladzijden, met dank aan collega Herman Weyl van de ETH). Voor E<0: …‘’Die Bedingung […] ergibt: [wij gebruiken n i.p.v. l] Es ergeben sich also die wohlbekannten Bohrschen Energieniveaus, die den Balmertermen entsprechen, wenn man der Konstante K, die wir in (2) aus dimensionellen Gründen einführen müßten, den Wert erteilt Dann wird ja Unser l ist die Hauptquantenzahl, n+1 hat Analogie mit der Azimutalquantenzahl, die…”…[wij gebruiken l i.p.v. n] • Het doel is bereikt, maar de wiskundige inspanning is veel en veel groter dan in de Bohrse, oude variant van de kwantummechanica! • Meeropbrengst: de golffuncties. Maar wat betekenen ze?

6. normeringfactor Laguerre polynoom sferisch harmonische functie r θ • Oplossing van het keplerprobleem door Newton: Dit zijn kegelsneden: ellips, parabool, hyperbool. • Oplossing van het keplerprobleem door Schrödinger Voor E<0: discreet • n: hoofdkwantumgetal, bepaalt de energie, n=1, 2, 3, …. • l: azimutaal (impulsmoment) kwantumgetal, bepaalt de grootte van het impulsmoment: L=√(l(l+1), l=0,1,…,n-1 (L kan 0 zijn!) • m: magnetisch kwantumgetal bepaalt de richting van L,m=-l…l • Ontbreken: s en ms • Voor E>0: continu: alle energiewaarden toegestaan. De oplossingen zijn lineaire combinaties van e-machten met een complexe exponent: golven (eiφ=cos(φ)+isin(φ)).

7. Ruimtelijke kwantisatie van het impulsmoment. De x en de y component van L zijn onbepaald. Gevolg van de onzekerheidsrelatie voor de componenten van L: ΔLxΔLy≥½ħ |<Lz>| (en cyclisch verder) De waarschijnlijkheid om L op de kegel te vinden is overal even groot.

8. Met het (baan)impulsmoment L correspondeert een magnetisch moment μ=(e/2m)gL,met g=1. In een magneetveld splitst het “gedegenereerde” energieniveau zich op in 2l+1 nieuwe niveau’s: verklaring van het Zeeman effect (ook het anomale) en van het Stern-Gerlach experiment. De verwachte waarde van μ (en L) voert een precessiebeweging uit om de veldrichting (Larmorprecessie). • Hetzelfde geldt voor spin, maar met een afwijkende g waarde:g=2,000… Basis van de Magnetic Resonance Imaging (MRI).

9. Contourplots van ψ, zie: • http://www.catalysis.nl/~chembond/ChemBond/notes/Hatom/Hatom3.html 1s 2pz 3dxy En ook http://physics.ius.edu/~kyle/physlets/quantum/hydrogen.html http://www.falstad.com/qmatom http://www.phy.davidson.edu/StuHome/cabell_f/Density.html En nog veel meer.

10. …”Es liegt natürlich sehr nahe, die Funktion ψ auf einenSchwingungsvorgang des Atoms zu beziehen, dem die den Elektronenbahnen heute vielfach bezweifelte Realität in höherem Maße zukommt als ihnen.”… …”Ich mochte auch jetzt noch nicht naher auf die Erörterung der Vorstellungsmöglichkeiten über diese Schwingungsvorgang eingehen, bevor etwas kompliziertere Fälle in der neuen Fassung mit Erfolg durchgerechnet sind.”… …“Es ist kaum nötig, hervorzuheben, um wie vieles sympathischer die Vorstellung sein würde, daβ bei einem Quantenübergang die Energie aus einer Schwingungsform [van het atoom als geheel] in eine andere übergeht als die Vorstellung von den springenden Elektronen [Bohrse model!].”… • S. zal zijn hele leven tegen die “lelijke kwantumsprongen” en de Born-Bohrse waarschijnlijkheidsinterpretatie van de golffunctie fulmineren, samen met Einstein en de Broglie. • Nobelprijs 1933, samen met Dirac.

11. IntermezzoSchrödinger’s vervolg • Er volgen na deze eerste binnen zes maanden nog drie “Mitteilungen”: • De tweede bevat een nieuwe afleiding van de golfvergelijking gebaseerd op de analogie tussen de (Hamilton) mechanica en de optica en een analyse van de relatie tussen “geometrische” en “golf”mechanica. Verder past hij in dit artikel de golfmechanica toe op de harmonische oscillator en het twee-atomig molecule. • De derde bevat een uitvoerige behandeling van storingsrekening en van de toepassing daarvan op het waterstofatoom in een elektrisch veld (Stark effect). • De vierde gaat in op tijdafhankelijke problemen, in het bijzonder de verstrooiing van straling door atomen en moleculen en de absorptie en emissie van straling. S. raakt er nu van overtuigd dat de tijdafhankelijke golffunctie intrinsiek complex van aard is • In 1926 toont S. aan dat de matrixmechanica van Heisenberg (ontwikkeld vòòr de golfmechanica) equivalent is met de golfmechanica. Daarmee staat de golfmechanica als een huis. Niet slecht voor een relatief onbekend theoretisch fysicus van 39 jaar!

12. In het laatste artikel komt hij nog een keer terug op de interpretatie van de golffunctie: • Dit lijkt verdacht veel op de waarschijnlijkherids-interpretatie die Born vrijwel gelijktijdig zal publiceren. Toch verwerpt Schrödinger later de Bornse interpretatie nadrukkelijk: • “Als ik dit had geweten dan had ik de golffunctie liever niet uitgevonden.”

13. Waterstofatoom: 2-D doorsnede van |ψ|2.Hoe heller, hoe groter de waarschijnlijkheidsdichtheid m magnetisch kwantumgetal bepaalt stand van L n hoofdkwantumgetal bepaalt energie E Grootste kans om het elektron in de kern aan te treffen??

14. Zolang er geen magnetisch of elektrisch is veld is hebben toestanden van gelijke n maar verschillende m dezelfde energie: degeneratie. • Een magneetveld heft de degeneratie op: zeemansplitsing. Een elektrisch veld geeft starksplitsing. • Alle niveaus met gelijke n en gelijke m blijken in een magnetisch veld op te splitsen in doubletten: fijnsplitsing. Gevolg van spin. • Interactie met het magnetisch moment van de kern geeft verdere opsplitsing: hieperfijnsplitsing. • Voor al deze effecten (en meer: b.v. verbodsregels en intensiteiten) geeft de kwantummechanica de juiste voorspelling.

15. kans uitkomst Intermezzo Kans en kansdichtheid Dobbelsteen: Kans op 2? P(2)=1/6 (0 ≤ P ≤1, P van Probability) Kans op 2 of 5? P(2)+P(5)=1/3 Kans op een uitkomst? Is 1; dus P(1)+...+P(6)=1 (normering) Verwachte uitkomst? (1/6)x1+ (1/6)x2+…+ (1/6)x6=3,5 Verwachte kwadratische uitkomst? (1/6)x12+ (1/6)x22+…+ (1/6)x62 =… Algemeen: de verwachte uitkomst van f(x) is

16. f b a De uitkomsten van de dobbelsteenworp zijn telbaar (discreet). Wat is de kans op een uitkomst bij de meting van de positie van een deeltje op de x-as? De uitkomsten zijn nu onaftelbaar (continu). De kans op een uitkomst is nu 0, want anders kan niet aan het normeringseis worden voldaan We kunnen alleen de kans bepalen dat het deeltje een positie tussen a en b (b>a) heeft. De kansdichtheid(functie) bepaalt die kans. normering De kans op een waarde tussen a en b is het corresponderende oppervlak onder de kansdichtheidfunctie. f ≥0, maar f hoeft niet ≤1 te zijn!

17. Voorbeeld: uniforme verdeling. f 0,1 x-as 0 10 Het oppervlak onder de kansdichtheid bepaalt de kans. De kans op een uitkomst <0 en op een uitkomst >10 is 0. De kans op een uitkomst tussen 0 en 1 is 0,1. De kans op een uitkomst tussen 0 en 10 is 1. De kans op een uitkomst in het interval -∞ (min oneindig) tot +∞ (plus oneindig) moet 1 zijn, want de uitkomst moet ergens liggen. Dat bepaalt in dit geval de hoogte van de functie tussen 0 en 10. Die moet 1/10 zijn. Wat is de verwachte uitkomst?

18. O cilinder: O=πa2 h=1/πa2 h x a y rdθ dr r Een tweedimensionale continue dobbelsteen: alleen uitkomsten (x,y) binnen afstand a van de oorsprong zijn mogelijk en even waarschijnlijk. Kansdichtheid? Kans op een uitkomst tussen r en r+dr? Volumen van het schilletje tussen r en r+dr, dat is: 2πrhdr=(2r/a2)dr. Deze kans is 0 als r=0 en maximaal als r=a. Verwachte uitkomst voor r?

19. E heeft een minimum: dE/dr=0 bij Kansdichtheid is groot bij de kern, maar kans om het elektron in de buurt van de kern aan te treffen is klein. Wat is de verwachte waarde van r in de grondtoestand(n=1, l=0, m=0)? Dit is (exact!) de straal van de eerste Bohrse baan! Nog een argument dat het elektron niet dicht in de buurt van de kern kan komen: onzekerheidsrelatie. Naarmate het elektron zich dichter bij de kern opsluit, wordt de onzekerheid in de impuls groter. Gevolg: elektron ontsnapt aan opsluiting. Weer (ongeveer) de straal van de eerste Bohrse baan! De onzekerheidsrelatie maakt het atoom “hard”.

20. θi θr Voorbeelden Het golfkarakter van deeltjes De lakmoesproef voor golfkarakter: het dubbele spleetexperiment van Young (ca 1800) dat leidt tot een interferentiepatroon. Probleem: de spleetdiameter en de spleetafstand moeten van de orde van de golflengte zijn. Voorbeeld: elektron wordt versneld met een potentiaalverschil van 100 V: ½mv2=eV => p=mv=m√2eV => λ=h/p=0,12 nm. Dit zijn atomaire afstanden (a=0,053 nm). Davisson en Germer (1927) elektronenbundel op Ni folie geeft diffractiepatroon in overeenstemming met de hypothese.

21. Een dubbele spleetexperiment met elektronen is gedaan door Jönsson in 1961 en door Tonomura et al. In 1989. Extreem lage intensiteiten tonen aan (o.a. Taylor 1909!): het interferentiepatroon is het gevolg van een toevalsproces, dat geldt voor enkele deeltjes (en ook voor een enkel foton). Het deeltje gaat als het ware door beide spleten. Dirac: "each photon then interferes only with itself". En als je nagaat door welke spleet het deeltje is gegaan verdwijnt het interferentiepatroon!

22. Toepassingen Elektronenmicroscoop Celkern. Vergroting 14000 maal

23. Voorbeelden“Entanglement” en “collaps” Het superpositiebeginsel maakt het mogelijk dat het deeltje in meer dan een toestand tegelijk is: “verstrengelde(Eng. entangled)toestand”. Hierin zijn de ψide eigenfuncties van (bijvoorbeeld) de energieoperator Ĥ: Bij een meting van E vinden we een van de Ei met waarschijnlijkheid |ci|2 De golffunctie stort ineen (Eng. collapses) tot ψi.Dat wil zeggen: als we aansluitend weer een energiemeting doen dan vinden we Ei en ψi met 100% zekerheid. Omdat de meetuitkomst door het toeval wordt bepaald is de kwantummechanica niet deterministisch. Er bestaan deterministische “verborgen variabelen” theorieën van de kwantummechanica (Bohm).

24. e- e+ π0 Verstrengeling kan ook plaats vinden in een meerdeeltjestoestand. De deeltjes bevinden zich in een verstrengelde up/down toestand ψ=(↑-↓+- ↓-↑+)/√2. “De spin heeft geen waarde zolang je niet kijkt.” Als we een spinmeting doen aan het elektron moet dit kleur bekennen: up of down. Op hetzelfde moment komt het positron in de toestand spin down of up ongeacht de afstand (meters, kilometers, lichtjaren,..): Einstein’s “spooky actions at a distance.” De kwantummechanica is niet lokaal. Er zijn geen (?) lokale versies van de kwantummechanica. Bell 1964 heeft ongelijkheden opgesteld die het mogelijk maken een deterministische, verborgen variabelen, locale theorie experimenteel te onderscheiden van een niet locale theorie. Experimenten tonen aan dat de ongelijkheden van Bell niet opgaan. De kwantummechanica is (en blijft?) een niet lokale theorie.

25. ToepassingenKwantumcomputer “Klassieke” computers werken binair: zij kennen alleen de getallen 0 en 1. Binair 1001 staat voor 1x23+0x22+0x21+1x20=9 decimaal Realisatie: transistors in silicium: bits. De spin van een elektron of de polarisatietoestand van een foton kan op of neer staan: 1 of 0 zijn: een bit. Zolang we niet meten kan de toestand een superpositie van op en neer zijn: het systeem is en 1 en 0. Dit heet een qubit. Een 3 bits klassiek register kan van de negen mogelijke getallen er slechts een tegelijk herbergen. Maar een register van 3 qubits kan alle negen getallen bevatten in een kwantum superpositie toestand.

26. Een kwantumcomputer kan op al die toestanden tegelijk (parallel in plaats van serieel) bewerkingen uitvoeren. Een systeem met n qubits kan 2n berekeningen parallel uitvoeren. Dit kan enorme versnellingen veroorzaken in notoir trage berekeningen zoals het vinden van de priemfactoren van grote getallen (Shor algoritme) of het zoeken in ongesorteerde bestanden (Grover algoritme). Omdat het vinden van priemfactoren van grote getallen zo’n heidens karwei is, gebruiken banken dit als beveiliging. Een kwantumcomputer zou die beveiliging binnen minuten in plaats van miljarden jaren kunnen kraken.

27. Qubits bestaan! “Now for the first time a ‘controlled-NOT’ calculation with two qubits has been realised with the superconducting rings. This is important because it allows any given quantum calculation to be realised. The result was achieved by the PhD student Jelle Plantenberg in the team led by Kees Harmans and Hans Mooij of TU Delft.” “Researchers at the Delft University of Technology [Leo Kouwenhoven, Lieven Vandersypen]… have succeeded in controlling the spin of a single electron merely by using electric fields. This clears the way for a much simpler realization of the building blocks of a (future) super-fast quantum computer.”

28. Probleem: bij uitlezen wordt de toestand “vernietigd” (collaps van de golffunctie) dus hoe vind ik het goede antwoord? Blijkt: als het antwoord “klein” is vergeleken bij de data die bewerkt worden kan het juiste antwoord relatief snel gevonden worden. Factorisatieproblemen en sorteerproblemen behoren tot deze categorie. Grootste technische probleem naast het vinden van qubits: verwateren van de superpositietoestand door interactie met de omgeving: decoherentie.

29. ToepassingenKwantumcryptografie Alice versleutelt haar boodschap aan Bob om te voorkomen dat Eve (de “eavesdropper”) de boodschap krijgt. Stel de boodschap is: letter q u a n t u m alfabetnummer 17 21 01 14 20 21 13 Neem als sleutel een willekeurige verzameling van 7 letters letter e h t r n x k alfabetnummer 05 08 20 18 14 24 11 Tel op en verzend: Boodschap 22 29 21 32 34 45 24 Hoe wisselen Alice en Bob de sleutel veilig uit?

30. Door een entangled toestand te gebruiken! Als Eve de verzending van de sleutel in de vorm van een entangled toestand (quantum key distribution – QKD) onderschept heeft zij twee problemen: • Zij kan de sleutel niet klonen (anti-kloon stelling). • Zij beïnvloedt de sleutel door eraan te meten. Dit laatste maakt het mogelijk voor Alice en Bob te concluderen dat er een luistervink op de lijn zit en dat de sleutel gekraakt is. Daarmee is een veilige uitwisseling van de sleutel mogelijk. • Praktijkvoorbeelden met fotonen: • Zwitserland (bankwezen!): verbinding van 23 km over het meer van Geneve via een standaard optische glasfiber. • USA, Los Alamos (militairen!): verbinding in de vrije ruimte over 0,5 km bij dag; kan leiden tot veilige communicatie met satellieten.

31. Intermezzo Ieder golfverschijnsel zijn golfvergelijking Aan E=ħω (Planck 1901 en Einstein 1905) en p=ħk (De Broglie 1923) voegt Schrödinger in 1926 toe: de materie “golf” is geen reëel verschijnsel maar een intrinsiek imaginair (complex) verschijnsel. Een vlakke lopende imaginaire sinusvormige golf is Ψ(x,t)=Aei(kx-ωt) e is de exponentiële functie die zichzelf teruggeeft bij differentiatie en i is de imaginaire eenheid i=√-1. Er geldt: eix=cos(x)+isin(x). Van welke vergelijking is Ψ=Aei(kx-ωt) de oplossing? Nu geldt (1-dimensionaal): EΨ=ħωΨ=iħ∂Ψ/∂t en pΨ=ħkΨ =-iħ∂Ψ/∂x Klassiek (niet-relativistisch!) is E=(p2/2m), dus: Dit is de niet-relativitische tijdafhankelijke schrödingervergelijking voor een vrij deeltje. Vergelijk dit met:

32. Voorbeelden Het vrije deeltje Het vrije deeltje klassiek: F=ma=0. Het deeltje ligt stil of beweegt rechtlijnig eenparig. Kwantummechanisch: U(x)=0. Ψ(x,t)=0 is een oplossing maar schendt de onzekerheidsrelatie ΔxΔp≥ħ/2 en de normaliseerbaarheid van Ψ. Een vlakke lopende golf Ψ(x,t)=Aei(kx-ωt) schendt de normaliseerbaarheid van Ψ, want Ψ gaat niet naar 0 als x naar + of -∞ gaat! De kansdichtheid |Ψ|2= Ψ Ψ*= Aei(kx-ωt)Ae-i(kx-ωt) =A2. Dit is niet normaliseerbaar. Dilemma: bestaat er wel een vrij deeltje in de kwantummechanica?

33. Twee uitwegen: • Een constante kansdichtheid betekent dat het deeltje met evenveel kans op iedere willekeurige positie gevonden kan worden. De positie is volledig onbepaald, Δx= ∞. Omdat de impuls p=ħk volledig bepaald is, dus Δp=0, is het product ΔxΔp onbepaald. Beschouw dit als een limietgeval. • Bouw een golfpakket door superpostie van vlakke golven en volg de evolutie daarvan in de tijd. Voorbeeld: een gaussiaan: • Probleem: dispersie: het golfpakket loopt uiteen omdat golven met verschillende frequentie verschillende voortplantingssnelheden kunnen hebben.

35. IntermezzoDe tijdonafhankelijke schrödingervergelijking Stel nu dat het deeltje beweegt in een potentiaalveld U(x,t). De tijdafhankelijke schrödingervergelijking wordt dan: Stel nu: U is niet van de tijd afhankelijk. Voorbeelden harmonische oscillator: U(x)=½mω2x2, keplerprobleem (3-D!) U(r)=const/r Stel Ψ(x,t)= e-iωtψ(x) dan moet voor ψ(x) gelden (bewijs!): Dit is de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking. Deze beschrijft de stationaire toestanden: “staande golven”. Deze oplossingen zijn reëel. De volledige oplossing is een lineaire combinatie van e-iωtψ(x), met ω=E/ħ. Het tijdafhankelijk deel is imaginair en wordt 1 bij het nemen van het kwadraat. Dus |Ψ|2= ψ2 (ψis reëel).

36. U(x) Verboden toegang Verboden toegang x 0 a VoorbeeldenDe oneindig diepe rechthoekige put Voor x<0 en x>a is ψ(x)=0; voor 0<x<a is U(x)=0 en dus geldt daar: Oplossing: combinatie van sin(kx) en cos(kx) met k=√(2me/ħ2). Omdat ψ(0)=0 valt de cos weg; pas randvoorwaarde ψ(a)=0 toe en normaliseer.

37. Aangeslagen toestanden Grondtoestand Stationaire toestanden: ψ(x)=Asin(kx). Randvoorwaarde ψ(a)=0. Dus ka=nπ met n=0,±1,±2,… 0 is niet toegestaan, negatieve waarden verschillen niet wezenlijk van positieve waarden (sin(-x)=-sin(x)). Dus met k=√(2me/ħ2) volgt: Energieniveaus: En=(n2π2ħ2)/(2ma2)=E1n2 met E1= (π2ħ2)/(2ma2) Genormaliseerde golffuncties: ψn(x)=√(2/a) sin(nπx/a). Bevat “knopen” en “buiken”

38. VoorbeeldenDe parabolische put: harmonische oscillator Schrödingervergelijking van de 1-D harmonische oscillator Dit probleem is exact oplosbaar. De golffuncties van de harmonische oscillator. Bij de ne golffunctie hoort een energie En=(n+½)ħω. De parabool is de potentiële energiefunctie ½mω2x2

39. Merk op: • De oplossingen lijken op staandegolven met buiken en knopen. In de knopen zul je het deeltje nooit aantreffen. In de toestanden met oneven n bijvoorbeeld zul je het deeltje nooit in de oorsprong vinden. • De energie is gekwantiseerdEn=(n+½)ħω. Met n=0,1,2,… Het deeltje kan niet zoals in het klassieke geval alle energieën krijgen. • In de laagste energietoestand n=0 is de energie niet 0. Er is nulpuntsenergie ½ħω. De kwantumoscillator “staat nooit stil in een bepaald punt” want dit is in strijd met de onzekerheidsrelatie. • Er is een zekere kans dat het deeltje de amplitude A overschrijdt, want de golffunctie is daar ongelijk 0. Een soort tunneling: indringen in “verboden gebied”. Deze potentiaal is (een beetje) “zacht”.

40. U(x) U0 x 0 a Voorbeelden De rechthoekige berg: tunneling • Klassiek deeltje: • E>U0: deeltje beweegt als vrij deeltje • 0<E<U0: deeltjekaatst terug Klassieke golf: Golf wordt verstrooid door barrière: transmissie en reflectie. De resultante golf is een superpositie van inkomende, gereflecteerde en getransmitteeerde golf. Kwantumdeeltje: als klassieke golf, maar met een andere vergelijking en een andere interpretatie.

41. Met de schrödingervergelijking kunnen we de waarschijnlijkheden voor transmissie en reflectie berekenen. Er blijkt nog een extra mogelijkheid te zijn: tunneling. Zelfs met een energie kleiner dan U0 is er een eindige waarschijnlijkheid om het deeltje aan de andere kant van de barrière aan te treffen. Zie http://www.physics.gatech.edu/gcuo/UltrafastOptics/ModernPhysicsLectures/MP13QuantumMechanics2.ppt#280,30,6.7: Barriers and Tunneling Voorbeeld: α verval. En β verval? En γ verval?

42. Toepassingen Scanning Tunneling Microscope Van tunneling wordt gebruik gemaakt in de Scanning Tunneling Microscope Principe: houdt de tunnelstroom constant door beweging van de “tip”. Daarmee tast je het oppervlak af. Omdat de tunnelstroom exponentieel afhangt van de afstand kun je oneffenheden van de orde van een atoomdiameter dat is 1nm waarnemen. Begin van de nanotechnologie.

43. Oppervlak van het droge smeermiddel MoS2 Tafelmodel STM We kunnen enkele atomen manipuleren: nanotechnologie

44. DNA beweegt door een nanogat STM afbeelding van DNA Genetische manipulatie! Groep van Cees Dekker van de TU Delft