PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ II. část

1. PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ II. část 27. listopadu 2012 VY_32_INOVACE_110206_Permutace_bez_opakovani_II._cast_DUM obr. 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

2. Pojem permutace bez opakování Jak už dobře víme z minulé prezentace, permutací nazveme uspořádanou n-tici z n prvků. Jedná se proto o speciální případ variace z n prvků bez opakování (všechny prvky v ní jsou různé, tj. neopakují se). obr. 1

3. Vzorec pro počet permutací, n faktoriál Pro počet všech permutací (pořadí) n prvků platí vzorec: Symbol , který se čte n faktoriál, je definován: … pro každé Je účelné definovat: obr. 2

4. Permutace bez opakování – praktická část V předcházejícím výukovém materiálu jsme se zaměřili na úlohy z oboru přirozených čísel i na úlohy týkajících se reálných situací z praktického života. V tomto výukovém materiálu se budeme v prvních dvou úlohách zabývat znovu využitím permutačního vzorce v reálných situacích, následující tři úlohy se zaměřují na sestavení a řešení rovnic s permutacemi bez opakování.

5. Nabídka úloh a jejich řešení Úloha 3 Úloha 4 Úloha 2 Úloha 1 Řešení úlohy 1 Řešení úlohy 2 Řešení úlohy 3 Řešení úlohy 4 Úloha 5 Závěr Řešení úlohy 5

6. zpět do nabídky úloh Úloha 1 Určete počet způsobů, kterými se do pětimístné lavice může rozesadit 5 hochů, jestliže: a) 2 hoši chtějí sedět vedle sebe, b) jeden hoch chce sedět na kraji. obr. 3

7. Řešení úlohy 1 pokračování a) Dva hoši sedící vedle sebe představují jeden prvek, jedná se proto o počet permutací (pořadí) čtyř různých prvků bez opakování. Přitom je třeba brát v úvahu, že daný počet permutací (pořadí) je nutné násobit dvěma, neboť oba dva jmenovaní hoši si vzájemně mezi sebou mohou vyměnit místa (levou stranu za pravou stranu). Platí tedy: Existuje celkem 48 způsobů rozesazení 5 hochů do pětimístné lavice, jestliže dva hoši chtějí sedět vedle sebe. obr. 3

8. Řešení úlohy 1 zpět do nabídky úloh b) V případě, že v pětimístné lavici chce jeden hoch sedět na kraji, bereme v potaz, že tyto kraje jsou dva. Ostatní čtyři hoši představují 4 prvky pro různé čtveřice (permutace bez opakování). Opět použijeme permutační vzorec pro 4 prvky. Výsledek je třeba znovu násobit dvěma z důvodu, že daný hoch může sedět na levém či na pravém kraji lavice. Platí tedy: Existuje celkem 48 způsobů rozesazení5 hochů do pětimístné lavice, jestliže jeden hoch chce sedět na kraji. obr. 3

9. Úloha 2 zpět do nabídky úloh Sklad zásobuje 13 prodejen. Na rozvoz zboží používá jedno dodávkové auto, které z 1. naložení zásobuje 1. až 4. prodejnu, z 2. naložení zásobuje 5. až 8. prodejnu, z 3. naložení zásobuje 9. až 13. prodejnu. Kolika různými způsoby lze tak rozvoz uskutečnit ? obr. 4

10. Řešení úlohy 2 zpět do nabídky úloh Rozvoz zboží na první naložení lze uskutečnit způsoby, neboť se jedná o permutace 4 prvků (prodejen) bez opakování, na druhé naložení taky způsoby, na třetí naložení způsoby. Celkem tedy platí: způsobů Pro určení počtu všech způsobů jsme využili kombinatorické pravidlo součinu (vzájemně násobíme počty prvků 3 konečných množin). Rozvoz zboží do 13 prodejen s trojím různým naložením zboží lze uskutečnit celkem 69 120 způsoby. obr. 4

11. Úloha 3 zpět do nabídky úloh Řešte v oboru N rovnici: obr. 5

12. Řešení úlohy 3 pokračování Obě strany rovnice upravíme s využitím permutačního vzorce: Stanovíme si podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: Obě strany rovnice dále dělíme výrazem =30 =30 Z kvadratické rovnice určíme kořeny s využitím Viétových vzorců. Platí tedy: , odtud: Kořen nevyhovuje podmínkám definice výrazů v rovnici.

13. Řešení úlohy 3 Podmínkám definice výrazů v rovnici pouze kořen:. O správnosti řešení se lze přesvědčit zkouškou (při stanovení podmínek není nutnou součástí řešení). Řešení rovnice je . obr. 5

14. Úloha 4 zpět do nabídky úloh Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací 56krát. Kolik je prvků ? obr. 6

15. Řešení úlohy 4 pokračování Nejdříve sestavíme podle zadání úlohy rovnici s permutacemi: Stanovíme si podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: . Obě strany rovnice dělíme výrazem Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijeme Viétovy vzorce: Odtud plyne ,že kořeny rovnice jsou: , .

16. Řešení úlohy 4 zpět do nabídky úloh Kořennevyhovuje podmínkám definice výrazů. Rovnici vyhovuje kořen . Řešení je: . Celkem je 6 prvků. obr. 6

17. Úloha 5 zpět do nabídky úloh Zmenší-li se počet prvků o dva, zmenší se počet permutací 30krát. Kolik je prvků? obr. 7

18. Řešení úlohy 5 pokračování Nejdříve sestavíme podle zadání úlohy rovnici s permutacemi: Stanovíme si podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: Obě strany rovnice dělíme výrazem : Kořeny kvadratické rovnice určíme dosazením do Viétových vzorců: Odtud plyne, že kořeny kvadratické rovnice jsou:

19. Řešení úlohy 5 zpět do nabídky úloh Kořen nevyhovuje podmínkám definice výrazů v rovnici. Kořen podmínkám vyhovuje. Řešením rovnice je . Celkem existuje 6 prvků. obr. 7

20. Závěr V pěti kombinatorických úlohách jsme se opět zaměřili na využití vzorce pro počet permutací bez opakování. S permutacemi bez opakování se tedy setkáme nejen při řešení matematických rovnic, ale i v reálných situacích z praktického života. obr. 1

21. CITACE ZDROJŮ Použitá literatura: 1) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 181. ISBN 80-7196-109-4. 2) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, spol. s. r. o., 1998, s. 290-291. ISBN 80-85849-78-X. • POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách II. Praha: Prometheus, spol. s r.o., 1999, s. 86. ISBN 80-7196-166-3.

22. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1)GLIVICKÝ, Petr. File:Mathematicsgeneral.jpg – WikimediaCommons [online]. 6 September 2006 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mathematicsgeneral.jpg?uselang=cs#filehistory 2) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - WikimediaCommons [online]. 29 January 2012 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 3) FLICKR. File:Five School Boys 2006-12-1.jpg - Wikimedia Commons [online]. 1 December 2006 [cit. 2012-11-27]. Dostupnépod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Five_School_Boys_2006-12-1.jpg 4) DIMANOINMANO. File:Camion sgombero.jpg - WikimediaCommons [online]. 13 September 2006 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Camion_sgombero.jpg

23. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5) AVERATER. File:Lots of math symbols and numbers.svg - Wikimedia Commons [online]. 8 June 2012 [cit. 2012-11-27]. Dostupnépod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lots_of_math_symbols_and_numbers.svg 6) RIBA. File:Math 2.png - WikimediaCommons [online]. 16 December2008 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math_2.png 7) SHARKD. File:Camera focallength distance.gif - WikimediaCommons [online]. 20 December 2007 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Camera_focal_length_distance.gif Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

24. Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík