Diferansiyel Denklemler

1. Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 11.6.

2. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.6. • Verilen diferansiyel denklemde c veya c sabitlerinden en az birinin sıfır olmadığı varsayılmaktadır. Her ikisinin sıfır olduğu durumda eşitlik homojen diferansiyel türüne dönüşür. • Bu diferansiyel denklemin çözümünde iki durumun gözönüne alınması gerekir.

3. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durum-I: ax + by + c = 0 ve ax + by + c= 0 doğrularının kesişmesi durumu. Bu durum Şekil:1.2’de görülmektedir. Şekilden de görüldüğü gibi P noktasının koordinatları Oxy koordinat sistemine göre P(x,y) ve OXY koordinat sistemine göre P(X,Y)’dir. O noktasının bu iki doğrunun kesim noktası ve koordinatlarının (h, k) olduğunu varsayalım.

4. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Şekil: 1.2. P noktasının Oxy ve O’XY koordinat eksenlerine göre pozisyonu.

5. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem

6. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline dönüşür.

7. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline dönüşür.

8. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (h, k) iki doğrunun kesim noktası olup doğru denklemlerinde yerine konduğunda ah + bk + c = 0 ve ah + bk + c = 0 olacağından (1.32) nolu eşitlik, (1.33) homojen denklem türüne dönüşür. Bu tür denklemlerin çözümü bir önceki bölümde açıklanmış idi.

9. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

10. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit olmadığından doğrular kesişir. Kesim noktasının koordinatlarının (h, k) olduğu varsayılırsa, 2x + 3y –1 doğrusundan 2h + 3k – 1 = 0 ve x – 2y – 4 doğrusundan h – 2k – 4 = 0 eşitlikleri elde edilir.

11. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitliklerden h = 2 ve k = -1 değerleri bulunur. Verilen diferansiyel denklemde, x = X + h ve y = Y + k konursa diferansiyel denklem (1.34) homojen denklem türüne dönüşür.

12. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte, konursa

13. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu eşitlikte, konursa (1.34) nolu eşitlik şekline dönüşür ve buradan,

14. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

15. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

16. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

17. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

18. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

19. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir.

20. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm

21. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm şeklinde olur.

22. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.18. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

23. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir.

24. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. Dolayısıyla x = X + hden X = x – h = x– 1 ve y = Y + kdanY = y – k = y – 1 elde edilir.

25. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + hveY = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür.

26. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + hveY = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür. Y = VX ifadeleri (1.36)’da yerine konursa,

27. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

28. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

29. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

30. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

31. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

34. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

35. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

36. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

37. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

38. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

39. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.37)bulunur.

40. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa

41. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa genel çözümü elde edilmiş olur.

42. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek 1.19. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

43. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Pay ve paydadaki doğruların eğimi eşit değildir. Dolayısıyla bu doğrular kesişir ve kesim noktasının (h, k) olduğunu varsayalım. 2h – k = 0 h +2k – 5 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 2 bulunur. Dolayısıyla X = x – 1 ve Y = y – 2’dir.

44. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa diferansiyel denklemimiz, (1.38) homojen denklem türüne dönüşür.

45. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,

46. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,

47. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz, şekline dönüşür.

48. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

49. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,

50. Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,