Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen

1. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Beispiel 1Ein Angestellter kostet 7.500 Euro Lohn/MonatWie hoch sind die Lohnkosten für 5 Angestellte? ==> 5 · 7.500 Euro = 37.500 Euro Lineare Zusammenhänge sind in der Wirtschaft sehr häufig anzutreffen.

2. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Beispiel 2 Für die Produktion eines Bauteiles muß eine Maschine 36 Sekunden laufen. Wie lange ist die Laufzeit bei der Produktion von 1000 Bauteilen? ==> 1.000 · 36 Sekunden = 36.000 Sekunden = 10 Stunden Oder - etwas komplizierter: Wieviel Bauteile können auf 10 Maschinen in 8 Arbeitsstunden produziert werden? 10 (Maschinen)·8 (Stunden/Maschine)· 3600 (Sekunden/Stunde) 36 (Sekunden/Bauteil) = 8000 (Bauteile)

3. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Matrizen: Einführendes Beispiel Gegeben sei der folgende Sachverhalt: Ein Betrieb produziert 3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2. Produkt P1 muss 1 h auf Maschine M1 und 2 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P2 muss 3 h auf Maschine M1 und 1 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P3 muss 1,5 h auf Maschine M1 und nicht auf Maschine M2 laufen. Aufgabe: Schreiben Sie diesen Sachverhalt übersichtlich auf!

4. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Matrizen: Einführendes Beispiel Ein Betrieb produziert3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2. Die Laufzeiten (in Stunden) entnehme man folgender Tabelle:

5. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Matrizen: Einführendes Beispiel Die Maschinenlaufzeiten sind also in einer Tabelle zusam-mengefasst. Entfernt man die Beschriftung, so sieht die Tabelle wie folgt aus: Ein solches, rechteckiges Zahlenschema nennen wir in der Mathematik eine Matrix. Es wird dabei etwas anders hingeschrieben.

6. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Matrizen: Einführendes Beispiel Wenn wir mit Matrizen in der Anwendung hantieren, dürfen wir die Herkunft (die “Beschriftung”) nicht vergessen, da sie uns angibt, was die Zahlen in der Matrix zu bedeuten haben. Eine Matrix ohne Interpretation ist nichtssagend!

7. Jeder Spalte stehtfür eine Maschine! (Es gibt 2 Maschinen) Jeder Zeile stehtfür ein Produkt! (Es gibt 3 Produkte) Die Einträge geben dieMaschinenlaufzeitender Produkte an! Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Matrizen: Einführendes Beispiel

8. Spaltenanzahl (hier 2) Zeilenanzahl (hier 3) Wertebereich der Einträge (auch Koeffizienten genannt) (hier: nicht-negative Zahlen) Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Wichtige Eigenschaften einer Matrix

9. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Definition einer Matrix Das rechteckige Zahlenschema heißt Matrix mit mZeilen und n Spalten, oder m × n Matrix (Mehrzahl:Matrizen) Die Zahlen in dem Schema heißenEinträge,Elemente oder Koeffizientender Matrix.

10. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Beispiele für Matrizen ist eine 3 ×5 Matrix mit nicht-negativen, ganzen Zahlen ist eine 1 × 4 Matrix mit positiven, ganzen Zahlen ist eine 1 × 1 Matrix

11. ist ein Spaltenvektor mit 4 Komponenten Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Spezielle Matrizen: Vektoren Definition: Eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte wird auch Vektor genannt. (0,5 3 2 1,1 -2) ist ein Zeilenvektor mit 5 Komponenten

12. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden! Beispiele Beispiel 1 Die folgende Matrix gebe für 2 Abteilungen einer Firma an, wieviel Arbeiter, Angestellte und Manager dort beschäftigt sind: Arbeiter Angestellte Manager Abteilung 1 Abteilung 2 Die Einträge der Matrix müssen positive, ganze Zahlen sein! Es gibt weder halbe, noch negative Arbeiter!

13. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden! Beispiele Beispiel 2 Die folgende Matrix gebe für 2 Produkte einer Firma an, wie diese prozentual aus 3 Rohstoffen zusammengesetzt sind Rohstoff 1 Rohstoff 2 Rohstoff 3 Produkt 1 Produkt 2 Die Einträge der Matrix müssen Prozentwerte zwischen 0% und 100% sein! Ein Produkt kann nicht aus 150% eines Rohstoffs bestehen.

14. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Beispiele Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden! Beispiel 3 Die folgende Matrix gebe für 2 Firmen, wieviel Gewinn oder Verlust sie in drei Geschäftsjahren gemacht haben (in Mio. DM): 1995 1996 1994 Firma 1 Firma 2 Die Einträge der Matrix sind beliebige reelle Zahlen, positiv oder negativ! Verluste/Gewinne können beliebige Werte annehmen!

15. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die Einheitsmatrix Definition 3 Eine quadratische Matrix, in der alle Einträge auf der Hauptdiagonale Eins sind und alle anderen Einträge Null, heißt Einheitsmatrix

16. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die Diagonalmatrix Definition 4 Eine Matrix, in der alle Einträge außer der Hauptdiagonale Null sind, heißt Diagonalmatrix

17. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die Nullmatrix Definition 5 Eine Matrix, in der alle Einträge Null sind, heißt Nullmatrix.

18. Zulieferer 2 Zulieferer 3 Zulieferer 5 Zulieferer 6 Zulieferer 1 Zulieferer 4 Autofirma 1 Autofirma 2 Autofirma 3 Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Drei Automobilfirmen werden von 6 Zulieferern mit Bauteilen beliefert. Die folgende Matrix gibt an, wieviel die Autofirmen an die Zulieferer pro Quartal zahlen: Frage: Wie sieht die Matrix aus, die beschreibt, wieviel die Zulieferfirmen von den Autofirmen erhalten? “Autofirma 1 zahlt pro Quartal 120 TDM an Zulieferer 5” “Zulieferer 5 erhält pro Quartal 120 TDM von Autofirma 1”

19. Zulieferer 2 Zulieferer 3 Zulieferer 5 Zulieferer 6 Zulieferer 1 Zulieferer 4 Autofirma 1 Autofirma 2 Autofirma 3 Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die Matrix aus Sicht der Autofirmen (“Wieviel zahlen wir an die Zulieferer?”)

20. Autofirma 2 Autofirma 3 Autofirma 1 Zulieferer 1 Zulieferer 2 Zulieferer 3 Zulieferer 4 Zulieferer 5 Zulieferer 6 Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die Matrix aus Sicht der Zulieferer (“Wieviel bekommen wir von den Autofirmen?”)

21. Zulieferer 2 Zulieferer 3 Zulieferer 5 Zulieferer 6 Zulieferer 1 Zulieferer 4 Autofirma 1 Autofirma 2 Autofirma 3 Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die Matrix wird durch “Kippen” zu folgender Matrix:

22. Autofirma 2 Autofirma 3 Autofirma 1 Zulieferer 1 Zulieferer 2 Zulieferer 3 Zulieferer 4 Zulieferer 5 Zulieferer 6 Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen “Aus Zeilen werden Spalten, aus Spalten werden Zeilen.”

23. Beispiel Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus? Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die transponierte Matrix Definition Die Matrix, die entsteht, wenn wir in einer gegebenen Matrix A die Zeilen als Spalten (bzw. die Spalten als Zeilen) schreiben, heißt die transponierte Matrix AT.

24. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die transponierte Matrix Frage: Was erhält man, wenn man AT transponiert? Feststellung Für alle Matrizen A gilt:(AT)T = A (Zweifaches Transponieren liefert die Ausgangsmatrix)

25. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Besondere Matrizen Die transponierte Matrix Frage: Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus? Man sieht: Es gilt A = AT Definition Ist eine Matrix A gleich ihrer transponierten Matrix AT , so heißt A eine symmetrische Matrix Feststellung Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein.

26. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Erste Zusammenfassung Um Zusammenhänge zwischen Komponenten übersichtlich aufzuschreiben, eignen sich Tabellen besonders gut. Beispiele dafür sind:- Laufzeiten von Produkten auf Maschinen- Lieferkosten von Anbietern zu Abnehmern- Entfernungen zwischen Produktionsstätten- Zusammensetzung von Produkten aus Rohstoffen- Kosten für verschiedene Posten in Abteilungen- usw.

27. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Erste Zusammenfassung Produkte setzen sich auf Rohstoffen zusammen: Eine Firma stellt 3 Produkte her: Gummibärchen, Schokolade und Hustenbonbons. In der folgenden Tabelle ist angegeben, wie sich die Produkte prozentual aus den Rohstoffen Zucker, Fett, Gelatine und Zusatzstoffen zusammensetzen:

28. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Erste Zusammenfassung • Die mathematische “Modellierung” einer Tabelle ist die Matrix (Plural: Matrizen) • Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, die Zahlen in der Matrix heißen Einträge • Matrizen werden beschrieben durch: - Anzahl Zeilen - Anzahl Spalten - Art der Einträge (reelle Zahlen, ganze Zahlen, positive Zahlen, etc.) • Matrizen mit nur einer Zeile bzw. Spalte heißen auch Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren.

29. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Erste Zusammenfassung • Die Einträge werden durch ihre Zeilen- und Spaltennummer identifiziert (auch Zeilen- und Spaltenindex genannt) • Die Einträge mit gleichen Zeilen- und Spaltenindex bilden die Hauptdiagonale einer Matrix • Spezielle Matrizenformen sind: - QuadratischeMatrizen - Diagonalmatrizen - Einheitsmatrix - Nullmatrizen

30. Die Lieferungen im zweiten Halbjahr seien in der Matrix L2 gegeben: Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren 3 Betriebe beliefern 4 Abnehmer mit jeweils dem gleichen Produkt. Die Lieferungen im ersten Halbjahr (in t) seien in der folgenden Matrix L1 gegeben:

31. + Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr? Lieferungen im 2. Halbjahr Lieferungen im 1. Halbjahr

32. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr? Lieferungen im 2. Halbjahr Lieferungen im 1. Halbjahr Lieferungen im ganzen Jahr!

33. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr? Lieferungen im ganzen Jahr! Die Matrix LG, die die Lieferungen für das ganze Jahr beschreibt, ist genauso groß, wie die Matrizen L1 und L2, die die Halbjahres-lieferungen beschreiben (alles 3 x 4 Matrizen). Die Einträge von LG ergeben sich als Summen der entsprechenden Einträgein L1 und L2.

34. Der Lagerbestand am Ende des Monats sei durch ME gegeben: Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren 2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben: Frage: Wieviel wurde im Laufe des Monats von den Lagerstätten ausgeliefert?

35. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Bestand am Monatsende Bestand am Monatsanfang Im Monat ausgelieferter Bestand?

36. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Bestand am Monatsende Bestand am Monatsanfang Im Monat ausge-lieferter Bestand Die Matrix ML ist genauso groß, wie die Matrizen MA und ME (alles 2 x 3 Matrizen). Die Einträge von ML ergeben sich als Differenzen der entsprechenden Einträgein MA und ME. Man schreibt: ML = MA - ME

37. Der Lagerbestand für die Produkte 1 und 2 am Ende des Monats sei durch ME gegeben: Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren 2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben:

38. Feststellung Matrizen unterschiedlicher Größe können nicht addiert oder subtrahiert werden! Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Frage: Können wir berechnen, wieviel von den Lagerstätten im Laufe des Monats ausgeliefert wurde? Genauer: Können wir berechnen, wieviel Lagerstätte 1 von Produkt 3 ausgeliefert hat? ==> Nein! Frage: Warum nicht? Antwort: In Matrix MEfehlen die Angaben für das Produkt 3 ! Allgemeiner: Die Matrizen MA und ME sind nicht gleich groß! MA ist eine 2 x 3 Matrix, ME ist eine 2 x 2 Matrix!

39. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Definition 1 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten: Dann definiert sich die Summe A+B von A und B als

40. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren Definition 2 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten: Dann definiert sich die Differenz A-B von A und B als

41. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Zusammenfassung Rechnen mit Matrizen • Matrizen gleicher Größe (mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl) können addiert werden. • Man addiert Matrizen, indem man die Einträge • komponentenweise addiert. • Für die Matrizenaddition gilt das Kommutativgesetz:A + B = B + A (Summanden dürfen vertauscht werden) • Für die Matrizenaddition gilt das Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C) (Klammerung darf vertauscht werden) • Addition der Nullmatrix N verändert eine Matrix nicht: A + N = N + A = A (Die Nullmatrix ist „neutral“.) • Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition

42. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Multipliaktion einer Matrix mit einer Zahl Die folgende Matrix M gebe die monatlichen Budgets zweier Tochter-firmen für die Posten Personal, Sachmittel und Verbrauch (in TDM) an: Aufgabe: Wie hoch sind die Budgets pro Quartal? Lösung: Das Quartal hat 3 Monate, also sind die Quartalsbudgets dreimal so hoch, wie die monatlichen Budgets. (Klar!) = 3 ·M = 3 M

43. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Sei A eine beliebige mxn Matrix und sei x eine beliebige Zahl. Werden alle Einträge von A mit x multipliziert, so sprechen wir von der Multiplikation der Matrix A mit dem Skalar x. Wir schreiben dafür xA:

44. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Rechnen mit Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Feststellung 1 Jede Matrix kann - unabhängig von ihrer Größe - mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert werden. Feststellung 2 Bei der Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl) ist es egal, ob von links oder von rechts multipliziert wird. Für eine Matrix A und eine Zahl x gilt stets: x A = A x (Kommutativgesetz)

45. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Zusammenfassung Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalar) • Eine Matrix Abeliebiger Größe kann stets mit einer Zahl x (einem Skalar) multipliziert werden. Man schreibt xA • Man multipliziert Matrizen mit einem Skalar, indem man die Einträge komponentenweise mit dem Skalar multipliziert. • Es gilt das Kommutativgesetz:x A = A x (Matrix und Skalar dürfen vertauscht werden) • Es gilt das Assoziativgesetz:(x y) A = x (y A) (Klammerung darf vertauscht werden) • Es gilt das Distributivgesetz:x (A+B) = xA+ xB(Man darf ausmultiplizieren/ ausklammern) • Multiplikation mit 0 ergibt die Nullmatrix • Multiplikation mit 1 ergibt die Ausgangsmatrix: 1 A = A • Multiplikation mit -1 negiert die Einträge: (-1 A) = -A (Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition)

46. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Multiplikation von Matrizen Modell Regalsystem 2A 4A 6A Korpus Türen Modellmatrix Einlegeböden Schubladensätze Ein Auftrag zur Lieferung der verschiedenen Schrankmodelle ist zu bearbeiten Aufgabe: Berechnen Sie, wie viele Schrankelemente jeweils hergestellt werden müssen

47. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Multiplikation von Matrizen Regalsystem Korpus 1*20+1*40+1*70 = 130 Türen 0*20+1*40+2*70 = 180 Einlegeböden 3*20+3*40+6*70 = 600 Schubladensätze 1*20+0*40+0*60 = 20 Beachte: Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Koordinaten von übereinstimmt

48. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Multiplikation von Matrizen Regalsystem Unter Verwendung der Modellmatrix A sollen folgende Kundenaufträge bearbeitet werden. Modellmatrix Auftragsmatrix

49. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Multiplikation von Matrizen Definition: Ist A = (aij) eine l x m – Matrix und B = (bjk) eine m x n – Matrix, so ist das Produkt A  B = C = (cik) eine l x n – Matrix. Jedes Element cik der Produktmatrix C = (cik) berechnet man als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektor der Matrix B. Die Produktmatrix C = AB Ist eine l x n Matrix B m x n-Matrix c23 = a21b13+a22b23+..+a2mbm3 A l x m -Matrix

50. Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen Multiplikation von Matrizen Achtung: Man kann zu zwei Matrizen A und B nur das Produkt A  B bilden, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors A mit der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors B übereinstimmt. Zur Durchführung der Multiplikation lese man die MatrixAzeilenweise und die Matrix B spaltenweise. Die Elemente des Produkts erhält man als Skalarprodukt der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B.