Molekulová fyzika a termika plynů a kruhový děj

1. Molekulová fyzika a termika plynůakruhový děj

2. Důvody k zjednodušením • Informace jsem čerpal i ze zdrojů vysokoškolských (Technická fysika – Dr. Fr. Nachtikal, 1952). • Následující referát jsem se snažil vypracovat s pomocí základních znalostí matematiky pro střední školu, to však vzhledem ke zdrojům vede ke sporu: Pro úplné pochopení je nutné znát počty integrálů a derivací! Proto jsou některé vztahy zjednodušeny pro střední školy (v souladu se středoškolskou učebnicí Molekulová fyzika a termika - Prometheus) a nemělo by jim toto zjednodušení být k újmě. Nelze tak však učinit u všeho, tudíž se pokusím alespoň objasnit princip, jak se k daným závěrům došlo, ač možná poněkud na úkor přesnosti. • Jakožto zvídavá osoba nemám rád předem dané a tedy neodvozené vzorce (musím vědět alespoň jak se na ně přišlo), proto jsem byl donucen sáhnout po zmíněné literatuře a snažil se to navíc přenést do formy srozumitelné pro studenty gymnázia, nicméně občas mi budou někteří muset věřit (konkrétně zřejmě ti, kteří nemají tříletý seminář z matematiky)  • Také bych rád zmínil, že jsem se držel schématu naší učebnice, ač jsem něco doplnil navíc, z tohoto důvodu se někdy odkazuji na další části referátu, odkazy samozřejmě zmíním.

3. Kde všude se s ní setkáme? • Díky této části fyziky máme mnoho vymožeností dnešního světa: automobily, letadla, převážnou část elektrické energie, televizory a jiné přístroje, které přímo i nepřímo s fyzikou plynů souvisí. • Zkrátka můžeme využít plyn, aby pracoval za nás. • Také skladování a rozvod plynů musíme podřídit následujícím úvahám, abychom si kupříkladu mohli vytopit domov. 

4. Ideální plyn Pro snadné odvození, je nutno reálný plyn aproximovat na plyn ideální s následujícími předpoklady: • Rozměry molekul ideálního plynu jsou ve srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe zanedbatelně malé. • Molekuly plynu na sebe, kromě vzájemných srážek, nijak silově nepůsobí. • Vzájemné srážky molekul plynu jsou dokonale pružné. Poznámka: Je patrné, že díky těmto předpokladům nebude naše zjednodušení následujících vztahů platit vždy. Později si ukážeme v kterých případech to bude. Nicméně pro naše účely se ideální plyn velmi blíží jeho reálnému protějšku. Dále je třeba zmínit následující vlastnosti: • Doba působení sil (srážky molekul) je ve srovnání se střední dobou rovnoměrného přímočarého pohybu malá (pružné rázy). • Díky nepřítomnosti sil (vyjma srážek) je potenciální energie molekul nulová. • Vnitřní energie = součet kinetických energií jednotlivých jednoatomových molekul pohybujících se posuvným pohybem.

5. Pohyby reálných molekul Poznámka: pro naše zjednodušení stačí pracovat s ideálním plynem, zde vidíme, že rozměry molekul budou hrát důležitou roli v případech kdy budou blíže k sobě (tedy při vyšších hustotách). Při normálních podmínkách je možné plyn idealizovat.

6. Rozdělení molekul plynu podle rychlosti Všechny molekuly plynu nemají vždy stejnou rychlost v důsledku neuspořádaného pohybu a nahodilých srážek. Rychlost molekul, které proniknou štěrbinami podléhá, jak je jasné z náčrtu, následujícímu vztahům:

7. Důsledky vyplývající z různých rychlostí molekul plynů • Změnou frekvence otáčení lze z předcházejícího zařízení získat tento graf: Poznámka: kyslík, 0 °C; ztrácení atmosféry, úniková rychl. 11,2 km/s, málo molekul × Měsíc, slabá gravitace, úniková rychl. 2,4 km/s, nemá atmosféru.

8. Rozdělení rychlostí podle teploty

9. Střední kvadratická rychlost • Rychlosti jednotlivých molekul se ve velkém počtu molekul tolik neprojeví, zavádíme tedy střední kvadratickou rychlost, vztahuje se ke střední kinetické energii jednotlivých molekul, proto kvadratická, matematicky:

10. Teplota plynu z hlediska molekulové fyziky Pozn.: Za chvíli si ukážeme proč. Vztah ukazuje závislost vnitřní energie plynu na jeho teplotě T [K]. k je Boltzmannova konstanta: Pro dva plyny o stejné teplotě platí:

11. Boltzmanova konstanta Je definována, ke kinetické energii jedné molekuly pro jeden stupeň volnosti: Máme tři stupně volnosti molekuly, čili rychlost má tři složky (nahoru-dolů, vlevo-vpravo, dopředu-dozadu).

12. Tlak plynu z hlediska molekulové fyziky Molekuly plynu narážejí na stěny nádoby, díky tomu, že narážejí náhodně, způsobují tzv. fluktuace tlaku, statisticky vzato pak můžeme najít střední hodnotu tlaku (podél které tyto fluktuace oscilují), pro kterou lze najít matematický vztah.

13. Tlak plynu Zaveďme novou veličinu: Nazýváme ji hustota molekul. Molekuly se pohybují náhodně podél os x, y, a z (obr. a) a to tak, že statisticky se podél jedné osy pohybuje právě třetina všech molekul, zvolíme-li si plochu na stěně nádoby o obsahu S (obr. b) je zřejmý vztah pro počet molekul dopadajících na stěnu o obsahu S: Pro hybnost při nárazu do stěny pak platí: při odrazu se hybnost změní na: Pro změnu hybnosti molekuly je patrný vztah:

14. Pro všechny molekuly dopadající na plochu S pak snadno odvodíme: Molekuly svou hybností působí na plochu S sílou F po dobu a ze zákona akce a reakce vyplývá, že i stěna musí působit opačnou silou, což je příčina změny hybnosti. Tedy je jasné, že obecně a pak konkrétně: Pro tlak pak známe obecný vztah a dle něj snadno odvodíme potřebný vzorec: Jak jsme si řekli, ze statistického hlediska je užitečné uvažovat střední kvadratickou rychlost, tedy zakončíme naše snažení konečnou úpravou:

15. Stavová rovnice pro ideální plyn Dosazením již odvozeného do získáme: Dále jsme si zavedli: Tedy po dosazení: Počet molekul N lze vyjádřit i v látkovém množství: Kde n je látkové množství a NA je Avogadrova konstanta: Dosadíme, upravíme: máme zde 2 konstanty, které je možno vynásobením sloučit do jedné R – molární plynová konstanta:

16. Využitím vztahu můžeme dosadit i jiné vyjádření látkového množství např.:

17. Stavová rovnice ideálního plynu stálé hmotnosti Z již odvozeného vztahu si lze vyjádřit: Nechť se hmotnost plynu (a tedy i látkové množství) nemění, poté můžeme říct, že ve stavu soustavy označené indexy 1 a ve jiném stavu téže soustavy označené indexy 2 bude platit:

18. Izotermický děj s ideálním plynem Teplota se při změně stavu z 1 na 2 nemění, tedy: Tento vztah nazýváme Boylův-Mariottův zákon. Jeho ověření můžeme provést experimentem znázorněným na tomto obrázku.

19. Izoterma a pV diagram • Jak si později ukážeme u kruhového děje je z energetického hlediska velmi důležitý diagram pV, tedy diagram zobrazující graf tlaku závislosti objemu plynu V a tlaku p. • Pro izotermu je patrné, že jde o větev hyperboly, jak vyplývá z upraveného vzorce: Na obrázku: Izoterma při různých teplotách.

20. Izochorický děj s IP Objem se při změně stavu z 1 na 2 nemění, tedy: Tento vztah nazýváme Charlesův zákon. Opět lze provést experimentální ověření:

21. Izobarický děj s IP Tlak se při změně stavu z 1 na 2 nemění, tedy: Tento vztah nazýváme Gay-Lussacův zákon. Experimentální ověření:

22. Stavové změny IP z energetického hlediska • Vnitřní energie se může měnit konáním práce nebo tepelnou výměnou • Platí první zákon termodynamiky (jde o ZZE):

23. Izotermický děj Teplota stálá, tedy i střední kinetická energie molekul je stálá, z toho vyplývá: Je patrno, že po dosazení tohoto předpokladu do vztahu zjistíme, že: Teplo přijaté IP se při zachování stejné teploty mění na práci jím vykonanou.

24. Izochorický děj Při izochorickém ději se zachovává objem plynu, je tedy zřejmé, že IP nebude konat práci (ničím nemůže pohybovat) a tedy bude platit následující: Po dosazení do máme: Při izochorickém ději se teplo přijaté IP mění na jeho přírůstek vnitřní energie (tedy zvětší se teplota tělesa). Zaveďme nyní vztah pro teplo dodané plynu při stálém objemu: Je jisté, že bude záviset na hmotnosti plynu m a přírůstku teploty dále je třeba pro převod zvolit konstantu – měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu – cV Později uvidíme, proč je třeba zavést tuto konstantu speciálně právě pro stálý objem.

25. Využití izochorického děje při definici teploty Pro 1° teploty (velmi přibližně v důsledku zanedbané teplotní roztažnosti rtuti) platí: Pro počáteční tlak 1000 mmHg:

26. Nový koeficient (gama) je teplotní rozpínavost plynu. Povšimněme si, že převrácená hodnota tohoto koeficientu nám definuje termodynamickou teplotu: Tady vidíme jak můžeme také definovat termodynamickou teplotu. 

27. Izobarický děj Při izobarickém ději se, jak nám již zbývá, nemění tlak IP, tedy platí: Opět podobně jako u předchozího děje můžeme zavést vztah pro teplo dodané soustavě při izobarickém ději, konstanta cp pak určuje měrnou tepelnou kapacitu plynu při stálém tlaku, tedy:

28. Konstanty cv a cp Jak vidíme z odvozených vztahů: bude platit následující (pro stejný rozdíl teplot vidíme, že musíme při ději izobarickém dodat více tepla, aby IP mohl vykonat práci): Ještě si ukážeme, jak jsou konstanty definovány:

29. Adiabatický děj s IP Adiabatickým dějem označujeme děj, při kterém nedochází k tepelné výměně s okolím, tedy: Z tohoto vidíme, že soustava vykonává práci na úkor své vnitřní energie (připomínám, že jde o „teplotu“ plynu). Nebude-li konat práci soustava, ale vnější síly, je jisté, že energii (práci) budeme dodávat a tedy lze psát: Z tohoto vztahu vyplývá, že práci, kterou vykonají vnější síly se mění na vnitřní energii IP. Vše můžeme znázornit experimentem:

30. Na modelu je patrný adiabatický děj pro jednu molekulu, pro komplexní představu je třeba si vybavit obrovský počet náhodně pohybujících se a srážejících se molekul. Ukázka platnosti vztahu: Z hlediska molekulové fyziky bude patrno, že molekuly odrážející se od pohybujícího se pístu získají přírůstek velikosti rychlosti, tedy vzroste vnitřní energie plynu. Je snadné představit si děj opačný tedy, kdy molekuly plynu „postrkují“ píst na úkor své vnitřní energie.

31. Poissonův zákon Z předchozích příkladů je patrná posloupnost vztahů: (Z čeho tento vztah vychází si ukážeme za chvíli.) Pro jeden mol:

32. Z čeho vychází tento vztah a jeho podmínky platnosti si opět ukážeme později. Víme, že: a taky ze stavové rovnice plyne: Jsou-li rozdíly velmi malé, platí (správně by se měl diferenciál zachovat, berme ho však jako nekonečně malý přírůstek funkce): Zde vidíme, jak lze jinak zapsat derivaci. Přičemž:

34. Ukázali jsme si již:

35. Lze zavést novou konstantu: Poissonovu konstantu Vrátíme-li přírůstkům funkcí původní význam diferenciálu, platí: Integrací jednotlivých funkcí se pak získá (seminář z M už ví jak – jde o součet integrálů a použití vzorce, -lnH-integrační konstanta): Úpravou logaritmů získáme:

36. Úpravou získáme: což je rovnice funkce - adiabaty v p-V diagramu. Protože je objem umocněn Poisssonovou konstantou, která je vždy větší než 1, je patrné, že adiabata klesá strměji než izoterma! Proč je Poissonova konstanta větší než jedna si ukážeme dále.

37. Jiný tvar Poissonova zákona

39. Poissonova konstanta Už jsme si ukázali, že: tedy, řešíme nerovnici (dělení kladným číslem): Pozn. Platí přibližně.

40. Plyn při nízkém a vysokém tlaku Odsáváme-li plyn z nádoby, zvětšuje se střední volná dráha molekul (dráha bez srážky), tedy zmenšuje se střední srážková frekvence (počet srážek za jednu sekundu). Pokud je volná dráha větší než rozměry nádoby, nesrážejí se molekuly mezi sebou, ale narážejí jen do stěn nádoby. Tlak můžeme snižovat pomocí vývěv.

41. Nízké tlaky se užívají např. při výrobě obrazovek, v potravinářství, při odplyňování kovů atd. Při vysokém tlaku jsou již molekuly tak blízko sebe, že nelze zanedbat jejich rozměry a síly mezi nimi působící. Tedy naše odvozené vztahy nebudou odpovídat reálnému plynu s dostatečnou přesností. Pro stlačování plynů se užívají kompresory, je zřejmé ze stavové rovnice, že poroste jeho teplota při zvětšování tlaku a tedy při stlačení do tlakové láhve je nutno ji chladit. Jakmile proběhne tepelná výměna s okolím, je naopak při odpouštění a snižování tlaku zřejmé, že unikající plyn bude chladnější, je tedy např. zajistit kvalitní konstrukcí ohřev potápěčských automatik při potápění v chladné vodě.

42. Práce IP Pomocí předcházejících ukázaných dějů, lze plyn využít aby trvale konal práci, kterou můžeme převést na mechanickou energii. První takový stroj byl poháněn párou, už dříve se užíval ve starém Římě například k automatickému otevírání dveří, ale později byl moderní parní stroj zdokonalen J. Wattem. Díky vědeckému studiu kruhových dějů je dnes možno dosáhnout relativně vysokých účinností dnešních spalovacích motorů, turbín a jiných zařízení. Odvoďme si následující vztahy pro práci plynu: -plyn koná práci -vnější síly konají práci

43. Z vyplývá, že lze znázornit kruhový děj pomocí diagramu p-V, tedy zde vidíme jeho důležitost. Obsahem plochy pod grafem děje pak míníme práci kterou daný děj uvolnil, nebo spotřeboval (v podstatě jde o integrování funkce ). Obsah (práci) pod křivkou je možné znázornit pomocí malých obdélníků a jejich obsahy pak sečtením dají přibližně obsah plochy pod křivkou, budou-li volené intervaly objemu V nekonečně malé, dostaneme výsledek přesně (princip integrace).

44. Z výše uvedeného též vyplývá: d- značí diferenciál veličiny za ním, znamená, že dle něj lze integrovat (resp. pro nás dosadit rozdíl hodnot ale v tom smyslu, že je nejdříve postupně vynásobíme příslušným tlakem). Lze psát tyto vztahy, je li veličina rozdílu velmi malá. Tím jsme si ukázali platnost vzorců užitých u Poissonova zákona.

45. Kruhový děj s IP Chceme-li aby plyn konal práci neustále a nezvětšoval nekonečně svůj objem, jak je patrno z předchozích grafů, je v technické praxi nutné vrátit jej do původního stavu. Je zřejmé, že práce provedená plynem je obsah plochy pod křivkou A1B, část této práce je ale spotřebována vnějšími silami, které soustavu vracejí do původního stavu (proto kruhový děj), tedy prací pod křivkou B2A (opět si lze povšimnout integrací). Práce vykonaná plynem při jednom cyklu děje je tedy rovna obsahu plochy p-V diagramu ohraničeném jednotlivými jednoduchými ději.

46. Práce a účinnost kruhového děje Poněvadž se soustava při kruhovém ději vrací do původního stavu, je zřejmé, že změna vnitřní energie kruhového děje musí být nulová. Z toho plyne, že je třeba soustavě dodat teplo, pak soustava koná práci a je nutné aby změnila objem, aby se však vrátila do původního stavu musí být plyn ochlazen, tedy: Na výše zmíněném je logické zavést účinnost: Účinnost je vždy menší než 1, jinak bychom získali více energie než vložili.

47. Druhý termodynamický zákon Jak jsme si dokázali, není možné využít všechno dodané teplo k přeměně na práci plynu, ale je nutno plyn opět ochladit aby se dostal do původního stavu. Toto vyjadřuje DTZ: Nemůže existovat periodicky pracující tepelný stroj, který by jen přijímal teplo a vykonával stejně velkou práci. Druhý obrázek znázorňuje perpetuum mobile druhého druhu (první druh vyrábí energii, druhý ji tepelně přeměňuje se stoprocentní účinností, tedy v jistém smyslu také vyrábí energii).

48. DTZ: přenos tepla Projevy DTZ vidíme i při přenosu tepla z teplejšího tělesa na chladnější: Je jisté, že spíše uvidíme jak se v horkém čaji rozpustí kostka ledu, než že se zpět tato kostka utvoří, v podstatě to není nemožné, pouze málo pravděpodobné, matematicky bychom museli čekat velmi dlouhou dobu, abychom jev pozorovali za předpokládané délky existence vesmíru. Podobně se plyn např. samovolně nestlačí na původní objem a nedodá teplo ze své vnitřní energie pro využitelnou práci.

49. Carnotův cyklus Takový cyklus při kterém nejlépe využijeme tepelnou energii, zabýval se jím Ital Sadi Carnot. I izotermická expanze II adiabatická expanze III izotermická komprese IV adiabatická komprese

50. Tepelné motory Jsou zařízení, která přeměňují tepelnou energii na energii mechanickou, dnes známe: -Parní motory (turbína, parní stroj) -Spalovací motory (plynová turbína, zážehový motor, vznětový, proudový a raketový motor). Ze vztahu pro účinnost: vyplývá: