Estudo dos Poliedros

1. Estudo dos Poliedros

2. Poliedros Poliedros (poli = muitos; edros = faces) são sólidos delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de reta que limitam as faces designam-se por arestas e os pontos de encontro destas por vértices. 

3. Poliedro convexo e poliedro côncavo • Observe os sólidos representados abaixo. B C D A E F Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço. Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos.

4. Poliedro convexo e poliedro côncavo • Observe agora o sólido representado abaixo. N M P Q O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes. Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo.

5. Classificação dos poliedros • Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de suas faces (F). F Poliedro F Poliedro 4 tetraedro 9 eneaedro 5 pentaedro 10 decaedro 6 hexaedro 12 dodecaedro 7 heptaedro 20 icosaedro 8 octaedro

6. Veja alguns desses poliedros Hexaedro (P1) Octaedro (P2) Eneaedro (P3) Heptaedro (P4)

7. Relação de Euler • Existe uma relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo. Poliedro V F A P1 8 6 12 P2 6 8 12 P3 9 9 16 P4 10 7 15 V + F – A = 2

8. Poliedros regulares • Poliedro regular é todo poliedro em que: • Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si; • De cada vértice, parte o mesmo número de arestas. Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.

9. Poliedros de Platão • Todas as faces são formadas por polígonos com o mesmo número de lados. • Em cada um dos vértices, concorre o mesmo número de arestas. • Somente cinco.

10. Tetraedro Faces constituídas por triângulos equiláteros Número de Faces: 4 Número de Arestas: 6 Número de Vértices 4

11. Hexaedro (Cubo) Faces constituídas por quadrados Número de faces: 6 Número de vértices: 8 Número de arestas: 12

12. Octaedro Faces constituídas por triângulos Número de faces: 8 Número de vértices: 6 Número de arestas:12

13. Dodecaedro Poliedro regular com faces formadas por pentágonos Número de Faces: 12 Número de Arestas:30 Número de Vértices: 20

14. Icosaedro Poliedro regular com faces formadas por faces triangulares. Número de faces: 20 Número de arestas: 30 Número de vértices: 12

15. O prisma e suas formas

16. O prisma e suas formas • Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

17. Definição r • Observe a animação.   O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

18. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma O prisma tem dois tipos de faces • bases (polígonos congruentes). • faces laterais (paralelogramos). • Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

19. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma O prisma tem dois tipos de arestas • arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’). • arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

20. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma h • A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

21. Nomenclatura dos prismas • Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. Polígonos das bases Prisma triângulo P. triangular quadrilátero P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal

22. Veja alguns desses prismas Prisma Pentagonal Prisma triangular

23. Classificação dos prismas • Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base. Dizemos que ele é: • prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases; • prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.

24. Classificação dos prismas h h Prisma Pentagonal oblíquo Prisma triangular reto

25. B A C Prisma regular • Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. O prisma é reto e a Base é hexágono regular O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero ⇒ ⇒ Prisma hexagonal regular Prisma triangular regular

26. Prisma quadrangulares

27. Prismas quadrangulares • Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo. Paralelepípedo

28. Prismas quadrangulares • Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

29. Prismas quadrangulares • Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Cubo ou hexaedro regular

30. Estudo do cubo

31. Estudo do cubo • O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base. a→ medida de cada uma das arestas a a a

32. a a a Diagonais no cubo • Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais. a→ medida de cada uma das arestas D d→ diagonal da face d D→ diagonal do cubo

33. D a d a a Diagonais no cubo • Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. d2 = a2 + a2 ⇒ d = 2a2 ⇒ d = a√2 a

34. Diagonais no cubo • Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. D2 = a2 + d2 D a ⇒ D = a2 + 2a2 a ⇒ D = 3a2 a d ⇒ D = a√3 a

35. a a a Área da superfície total do cubo • Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura. a a a a AT = 6a2

36. O cubo como unidade de volume a V = a3 a a a • Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3. • Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.

37. Estudo do Paralelepípedo retângulo

38. Estudo do paralelepípedo retângulo • O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes. a, b e c→ As dimensões do paralelepípedo. b c a • Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

39. Diagonal do paralelepípedo • Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. D c b d a d→ diagonal da face inferior D→ diagonal do paralelepípedo

40. Cálculo da diagonal do paralelepípedo • Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo. D c b d a d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2 D2 = a2 + b2 + c2

41. Área da superfície total do paralelepípedo • Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a ab b c bc ac bc b c ab a AT = 2ab + 2ac + 2bc ac AT = 2(ab + ac + bc)

42. Volume do paralelepípedo retângulo • Analise as duas figuras a seguir. 4 u cubo unitário V = 1 u3 3 u 5 u V = 5.3.4 = 60 u3 De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por V = a.b.c

43. Observação • Podemos interpretar o volume de um paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir. c A = ab b a V = abc = (ab)c = (área da base) . (altura relativa) V = AB.h

44. Estudo geral do prisma

45. B A C Estudo geral do prisma • Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que • As arestas laterais são alturas; • As faces laterais são retângulos;

46. Áreas no prisma • No prisma as áreas. • Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos; • Área da base (AB) – Área do polígono da base; • Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases AT = AL + 2AB

47. A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma. Exemplo AL = 3.6 + 4.6 + 5.6 AL = 18 + 24 + 30 = 72 AB = (3.4)/2 = 6 6 4 3 AT = AL + 2.AB AT = 72 + 2.6 = 84 5

48. Princípio de Cavalieri

49. Princípio de Cavalieri • Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.

50. Princípio de Cavalieri • Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano , se • Todos têm a mesma altura; • Todo plano  paralelo a  e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área; Então os sólidos têm o mesmo volume.