Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. y Hipotenusa h Cateto opuesto x 90º a Cateto contiguo Razones trigonométricas de un ángulo agudo

2. 0 < sen a < 1 0 < cos a < 1 Valores posibles de las razones Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos: Como los catetos pueden tomar cualquier valor: 0 < tg a < ¥

3. Hipotenusa y h Cateto opuesto x 90º a Cateto contiguo Otras razones trigonométricas.

4. Teorema de Pitágoras h y x 90º a Relación fundamental de la trigonometría Por tanto:

5. h y x 90º a Otras relaciones importantes Por tanto: Estas relaciones permite calcular el resto de las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas.

6. 90º-a h y 90º x a Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios si suman 90º. Si uno es a el otro es 90º-a.

7. Por el teorema de Pitágoras: 45º 1 45º 1 Razones trigonométricas de 45º Utilizamos un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a uno Por tanto:

8. 30º 60º 1 1 1 60º 60º 60º 1 1/2 Razones trigonométricas de 30º y 60º Ahora utilizamos un triángulo equilátero de lados iguales a 1

9. Cuadro resumen

10. 1 a 1 1 y a x Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (I). Consideramos una circunferencia de radio uno. Para cada ángulo tendremos un punto en la circunferencia de coordenadas x e y Por tanto el seno es la segunda coordenada del punto y el coseno la primera.

11. P’ a 1 1 O A A’ Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (II). • Los triángulos OPA y OP’A’ son semejantes Representación de la tangente

12. a 1 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante. Resumen

13. 1 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Segundo cuadrante. • Seno positivo • Coseno negativo • Tangente negativa a

14. 1 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Tercer cuadrante. • Seno negativo • Coseno negativo • Tangente positiva a

15. 1 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Cuarto cuadrante. • Seno negativo • Coseno positivo • Tangente negativa a

16. 90º 0º 1 180º 360º 270º Razones trigonométricas de ángulos entre cuadrantes.

17. coseno - + + - - + - + tangente Signo de las razones trigonométricas. seno + + - -

18. Valores posibles de las razones.

19. Y 180º - a a x a y y -x X Reducción al primer cuadrante (I). Ángulos suplementarios (que suman 180º). Si un ángulo mide a su suplementario mide 180º - a P(-x, y) P(x, y) sen (180º - a) = sen a cos (180º - a) = - cos a tg(180º - a ) = - tg a

20. Y 180º + a a x y -x a X -y Reducción al primer cuadrante (II). Ángulos que difieren en 180º. Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide a el otro mide 180º + a P(x, y) sen (180º + a) = - sen a cos (180º + a) = - cos a P(-x, -y) tg (180º + a )= tg a

21. Y y 360º - a a x -y X Reducción al primer cuadrante (III). Ángulos que suman 360º. Si un ángulo mide a el otro mide 360º-a P(x, y) sen (360º - a) = - sen a cos (360º - a) = cos a tg (360º - a) = - tg a P(x, -y)

22. Y y a x -y X - a Ángulos negativos Si un ángulo mide a su opuesto mide -a P(x, y) sen (- a) = - sen a cos (- a) = cos a tg (- a) = - tg a P(x, -y)

23. 870 360 870º son 2 vueltas completas más 150º 150 2 sen( 870º) = sen (150º) = sen( 30º ) = cos ( 870º) = cos (150º) = -cos( 30º ) = tg ( 870º) = tg (150º) = -tg( 30º ) = Ángulos mayores de 360º Ejemplo: calcula las razones trigonométricas de 870º IES Francisco de los Cobos. Departamento de Matemáticas Antonio Jesús Fernández Rodríguez