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PROBABILIDAD

PROBABILIDAD. Tema 15. PROBABILIDAD TOTAL. Tema 15.7 * 1º BCT. DIAGRAMA DE ÁRBOL. El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. NORMAS 1.- Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento.

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  1. PROBABILIDAD Tema 15 Apuntes 1º Bachillerato CT

  2. PROBABILIDAD TOTAL Tema 15.7 * 1º BCT Apuntes 1º Bachillerato CT

  3. DIAGRAMA DE ÁRBOL • El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. • NORMAS • 1.- Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. • 2. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. • 3.- Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. • 4.- Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. • Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es 1 Apuntes 1º Bachillerato CT

  4. PROBABILIDAD TOTAL • Sea A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, o sea que se cumple: • Son incompatibles dos a dos. • La unión de todos ellos es el suceso seguro. • Sea B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas: • P(B / A1), P(B / A2), … , P(B / An) • Entonces se cumple: • P(B) = P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+P(A3).P(B/A3)+ …+P(An).P(B/An) • Si un suceso, B, se puede conseguir por más de un resultado de un experimento compuesto, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los sucesos que lo producen. Apuntes 1º Bachillerato CT

  5. Probabilidad total • Ejemplo 1 • Tenemos tres máquinas, A, B y C, que producen el 20 %, 30 % y 50 % de las piezas en una empresa. • De 1000 muestras, tenemos 10, 15 y 25 piezas defectuosas provenientes respectivamente de las máquinas A, B y C. • Sin embargo la prueba de defectos sólo es fiable en el 95% de los casos si la pieza no tiene defectos, y en el 99 % si tiene defectos. • ¿Cuál es la probabilidad de que tomada una muestra al azar, provenga de la máquina A, sea defectuosa y la prueba sea correcta?. • ¿Cuál es la probabilidad de que tomada una muestra al azar, provenga de la máquina C, no sea defectuosa y la prueba de un resultado falso?. Apuntes 1º Bachillerato CT

  6. Solución • 0,95 • 0,05 • 0,99 • 0,2 0,99 P(A∩D∩C)=P(A).P(D/A).P(C/D∩A) = • 0,01 0,01 =0,2.0,01.0,99 = 0,00198 • 0,95 • 0,985 0,05 • 0,3 • 0,015 0,99 • 0,01 • 0,975 0,95 _ _ _ • 0,5 0,05 P(C∩D∩F)= P(C).P(D/A).P(F/D∩A) • 0,025 = 0,5.0,975.0,05 = 0,024375 • 0,99 • 0,01 Apuntes 1º Bachillerato CT

  7. Ejemplo 2 • En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. • ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?. • ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?. • Resolución: • P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. • P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. • P(L/A) = 85% = 85/100 = 0,85  Sea chica y viva en la localidad. • P(L/O)= 70% = 70/100 = 0,7  Sea chico y viva en la localidad. • P(NL/A) = 15% = 15/100 = 0,15  Sea chica y no viva en la local. • P(NL/O)= 30% = 30/100 = 0,3  Sea chico y no viva en la local. • P(L) = P(A).P(L/A) + P(O).P(L/O) = 0,6.0,85 + 0,4.0,7 = 0,51+0,28=0,79 • P(NL) = P(A).P(NL/A) + P(O).P(NL/O) =0,6.0,15 + 0,4.0,3 = 0,09+0,12=0,21 Apuntes 1º Bachillerato CT

  8. Empleando el diagrama del árbol • P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L • P(A)=0,6 • P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L • P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L • P(O)=0,4 • P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L • P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79 • P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21 • Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1. Apuntes 1º Bachillerato CT

  9. Ejemplo 3 • En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar. • ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. ¿Y de que no? • Resolución: • P(A)= 100/(100+150+250)= 100/500 = 0,2  Sea de Ana • P(B)= 150/(100+150+250)= 150/500 = 0,3  Sea de Beatriz • P(C)= 250/(100+150+250)= 250/500 = 0,5  Sea de Carlos • P(E/A) = 5% = 5/100 = 0,05  Errores de Ana • P(E/B) = 3% = 3/100 = 0,03  Errores de Beatriz • P(E/C) = 2% = 2/100 = 0,02  Errores de Carlos • P(E) = P(A).P(E/A) + P(B).P(E/B) + P(C).P(E/C) = • = 0,2.0,05 + 0,3.0,03 + 0,5.0,02 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029 • P(NE) = 1 – P(E) = 1 – 0,029 = 0,971 Apuntes 1º Bachillerato CT

  10. Empleando el diagrama del árbol • P(E/A)=0,05 0,2.0,05 = 0,01 De Ana y con errores • P(A)=0,2 • P(NE/A)=0,95 0,2.0,95 = 0,19 De Ana y sin errores • P(E/B)=0,03 0,3.0,03 = 0,009 De Bea y con errores • P(B)=0,3 • P(NE/B)=0,97 0,3.0,97 = 0,291 De Bea y sin errores • P(E/C)=0,02 0,5.0,02 = 0,01 De Carlos y con errores • P(C)=0,5 • P(NE/C)=0,98 0,5.0,98 = 0,49 De Carlos y sin errores • P(E) = 0,01+0,009+0,01=0,029 P(NE)=0,19+0,291+0,49=0,971 Apuntes 1º Bachillerato CT

  11. TEOREMA DE BAYES Tema 15.8 * 1º BCT Apuntes 1º Bachillerato CT

  12. TEOREMA DE BAYES • Bayes, con su Teorema, fue el primero en unificar las distintas probabilidades que se pueden dar en un suceso complejo: Probabilidades simples (probabilidades a priori), probabilidades condicionadas (verosimilitudes) y las nuevas probabilidades a calcular (a posteriori). • Y todo ello con la ventaja de poder utilizar al diagrama del árbol. • Si A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión: • P(Ai).P(B / Ai) • P(Ai / B) = ------------------------------------------------------------------------------- • P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + … + P(An).P(B / An) • Donde P(Ai) son las probabilidades a priori. • P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori. • P(B / Ai) son las verosimilitudes. Apuntes 1º Bachillerato CT

  13. Ejemplo 1 • En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?. • Resolución: • Probabilidades a priori: • P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. • P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. • Verosimilitudes: • P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85  Sea chica y viva en la localidad. • P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7  Sea chico y viva en la localidad. • Probabilidades a posteriori: • Por el Teorema de Bayes • P(O).P(L/O) 0,4.0,7 0,28 • P(O/L) = ---------------------------------- = ------------------------ = -------- = 0,3544 • P(A).P(L/A)+P(O).P(L/O) 0,6.0,85 + 0,4.0,7 0,79 Apuntes 1º Bachillerato CT

  14. Empleando el diagrama del árbol • P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L • P(A)=0,6 • P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L • P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L • P(O)=0,4 • P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L • P(O/L) = 0,28 /(0,51+0,28) = 0,28/0,79 = 0,3544 • De igual manera podemos calcular la probabilidad de que sea chica: • P(A/L) = 0,51 /(0,51+0,28) = 0,51/0,79 = 0,6456 • Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1. Apuntes 1º Bachillerato CT

  15. Ejemplo 2 • En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar y resulta con errores. • ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Ana?. ¿Y de que sea de Carlos? • Resolución: • (Tomamos los datos del mismo ejercicio parcialmente hecho: Tema 17.5) • Probabilidades a priori: • P(Ana)= 0,2 , P(Bea)= 0,3 , P(Carlos)= 0,5 • Verosimilitudes: • P(E/Ana) = 0,05 , P(E/Bea) = 0,03 , P(E/Carlos) = 0,02 • P(A).P(E/A) • P(A/E) = ---------------------------------------------------------- = • P(A).P(E/A) + P(B).P(E/B) + P(C).P(E/C) • 0,2.0,05 0,01 0,01 • P(A/E) = --------------------------------------- = ----------------------- = -------- = 0,3455 • 0,2.0,05 + 0,3.0,03 + 0,5.0,02 0,01+0,009+0,01 0,029 • P(C/E) = 0,5.0,02 / 0,029 = 0,01 / 0,029 = 0,3455 Apuntes 1º Bachillerato CT

  16. Empleando el diagrama del árbol • P(E/A)=0,05 0,2.0,05 = 0,01 De Ana y con errores • P(A)=0,2 • P(NE/A)=0,95 0,2.0,95 = 0,19 De Ana y sin errores • P(E/B)=0,03 0,3.0,03 = 0,009 De Bea y con errores • P(B)=0,3 • P(NE/B)=0,97 0,3.0,97 = 0,291 De Bea y sin errores • P(E/C)=0,02 0,5.0,02 = 0,01 De Carlos y con errores • P(C)=0,5 • P(NE/C)=0,98 0,5.0,98 = 0,49 De Carlos y sin errores • P(A/E) = 0,01/(0,01+0,009+0,01) = 0,01/0,029 = 0,3455 • P(C/E) = 0,01/(0,01+0,009+0,01) = 0,01/0,029 = 0,3455 Apuntes 1º Bachillerato CT

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