EXEMPLES DE MODELISATION DE DONNEES CORRELEES AVEC PROC MIXED J Le Chenadec

1. EXEMPLES DE MODELISATION DE DONNEES CORRELEES AVEC PROC MIXEDJ Le Chenadec

3. Avec ces hypothèses, on peut monter que pour tout groupe i: Chaque Vi va donc décrire la structure de variance-covariance de chaque vecteur yi et donc la structure de corrélation existante entre les différentes mesures yij du vecteur yi. On va donc chercher à modéliser le mieux possible cette structure de variance-covariance Vi.

4. Les hypothèses d’indépendance entre les mesures de groupes différents vont donner à V une structure diagonale en bloc: Vi comporte deux parties. De ce fait, il est possible de modéliser la corrélation : soit en incorporant des effets aléatoires + une hypothèse sur la forme de Ri (généralement résidus non corrélés de même variance = matrice diagonale) = modèle à effets mixtes. soit en modélisant directement la matrice de variation intra-groupe Ri sans incorporer d’effets aléatoires = modélisation marginale.

5. ETUDE DE CONTRÔLE DE QUALITE (Verbeke G – Molenbergs G (1997)) Efficacité d’un produit antibiotique après 2 ans de conservation ? 8 lots d’antibiotique sélectionnés au hasard à partir d’une population de lots disponibles. Pour chaque lot, on prend 2 échantillons de produits conservés. Pour chaque échantillon, détermination de la concentration en substance active. Objectifs: Déterminer la concentration moyenne (globale). Déterminer si il existe une variabilité dans la concentration des différents lots dans la population. Tirage au sort indépendnat des sujetsTirage au sort indépendnat des sujets

7. I Modèles à effets mixtes Niveau 1: modèle de variation intra-lot Pour chaque lot i, i =1,…8 : Niveau 2: modèle de variation inter-lot ou de population Pour chaque lot i, i = 1,…,8

8. Modèle combiné: 3 paramètres à estimer: Possibilité d’avoir une prédiction pour les effets spécifiques bi = BLUP. Equations niveau 1 et 2 = forme hiérarchique ou multi-niveau de ce modèle à effets mixtes

9. Représentation matricielle

10. Matrice de variance-covariance Le modèle à effets mixtes spécifie directement dans le modèle de régression la variabilité inter-lot des concentrations en introduisant des effets aléatoires. Cela induit automatiquement une forme précise pour la matrice de variance-covariance.

11. proc mixed data = molenb.quality1 method = ml; title1 "DONNEES DE CONCENTRATION"; title2 "MODELE A EFFETS MIXTES"; class lot; model y = ; random intercept / type = un subject = lot v vcorr; run; DONNEES DE CONCENTRATION MODELE A EFFETS MIXTES Covariance Parameter Estimates Cov Parm Subject Estimate UN(1,1) LOT 104.75 Residual 4.0625 Estimated V Matrix for LOT 1 Row Col1 Col2 1 108.81 104.75 2 104.75 108.81 Estimated V Correlation Matrix for LOT 1 Row Col1 Col2 1 1.0000 0.9627 2 0.9627 1.0000

12. II Modèle marginal Modèle de régression classique (sans effets aléatoires) et corrélation entre les résidus modélisée en choisissant une structure de variance-covariance pour Ri . Représentation matricielle

13. Corrélation entre les résidus d’un lot i ei1 et ei2. Symétrie de composition: Pas de modélisation explicite dans le modèle de régression de la variabilité des concentrations inter-lot Pas de prédiction disponible au niveau individuel (= BLUP).

14. proc mixed data = molenb.quality1 method = ml; title1 "DONNEES DE CONCENTRATION"; title2 "MODELE MARGINAL"; class lot; model y = ; repeated / type = cs subject = lot r rcorr; run; DONNEES DE CONCENTRATION MODELE MARGINAL Covariance Parameter Estimates Cov Parm Subject Estimate CS LOT 104.75 Residual 4.0625 Estimated R Matrix for LOT 1 Row Col1 Col2 1 108.81 104.75 2 104.75 108.81 Estimated R Correlation Matrix for LOT 1 Row Col1 Col2 1 1.0000 0.9627 2 0.9627 1.0000

15. DEVELOPPEMENT OSSEUX DANS LE DOMAINE DENTAIRE (Potthof et Roy (1964)) Courbes de croissance, données répétées ou longitudinales 11 filles et 16 garçons. Pour chaque sujet: distance de la glande pituitaire à la fissure maxillaire à 8, 10, 12 et 14 ans. Objectifs: Déterminer la courbe de croissance moyenne des filles et des garçons. Tester si le taux de croissance est le même chez les filles et chez les garçons. Notation On notera: