สมการเชิงเส้น ( Linear equation )

สมการเชิงเส้น (Linear equation) สมการเชิงเส้นคือสมการที่สามารถถูกจัดรูปได้ในรูปแบบต่อไปนี้คือ เมื่อ และ Bเป็นจำนวนจริงใดๆ และ xที่ตัวแปร ที่เราต้องการทราบค่า สมการเชิงเส้น เป็นรูปแบบของระบบสมการที่ง่ายที่สุดที่สามารถหาผลเฉลยได้

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรมากกว่า 1

สังเกตว่าสมการ 1 ตัวแปรเชิงเส้นมีลักษณะเป็น ซึ่งสามารถหาผลเฉลยได้ง่ายคือ แต่สำหรับสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรมากกว่า 1 กลับมาความ ยุ่งยากให้การหาผลเฉลย

ในทางคณิตศาสตร์ จึงพยายามจัดรูปให้สมการเชิงเส้นหลาย ตัวแปรอยู่ในลักษณะคล้ายกับรูปแบบของสมการเชิงเส้น 1 ตัวแปร โดยเนื้อหาที่เราจะได้ศึกษาต่อไปนี้จะนำไปสู่สิ่งที่ ต้องการได้

เมทริกซ์ (matrix) (pl. matrices) เมทริกซ์เป็นรูปแบบหนึ่งของคณิตศาสตร์ ซึ่งมันถูก เขียนอยู่ในรูป หรือ

mแถว (row) nหลัก(หรือสดมภ์) (column) เราใช้สัญลักษณ์ aij แทนส่วนประกอบ (component) ในแถวiหลักj โดย aijอาจจะเป็นจำนวนนับ จำนวนเต็ม หรือจำนวนจริง ก็ได้

เราเรียกเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวmแถวและหลักn หลัก ว่าเมทริกซ์ขนาด mxn (m by n matrix) เป็นเมทริกซ์ขนาด เป็นเมทริกซ์ขนาด เป็นเมทริกซ์ขนาด เป็นเมทริกซ์ขนาด

เราเรียกเมทริกซ์ที่มีจำนวนหลักเท่ากับจำนวนแถวว่าเราเรียกเมทริกซ์ที่มีจำนวนหลักเท่ากับจำนวนแถวว่า เมทริกซ์จัตุรัส (square matrix) เมทริกซ์จัตุรัสขนาด เมทริกซ์จัตุรัสขนาด เมทริกซ์จัตุรัสขนาด

การเท่ากันของเมทริกซ์การเท่ากันของเมทริกซ์ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ 1. เมทริกซ์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน 2. แต่ละส่วนประกอบที่ประจำหลักและแถวเดียวกัน ต้องมีค่าเท่ากัน

การบวกและลบกันของเมทริกซ์การบวกและลบกันของเมทริกซ์ การบวกและลบกันของเมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะทำได้ ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์ทั้ง 2 มีขนาดเดียวกัน และผลลัพท์ที่ได้เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่าเดิม และ แต่ละส่วนประกอบมีค่าเท่ากันกับ ผลรวม (หรือผลต่าง) ของส่วนประกอบของเมทริกซ์ทั้งสองที่อยู่แถวและหลัก เดียวกัน

คุณสมบัติบางประการของเมทริกซ์คุณสมบัติบางประการของเมทริกซ์ ถ้าให้ A,Bและ Cแทนเมทริกซ์ที่มีขนาด mxnแล้ว (สลับที่การบวก) 1. (เปลี่ยนกลุ่มการบวก) 2. (เอกลักษณ์การบวก) 3. เมื่อ mแถว nหลัก

(ผกผันการบวก) 4. นั้นคือถ้า แล้ว

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง 5. นั้นคือถ้า แล้ว

ตัวอย่าง

แบบฝึกหัด กำหนดให้ 1. จงหาค่า 2A-3B 2. จงหาค่า 10A- B

การคูณเมทริกซ์ ถ้า Aเป็นเมทริกซ์ขนาด mxn Bเป็นเมทริกซ์ขนาด pxq เราจะหาผลคูณของเมทริกซ์ A และ B ได้โดย ABจะหาได้ก็ต่อเมื่อ n=p BAจะหาได้ก็ต่อเมื่อ m=q

ข้อสังเกต

ตัวอย่าง จงหา ABและ BA

สังเกตว่าในการคูณเมทริกซ์ไม่สามารถสลับที่ได้สังเกตว่าในการคูณเมทริกซ์ไม่สามารถสลับที่ได้

แบบฝึกหัด กำหนดให้ จงหา A(BC)และ (AB)C

สังเกตว่าในการคูณเมทริกซ์สามารถเปลี่ยนกลุ่มได้สังเกตว่าในการคูณเมทริกซ์สามารถเปลี่ยนกลุ่มได้

จงหา A(B+C)และ AB+AC (B+C)Aและ BA+CA

แบบฝึกหัด กำหนดให้ จงหา ) (หรือก็คือ

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) เมทริกซ์เอกลักษณ์ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสซึ่งเมื่อคูณเมทริกซ์ อื่นที่มีขนาดเท่ากันแล้วได้เมทริกซ์นั้น

กำหนดให้ จงหา เมื่อ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของเมทริกซ์ขนาด 4x4

ตัวกำหนดของเมทริกซ์ (determinant) ตัวกำหนด เป็นฟังก์ชันที่ส่งจากเมทิรกซ์จัตุรัส (เมทริกซ์ ขนาด nxn)ไปยังจำนวนจริงสำหรับตัวกำหนดของเมทริกซ์ Aมักใช้สัญลักษณ์det A หรือ

= a det = ad-bc det = aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg det

แบบฝึกหัด จงหาตัวกำหนดของเมทริกซ์ต่อไปนี้ 1. 2. 3.

เมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่มีตัวกำหนดมีค่าไม่เป็นศูนย์ จะมีเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ดังกล่าวโดยมีคุณสมบัติคือเมื่อนำไปคูณกับเมทริกซ์นั้นแล้วได้เอกลักษณ์ เราจะสามารถหาเมทริกซ์ดังกล่าวได้เสมอ และมีเพียงหนึ่งเดียว โดยจะเรียกเมทริกซ์นั้นว่า เมทริกซ์ผกผัน

เราใช้สัญลักษณ์ A-1 แทนเมทริกซ์ผกผันของ A A-1= A = A = A-1=

กำหนดให้ มีค่าเท่าใดจึงทำให้เมทริกซ์ ) ได้ ไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผัน (

จงหา กำหนดให้

สรุปการคูณเมทริกซ์ 1. 2. 3. A(B+C) =AB+AC และ 4. (B+C)A= BA+CA

แบบฝึกหัด 1.กำหนดให้ และ 1.1 จงหา 1.2 จงหา

2. กำหนดให้ 2.1 จงหาค่า 2.2 จงหาค่า

สมการเชิงเส้น ( Linear equation )