Alcune questioni sulla dimostrazione

1. Alcune questioni sulla dimostrazione Nicolina A. Malara, Dipartimento di Matematica Università di Modena & Reggio E.

2.  valenza educativa della dimostrazione  concezioni di dimostrazione • la dimostrazione nell’insegnamento  Aspetti logico-linguistici inerenti la dimostrazione  La dimostrazione in ambito aritmetico ed il ruolo del linguaggio algebrico  dall’esplorazione alla dimostrazione (‘l’unità cognitiva di teoremi’)

3. Sulla valenza educativa della dimostrazione

4. in The Mathematical Experience (1981) Davis ed Hersh sostengono che la dimostrazione caratterizza univocamente la matematica e che non vi è matematica se non vi è dimostrazione. Rilevano che, rispetto ad un dato argomento, la dimostrazione determina la validità di enunciati, in genere non evidenti ed a volte insospettati, ed aumenta la conoscenza e comprensione dell'argomento stesso. Richiamano il valore sociale della dimostrazione, per il costante processo di critica e di conferma cui è sottoposta, che ne suggella la rispettabilità e l'autorità.

5. Lucio Russo, Scienza e tradizioni culturali, relazione al • convegno “Perché l’antico”, Firenze 2000 • La tendenza ad eliminare le dimostrazioni è oggi molto forte e segue varie strade contemporaneamente: mentre il metodo dimostrativo è quasi completamente scomparso dalle scuole secondarie dell’occidente, si stanno diffondendo (in particolare negli USA) corsi di “fisica senza matematica”, nei quali la fisica è insegnata con un metodo puramente descrittivo; inoltre le dimostrazioni tendono a sparire anche dai corsi universitari di matematica (in Italia i corsi di matematica generale per Economia e gli altri corsi “di servizio” hanno già quasi completato la trasformazione; per i corsi di laurea in matematica e fisica un importante passo avanti in questa direzione sarà compiuto con le lauree triennali appena istituite).

6. In definitiva il metodo dimostrativo si sta rifugiando in una “riserva indiana” costituita da pochi corsi di dottorato e pochi settori della ricerca matematica (dove, essendo usato solo per fare carriera accademica, potrà in breve essere sostituito da una qualsiasi altra tecnica sufficientemente astrusa). Le conseguenze di questo processo sulle capacità argomentative diffuse sono facilmente verificabili (e costituiscono la controprova dell’antico rapporto tra dimostrazioni, capacità argomentative e democrazia).

7. Gila Hanna (1995):Challenges to the importance of proof, For the learning of mathematics, vol. 15, n. 3 • La Dimostrazione è un argomento trasparente, in cui tutte le informazione usate e tutte le leggi di ragionamento sono chiaramente espresse e aperte alla critica. E’ proprio per la natura stessa della dimostrazione che la validità della conclusione scaturisce non da alcuna autorità esterna ma dalla dimostrazione stessa. La dimostrazione veicola agli studenti il messaggio che essi possono ragionare da se stessi, che non hanno bisogno di piegarsi alla autorità. Dunque l’uso della dimostrazione in classe è in realtà anti-autoritario

8. Sul significato di dimostrazione

9. Usualmente il significato attribuito al termine ‘dimostrazione’ è inteso come sistemazione deduttiva di un processo di ragionamento. Va invece fatto inteso in senso più ampio come costruzione di un ragionamento che porta alla scoperta di nuove conoscenze. Questa visione della dimostrazione, induttiva e deduttiva insieme, tipica della cultura di matrice anglosassone, è stata sottolineata da nostri importanti studiosi sin dai primi del ‘900

10. Nel 1904 Vailati scriveva “E’ di somma importanza che l’allievo arrivi il più presto possibile a vedere nel processo di dimostrazione un mezzo per passare dal noto all’ignoto, uno strumento cioè di prova e, ancor più, di ricerca, mentre solo più tardi potrà apprezzarne e gustarne l’efficacia come strumento di analisi, e di riduzione al minimo, dei concetti e delle ipotesi fondamentali”. Brano tratto dalla recensione del testo di geometria di Enriques Amaldi.

11. G. Lolli(2006) ‘I turbamenti dell’uguale’‘Se viceversa’, Polymath (http://www2.polito.it/didattica/polimath/) In generale, la regola dominante deve essere quella di distruggere (o ancor prima, non instillare) l’opinione che la risposta (a un quesito che richiede una dimostrazione) debba o possa essere un flusso diretto lineare ininterrotto di formule matematiche. Instillare al contrario, anche nel caso di successioni di uguaglianze e disuguaglianze, servendosi proprio dei vari artifici di dispiegamento dei commenti, l’idea che la dimostrazione è più simile ad una passeggiata, senza fretta, con deviazioni e ritorni e visite su percorsi laterali, in un paesaggio abitato da pensieri e parole.

12. La dimostrazione nel nostro insegnamento

13. La dimostrazione nel nostro insegnamento Aritmetica Algebra Analisi Probabilità … geometria altro

14. Attività propedeutiche Attività di controllo Didattica della dimostrazione Costruzione Lettura-comprensione Apprendimento-riproduzione Comunicazione Aspetti semantici Aspetti sintattici

15. Aspetti logici inerenti la dimostrazione

16. La (diffusa) scarsa padronanza del linguaggio naturaledetermina negli studentivarie difficoltà nell’apprendimento di una dimostrazione Per questo è opportuno dedicare una particolare cura agli aspetti logici del linguaggio e in particolare alle proposizioni condizionali,le cosìdette implicazioni • Importante è far riconoscere ed esplicitare proposizioni condizionali quando esse sono espresse attraverso l’uso di: • articoli determinativi o indeterminativi • il quantificatore universaletutti(ogni)

17. Esempi “un numero naturale divisibile per quattro è divisibile per due” “i rettangoli hanno le diagonali uguali” “Tutti i numeri quadrati hanno esattamente tre divisori” • Se un numero naturale è divisibile per quattro allora è divisibile pre due • Se un quadrilatero è un rettangolo allora ha le diagonali uguali • Se un numero naturale è un quadrato allora ha esattamente tre divisori

18. Distinzione delle proposizioni condizionali costruite sulle stesse componenti implicazione, implicazione inversa, implicazione contraria, implicazione contronominale Esempio se un parallelogrammo è un rettangolo allora ha gli angoli uguali Inversa: se un parallelogrammo ha gli angoli uguali allora è un rettangolo Contraria: se un parallelogrammo non è un rettangolo allora non ha gli angoli uguali Contronominale: se un parallelogrammo non ha gli angoli uguali allora non è un rettangolo E’ opportuno educare gli studenti a riconoscere l’equiveridicità di una implicazione e della sua contronominale ed a comprendere il ruolo di quest’ultima nelle dimostrazioni per assurdo.

19. Una cura particolare va data alla negazione di proposizioni quantificate. In generale gli studenti tendono ad identificare la negazione del quantificatore “tutti” con il suo contrario “nessuno” Ancora più delicata è la gestione di proposizioni contenenti entrambi i quantificatori “esiste … per ogni” “per ogni … esiste” Di cui va fatta rilevare la non commutatività Esempio classico: assiomi 2° e 3° di gruppo

20. Sul significato del termine “Teorema” Dizionario Enciclopedico “Fedele” (UTET) Teorema (dal greco “esamino”) “ciò che si esamina”ma anche “la verità che è il risultato dell’esame, della dimostrazione”. In matematica “proposizione dimostrabile” Enciclopedia Britannica “proposizione che deve essere dimostrata”

21. Elementi fondamentali di un teorema sono: L’ipotesi: proposizione iniziale, dalla quale si prendono le mosse per la dimostrazione del teorema tesi: proposizione finale, conclusiva di una dimostrazione del teorema Un’importante osservazione Il predicato di una proposizione esprime una condizione circa il sogetto della stessa. Esempio: Un rombo ha le diagonali perpendicolari La condizione espressa per un rombo dal predicato è “l’avere le diagonali perpendicolari”

22. Teorema Se un numero naturale è divisibile per 4 allora è divisibile per 2 Ipotesi un numero naturale è divisibile per 4 Tesi un numero naturale è divisibile per 2 Condizione espressa per un numero dall’ipotesi (a) Divisibilità per 4 Condizione espressa per un numero dalla tesi (b) Divisibilità per 2 Dato il teorema, per un numero E’ sufficiente che si verifichi la condizione (a)perché necessariamente si verifichi la condizione (b) (a) è detta cond. sufficiente, (b)cond.necessaria

23. Per antica tradizione, nella prassi didattica, tali condizioni usualmente vengono utilizzate nella formulazione unitaria di due teoremi uno inverso dall’altro. Ad esempio Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli uguali Raramente di fronte ad un semplice teorema si caratterizzano le condizioni espresse dalla ipotesi e dalla tesi motivando le denominazioni di “condizione sufficiente” per quella dell’ipotesi “condizione necessaria” per quella della tesi L’omettere con gli studenti una analisi come questa, genera in loro incomprensione e spesso sta all’origine di atteggiamenti di passività.

24. La dimostrazione in ambito aritmetico

25. La dimostrazione in ambito aritmetico è poco o nulla praticata in Italia, anche per ragioni connesse alla storia dell’insegnamento matematico L’aritmetica, ed in particolare l’ambiente dei numeri naturali costituiscono terreno ideale per attività dimostrative. Queste attività offrono un importante contesto per l’argomentazione e la dimostrazione, con un progressivo passaggio dal linguaggio naturale a quello algebrico.

26. Non tutti i ricercatori sono concordi sull’importanza del linguaggio algebrico per la dimostrazione in ambito aritmetico valorizzando la semplicità di certe dimostrazioni verbali. Esempi provare che il prodotto di tre numeri consecutivi è divisibile per sei (passi di ragionamento: Dati tre numeri consecutivi, almeno uno dei tre deve essere pari , almeno uno dei tre diviso per 3 ha resto zero)

27. provare che il quadrato di un numero dispari è dispari Dimostrazione verbale Passi di ragionamento: un numero dispari ha cifra delle unità dispari, il quadrato delle cifre dispari ha unità dispari Dimostrazione algebrica (2k+1)2 = 4k2 + 4k+1=2(2k2 + 2k) + 1 Confronto di strategie Un esempio di problema dimostrativo non risolubile per via verbale Dati due numeri interi a e b se 3a = 2b allora la somma a+b è muntiplo di 5” Analisi delle difficoltà

28. Ritengo cruciale per la didattica della dimostrazione portare gli studenti a condurre ragionamenti via linguaggio algebrico • per la semplificazione e controllo della complessità argomentativa • per la facilitazione della comunicazione • per la valorizzazione del ruolo di metalinguaggio del linguaggio naturale

29. Nell’approccio alla dimostrazione il ruolo dell’insegnante è cruciale, egli dovrà porsi come modellomostrando, in varie situazioni, come: - tradurre le ipotesi in linguaggio algebrico, - trasformare una scrittura in più modi per aprire il campo a sue diverse interpretazioni; - interpretare formule ottenute per elaborazione sintattica e selezionare quelle utili ai fini della tesi.

30. Dimostra che la differenza tra i quadrati di due numeri naturali consecutivi è sempre dispari • Occorre partire considerando due numeri naturali consecutivi. • Indichiamo con una lettera il primo dei due a • Esprimiamo il suo successivo mediante a a +1 • Indichiamo il quadrato di ciascuno a2 (a+1)2 • Scriviamo la differenza tra i quadrati (a+1)2 - a2 • Occorre provare che questa differenza è un numero dispari • Trasformiamo perciò la scrittura (a+1)2 - a2, • svolgiamo il quadrato di (a+1)2 (a2 + 2a + 1) • riscriviamo la differenza dei quadrati (a2 + 2a + 1)- a2 = 2a + 1 • Interpretiamo la scrittura 2a + 1: rappresenta un numero dispari? Si. • Quanto si voleva è dimostrato.

31. Conoscenze e abilità necessarie per la costruzione di una dimostrazione nei naturali • conoscenza di specifici termini nel linguaggio caratterizzanti predicati in associazione con il verbo essere (doppio, consecutivo, pari, maggiore di, minore di, divisibile per, multiplo di, etc e loro combinazioni); • capacità di: • - riformulare predicati in termini di uguaglianza • - tradurre espressioni dal linguaggio naturale a quello algebrico; • - interpretare espressioni algebriche trasformate nei termini della situazione in esame; • - controllare le conseguenze degli assunti e ragionamenti fatti.

32. Proposizioni da tradurre in linguaggio algebrico Il successivo di un pari, Il successivo pari di un pari Il quadrato del successivo di un numero Il successivo del quadrato di un numero Il quadrato del successivo di un pari Il quadrato del successivo di un dispari Il precedente di un numero L’antecedente del triplo di un numero Il precedente di un pari Il precedente di un dispari L’antecedente del triplo di un numero pari L’antecedente del triplo di un numero dispari La somma di due dispari consecutivi Il prodotto di due numeri consecutivi La somma dei quadrati dei reciproci di due numeri La somma del quadrato dei reciproci di due numeri Il quadrato della somma dei reciproci di due numeri

33. Esempi di attività interpretative di scritture algebriche e di riconoscimento di loro equivalenze Dopo aver valutato la correttezza delle seguenti uguaglianze, esprimi il loro perché. 2(2k+2)=4k+4 ; 3(2k+1)2=12(k2+k)+3 ; (2h)2-1=4h2-1 ((2h+1)+2)+1=(2h+1)+2 Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti ad 8k. Esprimi il perché di tali equivalenze: 24k 42k 6+2k (5+3)k. Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti a 2k+3. Esprimi il perché di tali equivalenze: 2(k+1)+2 (2k+2)+1 2(k+2) -1.

34. Determina per quali valori di k (numero naturale qualsiasi) sono soddisfatte le seguenti condizioni: • k+3 è multiplo di 3, k+3 è pari • k+3 è dispari ; k+3 è multiplo di 4 • 3k è pari k3 è dispari • 3k è multiplo di 6 k3 è divisibile per 8 • 3k è dispari k3 è multiplo di 4 • Rappresenta algebricamente tali valori in modo da provare la tua conclusione. • Individua e rappresenta espressioni algebriche equivalenti alle seguenti espressioni. Esprimi tale equivalenza mediante il linguaggio verbale. • 4k+2; 4k2+2k; 6k+3

35. Esempi di problemi proponibili nella scuola media • Dimostra che la somma di due numeri dispari consecutivi è uguale al doppio del numero pari compreso tra essi. • Dimostra che la somma di un numero naturale, del suo doppio, del suo triplo e del suo quadruplo è un numero che ha come cifra delle unità lo zero. • Dimostra che la somma di quattro numeri naturali consecutivi è un numero pari. • Dimostra che la somma di cinque numeri naturali consecutivi è un multiplo di 5.

36. Comportamentidi studenti in attività dimostrative

37. Classici ed interessanti studi sui comportamenti degli allievi impegnati in attività di costruzione di una dimostrazione sono quelli di Bell (1976) e Balacheff (1988). Gli autori, seppure con diverse impostazioni e terminologia, distinguono essenzialmente tre momenti dello stesso processo.

38. degli esperimenti o verifiche empiriche in cui l’allievo esplora la situazione per la formulazione di congetture o per convincersi della validità di un assegnato enunciato e cercare le ragioni che ne stanno alla base; dell’illuminazione e convincimento personale in cui l’allievo intuisce-coglie-e chiarisce a se stesso le ragioni che stanno alla base della validità della tesi; della sistemazione e della prova in cui l’allievo ricostruisce il proprio ragionamento al fine di comunicarlo agli altri e convincerli della correttezza

39. Balacheff svolge un’interessante distinzione tra ‘prove empiriche’ e ‘prove intellettuali’ Nelle prove empiriche è presente il soggetto e l’azione, sono caratterizzate dall’uso di un linguaggio familiare nelle prove intellettuali vi è un distacco dal soggetto e dall’azione, il linguaggio usato è astratto e atemporale Tali classificazioni consentono una lettura fine delle produzioni degli allievi e possono essere letti in termini di criteri di valutazione degli stessi

40. Un nostro studio sui comportamenti di futuri insegnanti di scuola secondaria

41. Problemi tratti da G. Peano • “Giochi d’aritmetica e problemi interessanti” • Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza. • Scrivi un numero di più cifre, moltiplica per 10 e sottrai da questo quello di partenza, cancella nella differenza una cifra non nulla e dammi la somma delle rimanenti. Io indovinero' quella che tu hai cancellato. Spiegami come è possibile. • Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque sia il numero si ottiene sempre 1089. Perché? • Un numero di due cifre ha questa caratteristica: il suo quadrato diminuito del quadrato del numero precedente è uguale al numero stesso con le cifre invertite. Qual è il numero. • Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro cifre.

42. Problema 1. Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza. 132231, 231-132=99; 815518, 815-518=297; 136 613, 613-136=495; 314 413, 413-314=99. Se la differenza è di due cifre sono due 9  d=99. Se la differenza è di 3 cifre quella centrale è sempre 9. Le due cifre esterne sommate devono dare 9. Seguendo questa regola è facile rispondere all’indovinello. Problema 5. Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro cifre. 25+52=77 è vero; 52+25=77; 13+31=44; 44+44=88 è vero, la somma ha sempre le cifre ripetute come i multipli di 11. 132+231=363 è vero; 345+543=888 non è vero. 1246+6421= 7667=11x697 è vero; 1234+4321=5555=11x505 ; 5051+1505=6556=1x596 ; 2468+8642=11110 = 11x1010. Non funziona nel caso di 3 cifre.

43. Problema 3.Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque sia il numero si ottiene sempre 1089. Perché? Suppongo che il numero sia abc (a>b>c) a b c - u 9 (9-u) + c b a = (9-u) 9(u) u 9(9-u) 1 0 8 9 dove u è un numero. Infatti 431 – 134 = 297 ; 297 +792 = 1089.

44. Mi sono trovata incapace di formulare un ragionamento Non ho la più pallida idea di come si risolvano i quesiti Non so perché queste regolarità accadono

45. Dall’esplorazione alla dimostrazione L’unità cognitiva di teoremi

46. "l'unità cognitiva di teoremi" è un costrutto teorico dovuto a Boero et Al. (1995) elaborato, per interpretare il comportamento degli allievi attraverso lo studio, in opportuni campi di esperienza, dei processi durante i quali questi giungono a:  produrre congetture, nella forma di enunciati astratti, generali e condizionali,  costruire le dimostrazioni di tali enunciati in attività condivise nella classe  prendere parte alla costruzione collettiva, guidata dall'insegnante, di una teoria di modellizzazione per il campo di esperienza in cui si muovono.

47. esplorazione di situazioni formulazione di congetture- dimostrazione della loro validità o loro confutazione

48. Un esempio di attività esplorativa Si sviluppa attraverso: l’individuazione di una regolarità aritmetica la formulazione verbale della regolarità osservata l’esplorazione delle ragioni sottostanti la regolarità e la sua dimostrazione formale possibili estensioni e variazioni

49. La situazione • Osserva le differenze • 83 - 38 = 45 74 - 47 = 27 • 54 - 45 = 9 81 - 18 = 63 • 46 - 64 = 28 31 -13 = 18 • Vedi qualche regolarità? Dall’osservazione una prima, intuitiva risposta è: ciascuna differenza è un multiplo di 9

50. Chiedendo di  esplicitare tali differenze come multipli 9  cercare un legame tra le cifre dei due termini della differenza ed il secondo fattore del prodotto gli allievi scrivono: 83-38 = 9x574-47 = 9x3 54-45 = 9x163-36 = 9x3 Occorre mettere in relazione 5 con 3 e 83 con7 e 4 1 con5 e 4 3 con6 e 3 risulta evidente che il secondo fattore è la differenza fra le cifre dei due termini