Arányokra vonatkozó hipotézisek vizsgálata (eloszlásvizsgálat  2 -próbával)

1. 8. Gyakorisági táblázatok elemzése (statisztikai elemzések arányokkal, illetve diszkrét változókkal)

2. Arányokra vonatkozó hipotézisek vizsgálata (eloszlásvizsgálat 2-próbával) Arányok összehasonlítása összetartozó és független minták segítségével Diszkrét változók kapcsolatvizsgálata Tartalom

3. Diszkrét változók eloszlásában Hol találkozunk arányokkal?

4. Példa diszkrét eloszlásra Érték: 0 1 2 3 Arány: 0,20 0,35 0,40 0,05

5. Személy neme (x1 = férfi, x2 = nő) Iskolázottsági szint (x1 = Alsófok, x2 = Középfok, x3 = Felsőfok) 5-fokú skálaváltozók Diagnózis(x1 = Neurózis, x2 = Szkizofrénia, ...) Kor(x1 = 18-35 év, x2 = 36-55 év, x3 = 56-99 év) Néhány példa diszkrét változóra

6. Kiemelt fontosságú diszkrét változók Változó típusa Kvantitatív Kvalitatív Arány Intervallum Nominális Ordinális

7. Statisztikai problématípusok arányok esetén

8. Csoki nyuszitojást milyen színű papírban viszik (veszik) a leginkább? (piros, zöld ...) Fiúból, vagy lányból születik-e több? Szmogriadó esetén, ha csak a páratlan rendszámú autók közlekedhetnek: Kisebb-e a páros rendszámúak aránya? Kisebb-e 1/3-nál a páros rendszámúak aránya? 1. Eloszlásvizsgálatok

9. Igaz-e, hogy a nők között több neurotikus van, mint a férfiak között? Ugyanolyan-e Bp.-en a Koronás, a Kádár- és a Kossuth-címer kedveltsége, mint vidéken? 2a. Homogenitásvizsgálatok (Arányok összehasonlításafüggetlen mintáksegítségével)

10. Változik-e a dohányosok aránya egy előadássorozat hatására különböző időpontokban? Változik-e a pártok kedveltségi aránya két vagy több időpont között? 2b. Homogenitásvizsgálatok (Arányok összehasonlításaösszetartozó mintáksegítségével)

11. Függ-e a pártpreferencia az iskolázottságtól? Milyen szoros kapcsolatban van a fenti két változó egymással? 3. Két diszkrét változó kapcsolatának vizsgálata(Kapcsolatvizsgálatok)

12. Problématípusok rendszere

13. Példa: A Koronás, a Kádár és a Kossuth címer kedveltsége egy 939 fős mintában. 1. Eloszlásvizsgálatok

14. Százalékos megoszlási arányok

15. a) H0: Koronás: 60%, Kádár: 20%, Kossuth: 20% b) H0: Koronás: 40%, Kádár: 20%, Kossuth: 40% c) H0: Koronás = Kádár = Kossuth = 33,3% Lehetséges nullhipotézisek

16. A khi-négyzet-próba alapötlete Amintabeli kapott és anullhipotézis igaz volta esetén várt gyakoriságok összehasonlítása és a köztük lévő különbségekből egy c2 próbastatisztika kiszámítása. Szabadságfok: f = g - 1

17. Minél nagyobb az eltérés a kapott és a várt gyakoriságok között, annál valószínűbb, hogy H0 nem igaz. Az eltérés egyik mértéke a c2 próbastatisztika. Ha igaz H0, ez a mennyiség közelítőleg c2-eloszlású. Ha c2 elég nagy, akkor H0-t elutasítjuk. Eloszlásvizsgálat khi-négyzet-próbával

18. A c2-próba végrehajtása Kapott gyak. 708 109 122 S=939 Várt gyak. S=939 313 313 313 c2 =(708-313)2/313 + ...=892,09 > c20,01= 9,21 (f = 2;p < 0,01 szignifikáns) Mivel a c2-értékelég nagy, anullhipotézist elutasítjuk. ‘A 3 címert kedvelők aránya szignifikánsan különbözik.’

19. Adatok: 1000 személy pártpreferencia értékei: melyik pártra szavazna? Értékek: FIDESZ, MDF, MSZP, SZDSZ, JOBBIK, Egyéb (más párt vagy nem válaszol) Kapott gyakoriságok: n1 = 515, n2 = 13, n3 = 145,n4 = 12, n5 = 115 Másik példa: Választás 2010

20. Bekerül-e a parlamentbe az SZDSZ? Nullhipotézis: P(SZDSZ) = 0,05 Adatok: n1 = 12, n2 = 790, várt gyak. = ? Győz-e az MSZP-vel szemben a FIDESZ? Nullhipotézis: P(FIDESZ) = P(MSZP) Adatok: n1 = 515, n2 = 145, várt gyak. = ? Megválaszolandó kérdések

21. Kérdés: Budapestiek és vidékiek között van-e különbség a címerpreferencia tekintetében? Nullhipotézis: A két populációban a címerválasztási arányok ugyananazok 2a. Két populáció összehasonlítása diszkrét változó segítségével

22. Kétszempontosgyakoriságitáblázat Koronás Kádár Kossuth Össz. 116 15 32 n1 =163 Bpest n2 =776 592 94 90 Vidék Össz.: 708 109 122 N =939

23. Arányok összehasonlítása (sorösszegek szerinti százalékok) Koronás Kádár Kossuth Össz. 71,2% 9,2% 19,6% 100% Bpest 76,3% 12,1% 11,6% 100% Vidék

24. Általános khi-négyzet-próba H0igaz volta esetén a próbastatisztika c2-eloszlást követ.Szabadságfok: f = (sorok száma -1)×(oszlopok száma -1). c2 < c20,05: H0-t 5%-os szinten nem utasítjuk el. c2 ³ c20,05 :H0-t 5%-os szinten elutasítjuk.

25. A címeres példa eredménye Sorok száma: g = 2 Oszlopok száma: h = 3 Szabadságfok: f = (2-1)×(3-1) = 1×2 = 2 Kritikus értékek: - c20,05 = 5,991 - c20,01 = 9,210 Kiszámított khi-négyzet-érték: c2 = 8,144 Döntés: H0-t 5%-os szinten elutasítjuk.

26. A várt gyakoriságok ne legyenek kb. 5-nél kisebbek. Engedmény: elég, ha 80%-ra teljesül. Például egy 22-es táblázatban 4 cella van, ezért ezekre mind teljesülnie kell. Ac2-próba alkalmazási feltétele

27. Kis gyakoriságú sorok vagy oszlopok összevonása. Nagyobb minta választása. 22-es táblázat esetén a 22-es c2-próba helyett a Fisher-egzakt-próba. Mit tehetünk, ha az alkalmazási feltétel nem teljesül?

28. Példa oszlopok összevonására h6 változó értékei

29. Férfiak és nők feminitása (CPI) százalék

30. 2 = 12,286 (f = 1, p < 0,01), vártmin = 1,9 Fisher-egzakt-próba: p = 0,0027 Példa a Fisher-egzakt-próbára Fem ≤ 11 Fem > 11 Férfi (n = 12) 6 6 Nő (n = 70) 7 63

31. Két dichotóm változó összehasonlítása (McNemar-próba, Előjelpróba) Ketőnél több dichotóm változó összehasonlítása (Cochran-féle Q-próba) Két tetszőleges diszkrét változó összehasonlítása (Általános McNemar-próba, Bowker-féle szimmetria-próba) 2b. Összetartozó mintás homogenitásvizsgálatok

32. Példa:Középiskolai osztályban előadást tartanak a dohányzás ártalmáról. 36 tanuló közül 8 leszokik, 3 rászokik a dohányzásra. Hatásos-e az előadás? Nullhipotézis:A dohányzás változójának eloszlása az előadás előtt és után ugyanaz. Különbségváltozó: x1= leszokik, x2 = rászokik Nullhipotézis: H0: P(leszokás) = P(rászokás) Kéthelyzet vagy időpont összehasonlítása egy dichotóm változó segítségével

33. Adattáblázat: - - 2 2 ( b c ) ( 8 3 ) 25 c = = = = < c 2 2 2 , 27 0 , 10 + + b c 8 3 11 Dohányzik? Utána igen Utána nem Előtte igen a b = 8 Előtte nem c = 3 d • Képlet és számolás: McNemar-próba • Alkalmazási feltétel: (b+c)/2³ 5 • Hogyan lehetne itt az előjelpróbát alkalmazni?

34. 1. általánosítás: X dichotóm, h számú összetartozó minta összehasonlítása Nullhipotézis:A h számú dichotóm változó eloszlása ugyanaz

35. Szakmai példa: h számú tesztkérdés nehézségének azösszehasonlítása

36. Másik szakmai példa: elvonó kúra után állapotrögzítés több időpontban

37. Nullhipotézis:A h számú dichotóm változó eloszlása ugyanaz az 1 (és úgyszintén a 0) érték elméleti arányai megegyeznek Alkalmazási feltétel:nh  24 n: személyek száma; h: változók száma Próbastatisztika: Q, mely H0 igaz volta esetén közelítőleg 2-eloszlást követ Cochran-féle Q-próba

38. 2. általánosítás: X tetszőleges, de csak két összetartozó mintát hasonlítunk össze (változik-e X eloszlása az egyik helyzetről/időpontról a másikra?) Sima McNemar-próba általánosítása: Általános McNemar-próba (vagy Bowker-féle szimmetria-próba)

39. 2 diszkrét változó kapcsolatának vizsgálata 15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 105 17 122 Nem 469 340 809 Összesen 574 357 931 Kapcsolatvizsgálat  homogenitásvizsgálat

40. Sorösszegek szerinti százalékok táblázata 15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 86,1 13,9 100 Nem 58,0 42,0 100 Összesen 61,7 38,3 100

41. A pártpreferencia függése az életkortól és a nemtől • Apártpreferencia nem függ a kortól, ha a pártpreferencia eloszlása különböző életkori szinteken ugyanaz. • Apártpreferencia nem függ a nemtől, ha a pártpreferencia eloszlása férfiaknál és nőknél ugyanaz.

42. Iskolázottság és szimpátia Függ-e ennek a személynek a kedveltsége az iskolai végzettségtől?

43. Eloszlás a 3 iskolázottsági szinten

44. X és Y függetlensége • X független Y-tól, ha Y eloszlása ugyanaz X minden értéke mellett • Yfüggetlen X-től, ha X eloszlása ugyanaz Yminden értéke mellett • A függetlenség kölcsönös

45. Cramér-féle V kontingencia-együttható: A kapcsolat szorosságának mérése diszkrét változók esetén • Ha X és Y független, V = 0. • 0 ≤ V ≤ 1.

46. A kapcsolat szorosságának mérése dichotóm változók esetén • Dichotóm (kétértékű) változók esetén V  φkontingencia együttható, |φ| = V • -1 ≤φ≤ 1 • φ = Pearson-féle r korrelációs együttható a sor- és az oszlopváltozó között

47. Kontingencia-együttható (φ) Pearson korreláció a numerikusan kódolt dichotóm változók között Yule-féle asszociációs együttható (,Y) Kendall-féle gamma dichotóm változókkal Alfa esélyhányados A kapcsolat szorosságának mérése dichotóm változók esetén

48. Az alfa esélyhányados X= „-” X=„+” Y = férfi a b Y = nő c d • Alfa = (b/a) : (d/c) • Ha alfa = 1, nincs különbség a 2 csoport között • Ha alfa nagyon kicsi vagy nagyon nagy, komoly különbség van a 2 csoport között

49. Kódoljuk X értékeit az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = férfi, 2 = nő). Kódoljuk Y értékeit ugyancsak az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = igen, 2 = nem). φ a Pearson-féle korrelációs együttható X és Y között A φ együttható jelentése

50. Kódoljuk X értékeit az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = férfi, 2 = nő). Kódoljuk Y értékeit ugyancsak az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = igen, 2 = nem).  a pozitív és a negatív együttjárás %-os arányának különbsége (Kendall-féle Γ) A  együttható jelentése