Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE_04_PVP_216_Kli Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

3. Goniometrické funkce orientovaného úhlu

4. Orientovaný úhel • je uspořádaná dvojice polopřímek , kde je počáteční rameno, je koncové rameno a bod V je vrchol orientovaného úhlu. • Velikost orientovaného úhlu je ve stupňové míře: Příklad: Vyjádři základní úhel a uči hodnotu , jestliže . (. • Otáčí-li se koncové rameno do počátečního ve směru pohybu hodinových ručiček, je hodnota úhlu záporná. • Otáčí-li se koncové rameno do počátečního proti směru pohybu hodinových ručiček, je hodnota úhlu kladná.

5. Oblouková míra velikosti úhlu Základní jednotkou je 1 radián (zkratka rad). Je to velikost středového úhlu v kružnici , který na této kružnici vytíná oblouk délky . Převod mezi stupňovou a obloukovou mírou je odvozen z jednotkové kružnice. Délce jednotkové kružnice odpovídá úhel . Pak tedy platí: . Poznámka: Velikost úhlu v obloukové míře se obvykle zapisuje reálným číslem bez udání jednotek. Často to bývají násobky čísla

6. Převod mezi stupňovou a obloukovou mírou • Jedním ze způsobů převodu je využití trojčlenky. Závislost mezi stupni a radiány je přímá úměrnost. v radiánech ve stupních • Příklad: Vyjádřete v obloukové míře . • Příklad: Vyjádřete ve stupňové míře .

7. Převody - procvičení • Převeďte do obloukové míry • Převeďte do stupňové míry

8. Zavedení goniometrických funkcí sinus a kosinus Do jednotkové kružnice sestrojíme úhel tak, že a bod leží na jednotkové kružnici. Funkce a jsou definovány jako souřadnice bodu . (Tyto funkce jsou definovány pro libovolný úhel.) Z polohy bodu B vyplývá, že jeho souřadnice jsou odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku s přeponou . Podle Pythagorovy věty platí:

9. Úkol: V programu GeoGebra řešte následující úkoly: • Sestrojte jednotkovou kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic. • Upravte osy tak, aby jednotková kružnice zabírala zhruba dvě třetiny nákresny a přitom na osách byly vyznačeny pouze jednotky. • Sestrojte libovolnou polopřímku s počátkem v počátku soustavy souřadnic a druhým bodem B na jednotkové kružnici. • Pohybujte bodem B po kružnici a sledujte změnu znamének souřadnic v závislosti na kvadrantech (v algebraickém okně). • Výsledek svého pozorování sestavte do vhodné tabulky.

10. Řešení úkolu: Vzhledem k tomu, že souřadnice představují hodnoty goniometrických funkcí, lze výsledky sestavit do tabulky: Lze také vyvodit:

11. Další vztahy mezi goniometrickými funkcemi Funkce a jsou definovány jako poměry: U obou funkcí je ale třeba stanovit podmínky pro smysl zlomku (. Z výše uvedeného vyplývají další vztahy: Pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi lze počítat hodnoty další funkcí bez výpočtu argumentu nebo upravovat goniometrické výrazy nebo rovnice.

12. Použitá literatura: ODVÁRKO, Oldřich. Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia. Funkce. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 112 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-050-0. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia. Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 168 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-357-8. Použité zdroje: Pro sestrojení grafů jsem použila program GeoGebra. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.