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2D Versions of EFIE and MFIE in Electromagnetic Field Theory Lectures by Dr. René Marklein

This lecture by Dr. René Marklein from Universität Kassel discusses the 2-dimensional (2D) versions of the Electric Field Integral Equation (EFIE) and the Magnetic Field Integral Equation (MFIE) for transverse magnetic (TM) and transverse electric (TE) cases. It covers the derivation of these integral equations, focusing on the geometric independence of field quantities and the application of the double curl operator. This lecture provides foundational knowledge for understanding electromagnetic field theory and techniques for analyzing electric currents in two dimensions.

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2D Versions of EFIE and MFIE in Electromagnetic Field Theory Lectures by Dr. René Marklein

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Presentation Transcript

  1. Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II)Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie II (NFT II) /3rd Lecture / 3. Vorlesung Dr.-Ing. René Marklein marklein@uni-kassel.de http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  2. 2-D Versions of EFIE and MFIE: TM and TE Case / 2D-Versionen von EFIE und MFIE: TM- und TE-Fall Position Vector / Ortsvektor 2-D Case / 2D-Fall Field Quantities / Feldgrößen All Field Quantities and the Geometry are Independent of z / Alle Feldgrößen und die Geometrie sind von z unabhängig PEC Cylinder / IEL Zylinder Source Point / Quellepunkt Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  3. 2-D Versions of EFIE and MFIE: TM and TE Case / 2D-Versionen von EFIE und MFIE: TM- und TE-Fall Boundary Condition / Randbedingung This means that the tangential component of the incident and scattered wavefield are pointing in the opposite direction at the scatterer surface / Dies bedeutet, dass die Tangentialkomponente des einfallenden und gestreuten Wellenfeldes auf der Streueroberfläche in die entgegen gesetzte Richtung zeigen. For the Derivation of the 2-D PEC TM EFIE we start from the 3-D Franz-Larmor version of EFIE for the Scattered Electric Field Strength for / Zur Ableitung der 2D-PEC-TM-EFIE starten wir mit der 3D-Franz-Larmor-Version von EFIE für die gestreute elektrische Feldstärke für Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version: Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  4. 2-D Versions of EFIE: TM Case / 2D-Versionen von EFIE: TM-Fall Scattered Electric Field Strength / Gestreute elektrische Feldstärke In the 2-D TM is only the Ez Component Unequal of Zero. That’s Because we project the Electric Field Strength Onto the Unit Vector in z Direction / Im 2D-TM-Fall ist nur die Ez Komponente ungleich von Null. Deshalb projizieren wir den elektrische Feldstärkevektor auf den Einheitsvektor in z-Richtung We take only the z Component of the above Integral Equation for the observation point outside the scattering volume / Wir nehmen nur die z-Komponente der oberen Integralgleichung für einen Beobachtungspunkt außerhalb des Streuvolumens Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  5. 2-D Versions of EFIE: TM Case / 2D-Versionen von EFIE: TM-Fall Now we Apply the double curl operator and specialize the result for the 2-D TM case at the plane z=0. / Nun wenden wir den doppelten Rotationsoperator an und spezialisieren das Ergebnis für die Ebene z=0. We compute for the double curl operator / Wir berechnen für den doppelten Rotationsoperator For all points outside the Scattering Volume we find / Für alle Punkte außerhalb des Streuvolumens find wir Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  6. 2-D Versions of EFIE: TM Case / 2D-Versionen von EFIE: TM-Fall We now consider the z independent case and an electric surface current density of the form / Wir betrachten nun den von z unabhängigen Fall und eine elektrische Flächenstromdichte von der Form and find / und finden Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  7. 2-D Versions of EFIE: TM Case / 2D-Versionen von EFIE: TM-Fall Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  8. 2-D Versions of EFIE: TM Case / 2D-Versionen von EFIE: TM-Fall Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  9. 2-D Versions of EFIE: TM Case / 2D-Versionen von EFIE: TM-Fall Hankel function of 1st kind and 0th order / Hankel-Funktion der 1. Art und 0. Ordnung Scalar 2-D Green’s function of free-space / Skalare 2-D Greensche Funktion des Freiraumes Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  10. 2-D Versions of EFIE: TM Case / 2D-Versionen von EFIE: TM-Fall Scalar 2-D Green’s function of free-space / Skalare 2-D Greensche Funktion des Freiraumes Integral representation of the scattered field at the scatterer / Integraldarstellung des Streufeldes auf dem Streuer 2-D PEC TM EFIE for the z component of the electric field strength / 2D-IEL-TM-EFIE für die z-Komponente der elektrischen Feldstärke Finally we obtain for the 2-D PEC TM EFIE / Schließlich erhalten wir für die 2D-IEL-TM-EFIE This is a Fredholm integral equation of the 1. kind in form of a closed line integral for the unknown electric surface current density for a known incident field. / Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 1. Art in Form eines geschlossenen Linienintegrals für die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld. Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  11. Method of Moments (MoM) – Introduction /Momenten-Methode (MoM) – Einleitung 2-D-PEC-TM-EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE Linear Operator Equation / Lineare Operatorgleichung Method of Moments (MoM) / Momentenmethode Linear Operator Equation / Lineare Operatorgleichung Kantorovich, L. V., G. P. Akilov: Functional Analysis in Normed Spaces. Translated by D. E. Brown, Pergamon Press, pp. 586-587, 1964. Harrington, R. F.: Matrix Methods in Field Problems. Proc. IEEE, Vol. 55, No. 2, pp. 136-149, Feb. 1976 Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  12. Method of Moments (MoM) – Introduction /Momenten-Methode (MoM) – Einleitung www.amazon.com www.amazon.com Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  13. Method of Moments (MoM) – Linear Operator Equation /Momenten-Methode (MoM) – Lineare Operatorgleichung (Linear) Matrix Equation / (Lineare) Matrixgleichung Linear Operator Equation / Lineare Operatorgleichung with the Properties / mit den Eigenschaften • {} is the Domain of . / {} ist der Definitionsbereich von . • {}is the Range or Co-domain of . / {} ist der Wertebereich von . / •  and  are Function Spaces and f, g. /  und  und Funktionsräume und f, g. • The Functional or Inner Product is defined by / Das Funktional oder inneres Produkt ist definiert durch “*”: Conjugate Complex / „*“: konjugiert komplex Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  14. Method of Moments (MoM) – Basis Function Expansion /Momenten-Methode (MoM) – Basisfunktionsentwicklung Linear Operator Equation / Lineare Operatorgleichung Basis Function Expansion / Basisfunktionsentwicklung Let αn a Basis in , i.e. the αn spans the domain , then we can represent f in form of series / Sei αn eine Basis von , d.h. die αn spannen den Raum  auf, dann lässt sich f in Form einer Reihe darstellen Function / Funktion Basis Functions / Basisfunktionen Coefficients / Koeffizienten Because of the Linearity of the Operator  / Wegen der Linearität des Operator  Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  15. Method of Moments (MoM) – Formulation (2) /Momenten-Methode (MoM) – Formulierung (2) Linear Operator Equation / Lineare Operatorgleichung Testing Procedure: Weighting Functions / Testprozedur: Gewichtungsfunktionen Let wm a the weighting functions – Testing Functions – of , then the following projection theorem holds / Seien wm die Gewichtungsfunktionen – Testfunktionen – in , dann gilt der Projektionssatz System of Linear Equations/ Linear Gleichungssystem Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  16. Method of Moments (MoM) – Selection of Basis and Weighting (Testing) Functions /Momenten-Methode (MoM) – Wahl der Basis- und Gewichtungs(Test)funktionen Basis Functions are αn and Weighting Functions (Testing Functions) are wm / Basisfunktionen sind die αn und Gewichtungsfunktionen (Testfunktionen) sind die wm • Let wm = αn a, then we call this the Method of Galerkin / • Sind die wm = αn, dann sprechen wir von der Galerkin-Methode • 2. Let wm =  {αm}, which results in the Least Square Method. The Method of Moments gives then an approximation with the least quadratic mean value. / • Sind die wm =  {αm}, dann erhält man die Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Die Momentan-Methode liefert dann eine Approximation mit dem kleinsten quadratischen Mittelwert. Now we define a error functional / Nun definieren wir ein Fehlerfunktional and build the mean quadratic error / und bilden den mittleren quadratischen Fehler then we minimize the error if / so wird der Fehler minimal für Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  17. Method of Moments (MoM) – Selection of Basis and Weighting (Testing) Functions /Momenten-Methode (MoM) – Wahl der Basis- und Gewichtungs(Test)funktionen Basis Functions are αn and Weighting Functions (Testing Functions) are wm / Basisfunktionen sind die αn und Gewichtungsfunktionen (Testfunktionen) sind die wm • Entire Domain Basis Functions / Ganzbereichsbasisfunktionen • The basis functions αn are defined over the complete domain . • Examples are: • Die Basisfunktionen αn sind über den gesamten Definitionsbereich  definiert. • Beispiele sind: • Subdomain Basis Functions / Unterbereichsbasisfunktionen • The basis functions αn are defined over subdomain of the domain  . • Examples are: Delta Function, Rectangular Pulse (or Piecewise-Constant) Function, Triangular Pulse Function, Quadratic Spline Function • Die Basisfunktionen αn sind über einen Unterbereich des Bereichs  definiert. • Beispiele sind: Delta-Funktion, Rechteckimpuls-Funktion, Dreieckimpuls-Funktion, Quadratische Spline Funktion Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  18. Method of Moments (MoM) – Selection of Basis and Weighting (Testing) Functions /Momenten-Methode (MoM) – Wahl der Basis- und Gewichtungs(Test)funktionen Delta Function / Delta-Funktion Rectangular Pulse (or Piecewise-Constant) Function / Rechteckimpuls-Funktion (oder stückweise konstante Funktion) Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  19. Method of Moments (MoM) – Selection of Basis and Weighting (Testing) Functions /Momenten-Methode (MoM) – Wahl der Basis- und Gewichtungs(Test)funktionen Triangular Pulse Function / Dreieckimpulsfunktion Quadratic Spline Function / Quadratische Spline-Funktion Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  20. Method of Moments (MoM) – Example: Solution of a 1-D Boundary Value Problem /Momenten-Methode (MoM) – Beispiel: Lösung eines 1D-Randwertproblems Given is the boundary value problem / Gegeben ist der Randwertproblem f(x) continuous for x = [0, 1] Boundary conditions: f(0) = f(1) = 0 / f(x) stetig für x = [0, 1] Randbedingungen: f(0) = f(1) = 0 Determine / Bestimme Basis Function Expansion / Basisfunktionsentwicklung Basis Functions / Basisfunktionen Ensures the Boundary conditions / Erfüllt die Randbedingungen Inner Product / Inneres Produkt →x = [0, 1] Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  21. Method of Moments (MoM) – Example: Solution of a 1-D Boundary Value Problem /Momenten-Methode (MoM) – Beispiel: Lösung eines 1D-Randwertproblems Testing Functions / Testfunktionen Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  22. Method of Moments (MoM) – Example: Solution of a 1-D Boundary Value Problem /Momenten-Methode (MoM) – Beispiel: Lösung eines 1D-Randwertproblems Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  23. Method of Moments (MoM) – Example: Solution of a 1-D Boundary Value Problem /Momenten-Methode (MoM) – Beispiel: Lösung eines 1D-Randwertproblems Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  24. Method of Moments (MoM) – Example: Solution of a 1-D Boundary Value Problem /Momenten-Methode (MoM) – Beispiel: Lösung eines 1D-Randwertproblems Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  25. Method of Moments (MoM) – Example: Solution of a 1-D Boundary Value Problem /Momenten-Methode (MoM) – Beispiel: Lösung eines 1D-Randwertproblems Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  26. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen 2-D Case / 2D-Fall PEC Cylinder / IEL Zylinder Source / Quelle 2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE This is a Fredholm integral equation of the 1. kind in form of a closed line integral for the unknown electric surface current density for a known incident field. / Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 1. Art in Form eines geschlossenen Linienintegrals für die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld. Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  27. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen PEC Cylinder / IEL Zylinder Source / Quelle Contour Parameter = Integration Variable/ Konturparameter = Integrationsvariable Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  28. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Rectangular Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Rechteckimpuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen Basis Function Expansion using Rectangular Pulse Basis / Basisfunktionsentwicklung mit Rechteckimpulsfunktionen Rectangular Pulse (or Piecewise-Constant) Function / Rechteckimpuls-Funktion (oder stückweise konstante Funktion) Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  29. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  30. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen PEC Cylinder / IEL Zylinder Source / Quelle Contour Parameter = Integration Variable/ Konturparameter = Integrationsvariable Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  31. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen Power Series Approximation of the Main Diagonal Elements / Potenzreihenapproximation der Hauptdiagonalelemente Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  32. End of 3rd Lecture /Ende der 3. Vorlesung Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

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