GRUP FAKTOR

1. GRUP FAKTOR

2. KosetaSdapatdigunakanuntukmembentuksistemaljabar yang baru. • MisalkanSgrupbagiandarigrupG. DapatdibentukhimpunansemuakosetkiridariSyaitu { aS | adalamG }. • AnggotaG yang berbedadapatsajamembentukkoset yang sama. Untukitudiperlukancarauntukmengujikesamaandariduakoset.

3. Teorema IX.1 • KosetaSdanbSsamajikadanhanyajikab –1aS. • aS = SjikahanyajikaaS. Bukti : • JikadiketahuiaS = bSmakaa = ae = bsuntuksuatusdalamS. • Dengankeduaruasdenganb –1makadapatb –1a = s yang beradadalamS.

4. Diketahuib –1adalamS. Tulisb –1a = S. Didapata = bsataub = as –1 Hal iniberarti, sebarangpergandaanasharuslahsamadengan ( bs)s = b(ss)dansebarangpergandaanbs = (as-1 )s = a(s-1 s). • OlehkarenaitudengansifatketertutupanS, sebarangassamadenganbdigandakandengansuatuelemenSdansebarangbssamadenganadigandakandengansebaranganggotaS. • AkibatnyaaSbSdanbSaS. • BerartiaS = bS.

5. KarenaeS = Smakadenganmenggunakansifat (1) diatasdidapatbahwaeS = SjikahanyajikaadalamS. Definisi IX.1 • Aturan * dikatakanterdefinisikandenganbaik (well-defined) jikaa = adanb = bmakaberakibata*b = a*b.

6. Contoh IX.1 • Diketahuihimpunanbilanganrasional Q dandidefinisikanaturanpada Q dengan a/b c/d = (a+c) / (b+d) a/b, c/ddalamQ. • Karenapadasatusisi 1/2 = 3/6 danpadasisi lain (1/2)  ( 1/3 ) = (1+1) / (2+3) = 2/5 (3/6)  (1/3) = (3+1) / (6+3) = 4/9 makatidakterdefinisikandenganbaik.■

7. Teorema IX.2 • PergandaankosetaS . bS = abSterdefinisikandenganbaikjikadanhanyajikaSgrupbagian normal darigrupG. Definisi IX.2 • MisalkanSgrupbagian normal darigrupG. • HimpunanG/S yang dibaca “GdanS” didefinisikandengan : G/S = { a S | aG } DenganoperasinyamempunyaiaturanaSbS = ab S.

8. Teorema IX.3 • SistemG/S yang merupakangrup. KarenaG/SmerupakangrupmakagrupG/Sseringdinamakangrupfaktor (factor group). Jika G grupterhadappenjumlahanmakakosetnyaditulisdengan a + S, b + S,…danoperasidalamG/Sadalah (a + S) + (b + S) = (a + S) + S. • DalamgrupG/Sanggotaidentitasnyaadalah 0 + Sdaninversdaria + Sadalah –a + S.

9. Contoh IX.2 : • DiketahuihimpunanbilanganbulatZgrupdan (6) = {…, -12, -6, 0, 6, 12,…} grupbagiandariZ. • AkanditunjukkanbahwabZ6isomorfisdenganZ/(6). • GrupfaktorZ/(6) = {0 + (6), 1 + (6), 2 +(6), 3 +(6), 4 +(6), 5 +(6) }. • Didefinisikanfungsif : G Z/(6) denganf(a + (6)) = adengan 0 a < 5. • Dapatdibuktikanbahwafungsifmerupakanisomorfisma. ■

10. Contoh IX.3 : • DiketahuiZ8* = { 1, 3, 5, 7 }. Didefinisikanpemetaanf : Z8* Z8* denganf(x) = x2. Berartif(1) = f(3) = f(5) = f(7) = 1. Mudahdibuktikanbahwafautomorfisma. Pemetaanftidakinjektifdantidaksurjektif. Im(f) = { 1 } dan Ker(f) = Z8*. • GrupfaktorZ8*/K = { aK | aZ8* } = { K} = { Z8* } = { {1, 3, 5, 7} } sehinggagrupfaktortersebuthanyamempunyai 1 elemenataumempunyai order 1.

11. Contoh IX.4 : • DiketahuiZ10* = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikanpemetaanf : Z10* Z10* denganf(x) = x2. Berartif(1) = f(9) = 1, f(7) = 9 = f(3). Mudahdibuktikanbahwafautomorfisma. Pemetaanftidakinjektifdantidaksurjektif. Im(f) = { 1, 9 } dan K = Ker(f) = { 1, 9}. • GrupfaktorZ10*/K = { aK | aZ10* } = { 1K, 3K } = { {1, 9}, { 3, 7} }. Dalamgrupfaktorinimempunyai order 2 dan K berfungsisebagaielemenidentitassedangkanelemenlainnyaadalah 3K yang mempunyai order 2 sehinggamerupakangrupsiklik.

12. Contoh IX.5 : • DiketahuiZ10* = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikanpemetaanf : Z10* Z10* denganf(x) = x3. Berartif(1) = 1, f(3) = 7, f(7) = 3, f(9) = 9. Mudahdibuktikanbahwa f automorfisma. Pemetaanfbijektif . Im(f) = { 1, 3, 7, 9 } = Z10* dan K = Ker(f) = { 1}. • GrupfaktorZ10*/K = { aK | aZ10* } = { 1K, 3K, 7K, 9K} = { {1}, {3}, {7}, {9} }. Dalamgrupfaktorinimempunyai order 4, K berfungsisebagaielemenidentitas. Elemen 9K mempunyai order 2. Elemen 3K dan 7K mempunyai order 4 sehinggamerupakanZ10*/K grupsiklik.

14. Teorema IX.4 • Untuksebarang integer positifnberlaku (aS)n = an S. Bukti : • Akandibuktikandenganprinsipinduksi. • Untukn = 1 , berlaku (aS)1 = a1S. • Berartiteoremabenaruntukn = 1. • Dianggapbahwateoremabenaruntukn = k. Berarti (aS)k = ak S. • Untukn = k + 1, berlaku (aS)k+1 = (aS) (aS)k = (aS) (akS) = (a . ak)S = ak+1S. • Terbuktibahwateoremabenaruntuksemuabilanganbulatpositifn.■

15. Teorema IX.5 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. • Jika G berhinggamakaordeG/Ssamadengan |G| / |S|. • JikaGsiklikmakaG/Ssiklik. • JikaamempunyaiordeberhinggamakaordedariaSdalamG/Smembagiordedaria. • JikaGAbelianmakaG/SAbelian.

16. Teorema IX.6 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. Fungsif : GG/S yang didefinisikandenganaturanf(x) = xSmerupakanhomomorfismasurjektifdariGkeG/SdenganintinyaS. • PemetaanS yang didefinisikandalamteoremadiatasseringdikenaldengannamahomomorfismaalam (natural homorphism) atauhomomorfismakannonik (canonical homomorphism).

17. Teorema IX.7 • JikaG/SsiklikdansetiapanggotaSkomutatifdengansemuaanggotaGmakaGAbelian.

18. Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dariHomomorfismaGrup). • Jikaf : GHhomomorfismagrupdenganintiKdanpetaf(G) makaG/Sisomorfisdenganf(G). Bukti: • Definisikanfungsig : G/Kf(G) dengang(aK) = f(a). • Telahdibuktikanbahwagbijektifsehinggatinggalmembuktikanbahwaghomomorfisma. Padasatusisi, g(aKbK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) danpadasisi lain, g(aK) g(bK) = f(a) . f(b) sehinggag(aKbK) = g(aK) g(bK) untuksemuakosetaKdanbK. ■

20. Contoh IX.6 : • MisalkanT = { xdalamC* | Abs(x) = 1 }. • Mudahdibuktikanbahwafungsi Abs : C* R* merupakanhomomorfisma. • Karena 1 identitasdalamR* danT = Ker(Abs) makadenganmenggunakanteorema fundamental homorfismadiperolehbahwaC*/Tisomorfisdenganpetadarifungsi Abs yaituR+. • OlehkarenaituC*/TsehinggaC*/Tjugamempunyaisifat-sifat yang dimilikiR+. • JadiR+grupabeliantidaksiklik, ordenyatakhinggadanmempunyaianggotadenganorde 1 atau .■

21. Isomorfisma • Suatugrup yang nampaknyaberbedasecaraesensidapatsama. Secaraintuisiidebahwaduagrupsecaraesensisamaakanmenujupadapemikirantentangkonsepisomorfisma. Definisi IX.3 • Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. GrupG isomorfisdenganHjikaterdapatfungsi f : GHsehingga • finjektif, • fsurjektif, • fhomomorfisma • makafdikatakanisomorfisma.

22. Teorema IX.9 • MisalkangrupGdanHisomorfis. Sifat-sifatberikutiniberlaku : • GrupGdanHmempunyaiorde yang sama. • GrupGdanHkeduanyaabelianatautidakabelian. • GrupGdanHkeduanyasiklikatautidaksiklik.

23. Contoh IX.7 : • DiketahuiGrupZ4danZ8*. • Keduagrupmempunyaiorde 4 danabeliantetapiZ4 = (1) sikliksedangkanZ8* tidaksiklikkarenatidakadaanggotanya yang mempunyaiorde 4. • OlehkarenaituZ4tidakisomorfisdenganZ8*.

24. Teorema IX.10 • SebaranggrupsikliktakberhinggaisomorfisdenganZ. • SebaranggrupsiklikberhinggaordenisomorfisdenganZn.

26. LATIHAN • MisalkanS = { (1), (2) } dananggapbahwasemuakosetaSuntukadalamZ4. • BerikancontohkhususuntukmenunjukkanbahwapergandaankosetaS . bS = ab Stidakterdefinisikandenganbaik. • Tunjukanbahwatidakadaduadarihimpunan-himpunanini yang isomorfis : R*, R+danC*. • Buktibahwafungsi-fungsiberikutsuatuisomorfisma. • f : Z100Z100denganf(x) = 3x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x3.

27. Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif.Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif. • f : Z100Z100denganf(x) = 2x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x2. • Didefinisikanf : RRdenganf(x) = -3x. BuktikanbahwafsuatuautomorfismaRyaituisomorfismadariRkeR. • MisalkanGsebaranggrupdanbanggotaG. • Didefinisikanfb : GGdenganaturanfb(x) = b-1xb. • TunjukkanbahwafbsuatuautomorfismadariG.

28. DiketahuigrupfaktorZ6/S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order darigrupfaktordan order darielemen-elemendalamZ6/S. ApakahZ6/S siklik ? • Diketahuigrupfaktorf : Z7* Z7* dengan f(x) = x2. TentukanIm(f) dan K=Ker(f). ApakahZ7*/K isomorfisdenganf(Z7*) = Im(f) ? • MisalkanS = { AM22* | det(A) = 1 }. BuktikanbahwaSgrupbagian normal dariM22*.

29. TERIMA KASIH