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06 Matlab 符号计算

06 Matlab 符号计算. 一、符号计算基础 二、符号计算在微积分中的应用 三、符号表达式的化简与替换 四、求解符号方程（组） 五、积分变换. 一、符号计算基础. 1 、数值计算的误差 2 、 Matlab 符号计算功能简介 3 、创建符号量 sym / syms 4 、替换符号量 subs 5 、符号计算的运算 符 6 、符号计算的基本函数 7 、 符号计算的精度控制 8 、符号量与数值量之间的转换. 1 、数值运算的误差. 2 、 Matlab 符号计算功能简介. 符号计算以推理解析的方式进行，不受计算误差积累问题困扰；

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06 Matlab 符号计算

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  1. 06 Matlab 符号计算 一、符号计算基础 二、符号计算在微积分中的应用 三、符号表达式的化简与替换 四、求解符号方程（组） 五、积分变换

  2. 一、符号计算基础 1、数值计算的误差 2、Matlab符号计算功能简介 3、创建符号量 sym / syms 4、替换符号量 subs 5、符号计算的运算符 6、符号计算的基本函数 7、符号计算的精度控制 8、符号量与数值量之间的转换

  3. 1、数值运算的误差

  4. 2、Matlab符号计算功能简介 • 符号计算以推理解析的方式进行，不受计算误差积累问题困扰； • 符号计算给出解析解，当解析解不存在时，会给出数值解； • 符号计算指令的调用比较简单，与教科书上的公式相近； • 计算所需时间比数值计算要多很多； • Matlab 的符号计算功能通过Symbolic Math Toolbox（符号数学工具箱）和Extended Symbolic Math Toolbox（扩展符号数学工具箱）实现。 • Matlab 2008b以前的版本，符号计算引擎为 Maple • Matlab 2008b以后的版本（包括Maltab 2008b)，符号计算引擎为MuPAD • 常用的符号计算软件还有Maple、Mathmatica、MathCAD等。

  5. 3、创建符号量 (1)方法1：sym( ) 每次只能创建 一个 符号量。 S = sym(A) x = sym('x') x = sym('x','real') x为实数 x = sym('x','positive') x为正实数 x = sym('x','unreal') 去除x的“实”、“正”属性 S = sym(A,flag) flag为'r', 'd', 'e', 或 'f' a=sym('a') a是符号变量 b是符号常量 b=sym(1/3)

  6. b = sym('1/3+sqrt(2)') b = 1/3+sqrt(2) 用单引号括起来，是以最精确的形式存储符号常数 a = sym(1/3 + sqrt(2)) a = 7870251548315938*2^(-52) 不用单引号，则是以最接近的“有理”表示的形式存储符号常数

  7. (2) 方法2：syms 可以同时建立 多个 符号变量 syms arg1 arg2 ... syms arg1 arg2 ... real syms arg1 arg2 ... unreal syms arg1 arg2 ... positive a=sym('a'); b=sym('b'); c=sym('c'); syms a b c a b c中间一定要用空格隔开，不能用逗号 syms不能用来创建符号常量

  8. (3)创建符号表达式 • 用 sym 命令创建符号表达式： >> f = sym('a*x+b') f = a*x+b • 先定义符号变量，再按普通书写形式创建符号表达式： >> syms a x b >> f = a*x + b f = a*x+b 建议用这种方式！

  9. (4)创建符号数组 • 将数值矩阵转化成符号数组： B=[2/3,sqrt(2);5.2,log(3)]; C=sym(B) • 使用sym函数直接生成： A=sym('[1+x,sin(x); 5,exp(x)]') f=sym('[1,ab;c,d]') • 先定义符号变量，再按普通书写 形式创建符号数组: syms a b x y C= [a,b;x,y]

  10. (5) findsym( ) 找出符号表达式/数组中的符号变量 findsym(S) 按字母顺序列出 S中的所有符号变量 findsym(S,n)列出 S 中离 x最近的 n个符号变量 若表达式中有两个符号变量与 x的距离相等， 则ASCII 码大者优先。 >> f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a') f = 2*w-3*y+z^2+5*a >> findsym(f) ans = a, w, y, z >> findsym(f,3) ans = y,w,z >> findsym(f,1) ans = y

  11. 4、替换符号量 subs( ) 用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量 R = subs(S)替换 S中的所有变量 R = subs(S, new)用 new 替换 S 中的缺省变量 R = subs(S,old,new)用 new替换 S中的 old 若 new是一个由多个符号变量组成的数组， 则 old应该具有与 new相同的形状的数组。 syms a x b f = a*x+b a = 1 b = 2 c = subs(f) syms a x b f = a*x+b c = subs(f,5) syms a x b f = a*x+b c = subs(f,[a,b],[1,2]) c = 5*a+b c = x+2 缺省变量: findsym(S,1)的返回结果 c =x+2

  12. syms a x b f = a*x+b c = subs(f,[1,2;3,4]) syms a x b f = a*x+b c = subs(f,1:5) c = [ a+b, 2*a+b] [ 3*a+b, 4*a+b] c = [ a+b, 2*a+b, 3*a+b, 4*a+b, 5*a+b] syms a x b f = a*x+b c = subs(f,{a,b},{[1,2],[3,4]}) syms a x b f = a*x+b c = subs(f,{a,b},{[1,2;3,4],5}) c = [ x+3, 2*x+4] c = [ x+5, 2*x+5] [ 3*x+5, 4*x+5]

  13. 练习：指出下面各条语句的输出结果 >>f=sym('2*u'); >>subs(f,'u',2) >>f2=subs(f,'u','u+2') >>a=3; >>subs(f2,'u',a+2) >>subs(f2,'u','a+2') >>syms x y >>f3=subs(f,'u',x+y) >>subs(f3,[x,y],[1,2]) >>subs(f3,[x,y],[x+y,x+y])

  14. 5、符号计算的运算符 Matlab 符号计算中采用的运算符，在名称和使用上，都与数值计算中的运算符完全相同。 • 矩阵运算：+ - * \ / ^ • 数组运算：+ - .* .\ ./ .^ • 转置运算：' .' X=sym('[a,b;c,d]') Y=sym('[a,1;b,0]') Z1=X*Y Z2=X.'.*Y Z2 = [ a^2, c] [ b^2, 0] Z1 = [ a^2+b^2, a] [ c*a+d*b, c]

  15. 6、符号计算的基本函数 Matlab 符号计算中，一些基本的函数，在名称和使用上，与数值计算中的函数基本相同。 三角函数，双曲函数及它们的反函数，无论在数值计算还是在符号计算中，使用方法相同。但是没有 atan2函数。 指数、对数函数：与数值计算一样 复数函数：符号计算中，没有angle函数（求相角） 矩阵代数函数：与数值计算一样 与数组相关的函数，如size，length，括号[ ]、( )的作用等等，都与数值计算一样

  16. 练习：用det( )函数计算下列符号行列式：

  17. 7、符号计算的精度控制 digits(n) 设置符号数值计算以n位相对精度进行，默认为32位 xs = vpa(x) 在digits指定的精度下，给出x的数值型符号结果xs xs = vpa(x,n) 在n位相对精度下，给出x的数值型符号结果xs a = sym(pi) digits(20) b = vpa(a*a) digits(32) c = vpa(a*a) d = vpa(a*a,40) a = pi b = 9.8696044010893586191 c = 9.8696044010893586188344909998761 d = 9.869604401089358618834490999876151135313

  18. 8、符号量与数值量之间的转换 (1) double( ) 把符号常数转化为16位相对精度的浮点数值对象。 a = sym('1/123') + sym(sqrt(2)) + sym('pi') b = double(a) a = 1/123+2^(1/2)+pi b = 4.5639 (2) s = poly2sym(p) 把多项式转化相应的符号表达式 p = [1,2,3] s = poly2sym(p,x) s = x^2+2*x+3

  19. (3) p = sym2poly(s) 把多项式的符号表达式转换为数值多项式 syms x s = x + 2*x^3 - 6 p = sym2poly(s1) p = 2 0 1 -6

  20. 二、符号计算在微积分中的应用 • 1、极限 • 2、微分 • 3、积分 • 4、级数求和 • 5、函数的泰勒级数展开

  21. 1、极限 limit(F) limit(F,a) limit(F,v,a) limit(F,v,a,’right’) limit(F,v,a,’left’) 求默认变量→0时F的极限 求默认变量→a时F的极限 求v →a时F的极限 求v →a+时F的右极限 求v →a-时F的左极限 F为符号表达式，没有指定变量时，由 findsym确定默认变量 syms x a h F = (sin(x+h) - sin(x))/h f = (1 + a/x)^x lim_1 = limit(F,h,0) lim_2 = limit(f,inf)

  22. syms x limit(x/abs(x), x, 0, 'left') ans = -1 syms x limit(x/abs(x), x, 0, 'right') ans = 1 syms x limit(x/abs(x), x, 0) ans = NaN

  23. 2、导数（偏导数） diff(S) diff(S,n) diff(S,v) diff(S,v,n) 求 S对默认变量的一阶导数 求 S对默认变量的 n阶导数 求 S对变量 v的一阶导数 求 S对变量 v的 n阶导数，也可写成 diff(f,n,v) syms x y a b f = sqrt(exp(x)+x*sin(x)) df = diff(f) z = exp(a*x)*cos(b*y) yy = diff(z,y,2) xy = diff(diff(z,x),y)

  24. 3、积分 int(S) int(S,v) int(S,a,b) int(S,v,a,b) 求 S对默认变量的不定积分 求 S对变量 v的不定积分 求 S对默认变量的定积分 求 S对变量 v的定积分 a：积分下限，b：积分上限。 当 a或 b取 inf（或 -inf）时，计算的就是广义积分。 syms x y A1 = int(sin(x*y),y) A2 = int(sin(x)+2,0,pi/6) A3 = int(1/x^2,1,inf) A4 = int(1/(x^2-2*x+3),-inf,inf)

  25. 练习：求下面的积分，给出50位精度的数值 先对 z 变量的积分 然后对 y 变量的积分 最后对 x 变量的积分

  26. 4、级数求和 symsum(s,v) 求s的前v项的和，变量为 v = 0,1,2,…,v-1 功能同上，对默认变量求和 symsum(s) symsum(s,v,a,b) 变量v = a,a+1,…,b，求这些项的和 symsum(s,a,b) 默认变量 = a,a+1,…,b，求这些项的和 syms k a = symsum(k,1,100) b = symsum(1/k^2,1,inf)

  27. syms q n s1 = symsum(q^n,n,0,n-1) s2 = symsum(q^n,n) s1 = q^n/(q-1)-1/(q-1) s2 = q^n/(q-1) √√√ 按照symsum函数的说明，这里s2应该与s1相同，但结果却并不一致，故建议使用symsum函数时使用下面的完整的形式： symsum(s,v,a,b) ？？？

  28. 5、函数的泰勒级数展开 taylor(f) taylor(f,n) taylor(f,a) taylor(f,n,a) taylor(f,n,v) taylor(f,n,v,a) 求 f在默认变量 = 0处的 5阶泰勒展开式 求 f在默认变量 = 0处的 n-1 阶泰勒展开式 求 f在默认变量 = a处的 5 阶泰勒展开式 求 f在默认变量 = a处n-1 阶泰勒展开式 求 f在变量 v = 0处的 n-1 阶泰勒展开式 求 f在变量 v = a 处的 n-1阶泰勒展开式 当 a 为正整数时，请指定 n 的值。例如： a = 4时， taylor(f,4) : 返回的是f 在 0 处的 3阶泰勒展开式 taylor(f,7,4):返回的是f 在 4 处的 6阶泰勒展开式

  29. syms x f = sin(x)/x t1 = taylor(f,8) t2 = taylor(exp(x), 8) t3 = taylor(sin(x), 8) t4 = taylor(cos(x), 8)

  30. 三、符号表达式的化简 1、factor 2、expand 3、collect 4、simplify 5、simple 6、horner 7、numden

  31. 1、factor factor(f)对 f进行因式分解，也可用于正整数的分解 ans = (x-y)*(x^2+x*y+y^2) syms x y factor(x^3 - y^3) a = 1234567890 b1 = factor(a) b2 = factor(sym(a)) 输入数值量，返回一个行数组 输入符号量，返回符号表达式 b1 = 2 3 3 5 3607 3803 b2 = (2)*(3)^2*(5)*(3803)*(3607)

  32. syms a b c d r = [a,b,c,d] A = [r.^0;r;r.^2;r.^4] B = det(A) C = factor(B)

  33. 2、expand expand(S) 把 S展开为多项式形式，也可展开复合的三角函数、指数函数 syms x expand((x-2)*(x-4)) ans = x^2-6*x+8 syms x y; expand(cos(x+y)) ans = cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) syms a b expand(exp((a + b)^2)) ans = exp(a^2)*exp(a*b)^2*exp(b^2)

  34. 3、collect collect(S) 按默认变量对S合并同类项 collect(S,v)按指定变量v对 S合并同类项 syms x y; f = (x+y)*(x^2+y^2+1) f1 = collect(f) f2 = collect(f,y) f1 = x^3+y*x^2+(y^2+1)*x+y*(y^2+1) f2 = y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)

  35. 4、simplify simplify(S):用内置的化简规则对S进行化简 syms x; f = sin(x)^2 + cos(x)^2 ; f1 = simplify(f) f1 = 1 syms a b c; g = exp(c*log(sqrt(a+b))); g1 = simplify(g) g1 = (a+b)^(1/2*c)

  36. 5、simple simple(S)对S尝试多种不同的算法（包括simplify）进行简化，并显示相应的结果，最后返回其中最简短的形式并赋值给默认变量ans r = simple(S)对S尝试多种不同的算法（包括simplify）进行简化，但不显示相应的结果，只是返回其中最简短的形式并赋值给变量 r [r, How] = simple(S)对S尝试多种不同的算法（包括simplify）进行简化，但不显示相应的结果，只是返回其中最简短的形式并赋值给变量 r，同时返回字符串How ，记录得到 r所使用的化简方法。

  37. syms x; f = (1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); f1 = simple(f) f2 = simple(f1) f3 = simple(f2) f1 = (2*x+1)/x f2 = 2+1/x f3 = 2+1/x 多次使用 simple ,直到结果与前一次相同，以达到最简单的表示形式。

  38. 6、horner horner(P)将多项式 P改写为horner形式（这种形式可以快速计算多项式的值） syms x; f = x^4+2*x^3+4*x^2+x+1; g = horner(f) g = 1+(1+(4+(x+2)*x)*x)*x

  39. 7、numden [N,D]=numden(f) 返回值： N 为 f 的分子，D 为 f 的分母 syms x y; f = x/y + y/x; [N,D]=numden(f) N = x^2+y^2 D = y*x

  40. 四、求解符号方程 • 1、线性方程组的符号解 • 2、符号方程(组)求解 • 3、常微分方程（组）的求解

  41. 1、线性方程组的符号解 clc; clear all; A = sym('[1,1,1;3,-1,6;0,1,3]') b = sym('[a;7;4]') s = A\b s = -14/15+3/5*a -3/5+3/5*a 23/15-1/5*a

  42. 2、符号方程（组）求解 s = solve(eq,var) 求方程指定变量var的解 s = solve(eq) 求方程默认自变量的解 eq是用字符串表示的方程，或符号表达式。 (1)用 字符串创建方程 eq1 = 'a*x^2+b*x+c=d' sx = solve(eq1) sa = solve(eq1,'a')

  43. eq1 = 'a*x^2+b*x+c-d' sx = solve(eq1) sa = solve(eq1,'a') 若方程 eq 中不含等号，则表示解方程 eq = 0 sx = -1/2*(b-(b^2-4*a*c+4*a*d)^(1/2))/a -1/2*(b+(b^2-4*a*c+4*a*d)^(1/2))/a sx是2行1列的符号数组 sa = -(b*x+c-d)/x^2 以a为方程的变量求出的解

  44. (2)用符号表达式创建方程 syms a b c d x eq1 = a*x^2+b*x+c-d; sx = solve(eq1) sa = solve(eq1,a) 符号表达式不能写成： eq = a*x^2+b*x+c=d

  45. 解方程 syms x; f = x^3-3*x+1; s = solve(f,x) s = solve('x^3-3*x+1','x') s = solve('x^3-3*x+1=0','x') 上面的三种方法都可以求得方程的解。

  46. solve也可以解方程组 s = solve( f1 , f2 , ... , fn , v1, v2 , ... , vn) 求解由 f1 , f2 , ... , fn确定的方程组关于 v1, v2 , ... , vn的解 若不提供v1, v2, ... , vN ，Matlab会自动确定默认变量。 返回值 s是一个架构数组，如果要显示(引用)每个解，使用 s.v1，s.v2

  47. eq1 = 'x + y - z = 1' eq2 = 'x + z = 2' eq3 = 'x^3 + y = 2' s = solve(eq1,eq2,eq3) x = s.x y = s.y z = s.z s = x: [3x1 sym] y: [3x1 sym] z: [3x1 sym] x = 1 1/2*5^(1/2)-1/2 -1/2*5^(1/2)-1/2 y = 1 -5^(1/2)+4 5^(1/2)+4 z = 1 -1/2*5^(1/2)+5/2 1/2*5^(1/2)+5/2 x(1),y(1),z(1)是方程组的第 1 组解 x(2),y(2),z(2)是方程组的第 2 组解 x(3),y(3),z(3)是方程组的第 3 组解

  48. clc； clear all; syms u v w y z eq1 = u*y^2 + v*z + w; eq2 = y + z + w; s = solve(eq1,eq2,y,z)

  49. 求范德瓦尔斯气体的三个临界参量 clc; clear all; syms a b R T V P = R*T/(V-b) - a/V^2 PV = diff(P,V) PV2 = diff(PV,V) S = solve(PV,PV2,V,T) Vc = S.V Tc = S.T Pc = subs(P,{V,T},{S.V,S.T})

  50. solve 在得不到解析解时，会给出数值解 s = solve('(x+2)^x=2') s = .69829942170241042826920133106081 s = solve('x= cos(x)') s = .73908513321516064165531208767387

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