1 / 11

Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel

Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel. Penyusun: Tim Dosen Kalkulus II. Definisi Nilai Ekstrim. Jika f ( x,y ) ≤ f ( a,b ) ketika ( x,y ) dekat ( a,b ) maka f ( a,b ) disebut nilai maksimum lokal.

hammer
Télécharger la présentation

Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel Penyusun: Tim Dosen Kalkulus II

  2. Definisi Nilai Ekstrim • Jika f(x,y) ≤ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai maksimum lokal. • Jika f(x,y) ≥ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai minimum lokal. • Jika definisi di atas berlaku untuk semua (x,y) dalam Df maka f mempunyai maksimum mutlak (minimum mutlak) di (a,b).

  3. Definisi Titik Kritis Titik (a,b) disebut titik kritis, bila: • fx(a,b) = 0 atau fx(a,b) tidak ada • fy(a,b) = 0 atau fy(a,b) tidak ada Teorema (Uji Turunan Pertama) : Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di (a,b) dan turunan parsial orde satu di (a,b) ada, maka fx(a,b) dan fy(a,b) = 0.

  4. Teorema (Uji Turunan Kedua) Misal turunan parsial kedua dari f kontinu pada cakram dengan pusat (a,b) dan misalkan fx(a,b) dan fy(a,b) = 0.D = D(a,b) = fxx(a,b) fyy(a,b) – [fxy(a,b)]2 • Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) minimum lokal. • Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) maksimum lokal. • Jika D < 0 maka f(a,b) bukan maksimum dan minimum lokal.

  5. Catatan • Pada saat D < 0 maka f(a,b), titik (a,b) disebut titik pelana f. • Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan. • Dimana,

  6. Contoh • Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi

  7. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut. • Tentukan nilai ekstrim dari fungsi • Tentukan ukuran dari suatu kotak persegi panjang tanpa tutup yang mempunyai volume 32 dm3, sehingga dapat meminimumkan banyaknya material yang digunakan untuk membuat kotak tersebut.

  8. Nilai Maksimum dan Minimum Mutlak (Selang Tertutup) Teorema (Nilai Ekstrim Fungsi DuaVariabel) Jika f kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas,DR2, maka f mencapai nilai maksimum mutlak f(x1,y1) di (x1,y1) D dan mencapai nilai minimum mutlak f(x2,y2) di (x2,y2) D.

  9. Langkah-langkah mencari maksimum dan minimum mutlak fungsi kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas :1. Tentukan titik kritis dalam D.2. Tentukan nilai ekstrim f pada perbatasan D.3. f(x0,y0) terbesar  maksimum mutlak.f(x0,y0) terkecil  minimum mutlak. Catatan : • Himpunan terbatas dalam R2 adalah himpunan yang memiliki jangkauan berhingga. • Himpunan tertutup dan tidak tertutup Tertutup Tidak tertutup -5 ≤ x ≤ 3 1 ≤ y ≤ 6 -5 < x < 3 1 < y < 6

  10. Contoh 2.Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak pada Df(x,y) = x2 + y2 + x2y + 4 , D = {(x,y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

  11. Definisi nilai ekstrim relatif di atas dapat diperluas untuk fungsi tiga variabel atau lebih. • Jika f fungsi tiga variabel, maka f mempunyai nilai maksimum relatif di titik (x0,y0,z0), jika f(x0,y0,z0) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x0,y0,z0) • fmempunyai nilai minimum relatif di titik (x0,y0,z0), jika f(x0,y0,z0) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x0,y0,z0). • Jika f mempunyai nilai ekstrim relatif pada titik (x0,y0,z0) dan turunan parsial pertama dari f ada pada titik (x0,y0,z0), maka

More Related