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Introduction à la Théorie des graphes

Introduction à la Théorie des graphes. Optimisation dans les réseaux. Plan. Définitions et exemples Problème du plus court chemin Problème de flot maximal Problème de connexion minimale Problème du voyageur du commerce. Ponts de Konigsberg. Graphe non orienté :. Graphe orienté :.

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Introduction à la Théorie des graphes

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Presentation Transcript

  1. Introduction à laThéorie des graphes Optimisation dans les réseaux

  2. Plan • Définitions et exemples • Problème du plus court chemin • Problème de flot maximal • Problème de connexion minimale • Problème du voyageur du commerce

  3. Ponts de Konigsberg

  4. Graphe non orienté : Graphe orienté : Définitions

  5. Dictionnaire des précédents(graphe orienté)

  6. Matrice d’un graphe orienté

  7. Définiton • Degré d’un sommet : nombre d’arêtes reliées à ce sommet Le sommet A est de degré 3 : (B, C et D aussi)

  8. Types de graphes • CYCLE : On peut partir d’un sommet et revenir a ce sommet en parcourant une et une seule fois les autres sommets

  9. ChaîneSuite de sommets reliés par une seule arête

  10. Types de chaînes • Chaîne hamiltonienne : Chaîne passant par tous les sommets d’un graphe ABCD (ABDC, ACBD aussi) ABDC, ACBD

  11. Types de chaînes • Chaîne eulérienne : Chaîne passant par toutes les arêtes d’un graphe (BACBDC)

  12. Types de cycles • Cycle hamiltonien : passant une seule fois par tous les sommets d’un graphe et revenant au sommet de départ • Cycle eulérien : passant une seule fois par toutes les arêtes d’un graphe et revenant au sommet de départ.

  13. ExempleExiste-t-il un cycle eulérien ?? CDBCABEC

  14. Graphe eulérien Graphe qui possède un cycle Eulérien

  15. Théorème d’Euler (1766) • Graphe eulérien  Tous les sommêts du graphe ont un degré pair OUI NON

  16. Graphe non connexe : Il existe des sommets non reliés entre eux Graphe connexe : Tous les sommets sont reliés entre eux Connexité

  17. Retour à Konigsberg

  18. Les sommets = quartiers Les arcs = Les ponts Le problème  le graphe est il eulérien ? Théorème  NON Sous forme de graphe

  19. ExemplesTournée sans répétition  • Est-il possible de tracer une courbe coupant chacun des 16 segments de la figure exactement une et une seule fois ?

  20. Sous forme de graphe

  21. Conclusion • Le problème consiste à construire un cycle eulérien : Théorème d’Euler : impossible, car le sommet e; par exemple, est de degré 5

  22. Coloriage des sommets d’un graphe non orienté • Nombre chromatique : affecter tous les sommets d’un graphe d’une couleur de telle sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur. Le nombre nécessaire de couleur= Nombre chromatique

  23. Exemple 1 Couleur 1 :A , C couleur 2 : B, D Nombre chromatique = 2?

  24. Exemple 2

  25. Nombre chromatique = 3

  26. Application : Planning d’examens • Une université doit organiser les horaires des examens de rattrapage. On suppose qu’il y a 7 épreuves à planifier, numérotées de 1 à 7 : • Les paires de cours suivantes ont des étudiants en commun : 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 1 et 7, 2 et 3, 2 et 4, 2 et 5, 2 et 7, 3 et 4, 3 et 6, 3 et 7, 4 et 5, 4 et 6, 5 et 6, 5 et 7 et 6 et 7. • Comment organiser ces épreuves de façon qu’aucun étudiant n’ait à passer deux épreuves en même temps et cela sur une durée minimale ?

  27. Modélisation sous forme de graphe

  28. Résolution Planifier les examens en un temps minimal consiste à déterminer une coloration en k couleurs des sommets du graphe, k étant le nombre chromatique du graphe : La partition minimale des sommets est (k = 4)

  29. Conclusion • k = 4 : les examens peuvent être répartis en 4 périodes, de la manière suivante : • période 1, épreuves des cours 1 et 6 • période 2, épreuve du cours 2 • période 3, épreuves des cours 3 et 5 • période 4, épreuves des cours 4 et 7

  30. Aquariophilie • A, B, C, D, E, F, G et H désignent huit poissons ; dans le tableau ci-dessous, une croix signifie que les poissons ne peuvent cohabiter dans un même aquarium :

  31. Question Quel nombre minimum d’aquariums faut-il ?

  32. Modélisation sous forme de graphe

  33. Donc 4 aquariums

  34. Optimisation dans les réseauxLe problème du plus court chemin

  35. Méthode de FORD • Niveaux du graphe • Graphe ordonnancé en niveaux • Le calcul du chemin le plus court

  36. Dictionnaire des précédentset niveaux du graphe Niveau 1 : J Niveau 2 : K, U Niveau 3 : S Niveau 4 : T, L Niveau 5 : E

  37. Graphe ordonnancé en niveaux

  38. Calcul du chemin optimal(La fonction m) • Départ : m(J) = 0 • Pour un sommet X : m(X) = min {m(Y)+d(Y, X) ; Y précédent de X}

  39. m(J) = 0 m(K) = m(J)+2 = 0 +2 = 2 m(U) = m(J)+1 = 0 +1 = 1 m(S) = min{m(K)+1; m(J)+3; m(U)+1} = min{3 ; 3 ; 2} = 2 etc.

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