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MOMENTO DE UNA FUERZA • En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitudvectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámicoo sencillamente momento.
MOMENTO DE UNA FUERZA • El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP por el vector fuerzaF; esto es • El momento es un vector perpendicular al plano de r y F. • La magnitud del momento esta dado por • El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha. • Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.
INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA • El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto. • El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas
COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO El momento de la fuerza respecto a O es
COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA
Ejemplo • Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con respecto a los puntos (a) E y (b) S
Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O, (c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O, (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 750 N para que produzca el mismo momento respecto a O
SOLUCIÓN Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha
SOLUCIÓN Parte (b) La fuerza que aplcada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente
SOLUCIÓN Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces
SOLUCIÓN Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo
Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C SOLUCIÓN El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA • El momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera es • El resultado es independiente del punto B
Ejemplo • Se aplica una tensión T de intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.
Ejemplo • La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB
PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:
El momento de la cupla es, CUPLA O PAR DE FUERZAS La cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas pero de sentidos opuestos. El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas
DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR • La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha
CUPLA O PAR DE FUERZAS • Dos cuplas tendrán igual momento si: a) b) Las dos cuplas se encuentran ubicadas en planos paralelos c) La dos cuplas tienen el mismo sentido o la misma tendencia a causar rotación y la misma dirección
Ejemplo de cupla • Determine el momento de la cupla mostrada en la figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas
Ejemplo de cupla Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas
EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes: • Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante; • Descomponiendo una fuerza en dos componentes y • Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma partícula • Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas • Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte
SISTEMAS FUERZA CUPLA Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B Cupla No hay cambio en el efecto externo
Ejemplo Remplace la fuerza de 350 N por una fuerza y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas
solución Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresión vectorial de F es El momento C será
Ejemplo Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una fuerza y una par en el punto A. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas
Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B
Ejemplo • Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza –par equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D
Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par hallado en la parte (a)
SISTEMAS FUERZA CUPLA Paso 1 Paso 2 Paso 3 Seleccionar un punto para encontrar el momento Remplazar las fuerzas por una fuerza y un par en el punto O Sumar las fuerza y cuplas vectorialmente para encontrar la resultarte y el momento resultante
Ejemplo Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A
