Regresszióanalízis

1. Regresszióanalízis Lineáris regresszió REGRESSZIÓ

2. Modell: Valamely (pl. fizikai) törvényszerûség értelmében az x független változó bizonyos értékénél a függõ változó értéke Y =j (x). Y helyett y értéket mérünk, E(y½x) = Y, vagy és Amennyiben nincsen ismert és igazolt fizikai összefüggés, nem lehetünk elõre meggyõzõdve az illesztett függvény alkalmasságáról. REGRESSZIÓ

3. A regresszióanalízis során feltételezzük, hogy • y az x minden értékénél normális eloszlású, vagyis az ei mérési hibák N(0,s2) normális eloszlásúak; • Var(y) = konstans, illetve y-nak vagy x-nek ismert függvénye; • a különbözõ i mérési pontokban elkövetett mérési hibák egymástól függetlenek; • Y(x) = f(x, a,b,g, ...) az ismert vagy feltételezett függvénykapcsolat alakja, ahol a, b, ga függvény konstansai (paraméterei). REGRESSZIÓ

4. Egyváltozós lineáris regresszió ismétlés nélküli mérések esetén, konstans A becslési kritérium: REGRESSZIÓ

5. A normálegyenletek: Átrendezve: Ha a b0 és b becslések egymástól nem függetlenek REGRESSZIÓ

6. A normálegyenletek az modell illesztésekor Átrendezve: Az a és b becslések egymástól függetlenek, mert REGRESSZIÓ

7. és tehát az a és b becsült paraméterek egymástól függetlenül kaphatók meg a két normálegyenletbõl: ; REGRESSZIÓ

8. A becslések tulajdonságai: REGRESSZIÓ

9. REGRESSZIÓ

10. A konfidenciatartományok a t-eloszlás alapján számíthatók. REGRESSZIÓ

11. 1. példa Kísérletileg vizsgálták az x független változó és az y függő változó közötti összefüggést. Az x független változó értéke pontosan beállítható, az y függő változó értéke azonban a Y valódi érték körül ingadozik. A mérési adatok a következő táblázatban láthatók, az y értéke szerint növekvő sorrendbe rendezve. A tényleges mérési sorrendet a táblázat második oszlopa tartalmazza. Feltételezve, hogy y normális eloszlású, valamint azt hogy az y és x közötti függvénykapcsolat lineáris, adjunk becslést az egyenes paramétereire! REGRESSZIÓ

12. REGRESSZIÓ

13. Excel eredmények R2 sr reziduális szórás b0 b REGRESSZIÓ

14. Determinációs együttható: “Residual” “Regression” “Total” REGRESSZIÓ

15. R2 = SSR/SST REGRESSZIÓ

16. REGRESSZIÓ

17. SSR SSE SST n - 2 REGRESSZIÓ

18. REGRESSZIÓ

19. A konfidenciatartományok a t-eloszlás alapján számíthatók. REGRESSZIÓ

20. 95%-os konfidencia intervallum a paraméterekre REGRESSZIÓ

21. Konfidencia sáv az Y(x) valódi értékre REGRESSZIÓ

22. Jóslási intervallum intervallum: (1- a)a valószínűsége annak, hogy x adott értékénél egy későbbi mérés eredménye a számított intervallumba esik. REGRESSZIÓ

23. REGRESSZIÓ

24. A mérések sorrendje REGRESSZIÓ

25. Egyváltozós lineáris regresszió ismételt mérések esetén, konstans REGRESSZIÓ

26. SST = SSE + SSR SST = SSrepl + SSres + SSR Reziduális négyzetösszeg Ismétlésekbõl számított négyzetösszeg A szabadsági fokok száma: REGRESSZIÓ

27. Az csoportokon belüli error szórásnégyzet a variancia torzítatlan becslése, függetlenül az Y függvény alakjától. Az reziduális szórásnégyzet csak akkor becslése -nak, ha a tapasztalati regressziós függvény "megfelelõ alakú", vagyis az elméleti regressziós függvény lineáris. Esetünkben tehát akkor, ha . REGRESSZIÓ

28. A hipotézis vizsgálatára az F-próbát használjuk: Ha az arány (feltéve, hogy ) nem halad meg egy Fa kritikus értéket, mondhatjuk, hogy a mérési adatok nem mondanak ellent annak a nullhipotézisnek, amely szerint az elméleti és tapasztalati regressziós görbe matematikailag azonos alakú. REGRESSZIÓ

29. Ha elfogadjuk a nullhipotézist, egyben azt állítjuk, hogy és egyaránt torzítatlan becslései. A kettõ együtt több információt nyújt, mint bármelyik külön-külön, mivel az így egyesített szórásnégyzet nagyobb szabadsági fokú (tehát kisebb varianciájú) becslése -nak, mint akár , akár . Célszerû tehát a két becslést egyesíteni. REGRESSZIÓ

30. 2. példa Kalibrációs eljárás során a táblázatban közölt adatokat mérték, x a koncentráció, y a mért jel. Illesszünk egyenest a mérési adatokra. REGRESSZIÓ

31. Az adatok a mérési sorrendjében kerülnek be az input file-ba, tehát a programok számára általában ugyanaz az x - y adatok szerkezete, mint ismétlés nélküli mérések esetén. REGRESSZIÓ

32. REGRESSZIÓ

33. REGRESSZIÓ

34. Annak ellenõrzésére, hogy az alkalmazott lineáris modell megfelelõ-e, F-próbát végzünk. Az Excel táblázat segítségével számítsuk ki a reziduális szórásnégyzetet, majd végezzük el a próbát! REGRESSZIÓ

35. Az F-eloszlás kritikus értéke 95 % -os egyoldali szinten ( a = 0.05), ha a számláló szabadsági foka 3, a nevezõé 18: F0.05(3, 18) = 3.16. Azt mondhatjuk, hogy a számított egyenes (a tapasztalati regressziós görbe) a mérési pontokat megfelelõen leírja. REGRESSZIÓ

36. REGRESSZIÓ

37. REGRESSZIÓ

38. Egyváltozós lineáris regresszió ismételt mérések esetén, nem konstans A becslési kritérium: A négyzetösszeg felbontható: REGRESSZIÓ

39. A variancia nem konstans, hanem x-nek ismert függvénye: ahol x -tõl független konstans. A minimalizálandó függvény: ahol wi az ún. súly: REGRESSZIÓ

40. Ha az a és b becsült paraméterek egymástól függetlenül kaphatók meg a két normálegyenletbõl: REGRESSZIÓ

41. Kalibrációs egyenes:a regressziós egyenlet megoldása a független változóra Az egyenes egyenlete: Most y a független, de sztochasztikus változó (ötször mérve 5 különbözõ abszorbanciát kapunk), x a függõ változó, amelynek becslése várható értéke (és valódi értéke) X. (Az becslés valószínûségi változó, mivel y, a és b valószínûségi változók.) REGRESSZIÓ

42. konfidencia-intervalluma: segédváltozó Ha yn mérés átlagértéke, értelemszerûen írandó y helyébe, és REGRESSZIÓ

43. Az becslést úgy kapjuk, hogy Var(z) elõbbi kifejezésében a w súlyok helyett beírjuk a h2(x) függvény reciprokának becslését, becsléséül pedig az s2-statisztikát használhatjuk. ; REGRESSZIÓ

44. Az X-re másodfokú kifejezés átrendezése után a konfidenciaintervallum ahol REGRESSZIÓ

45. Az X-re másodfokú kifejezés átrendezése után a konfidenciaintervallum ahol és REGRESSZIÓ

46. -val és -vel kifejezve Ha , , így az elõzõ kifejezés egyszerûsödik ahol REGRESSZIÓ

47. Az összefüggések felhasználásával, ha : ahol REGRESSZIÓ

48. 3. példa A 2. példában kapott regressziós egyenest kalibrációs összefüggésként használjuk. Az ismeretlen koncentrációjú oldattal végzett 5 mérés átlagértéke 1.25. Adjunk becslést és 95 %-os konfidencia-intervallumot az oldat koncentrációjára (X-re ). ; ; REGRESSZIÓ

49. felhasználásával: A konfidencia-intervallum: REGRESSZIÓ

50. A regresszió feltételeinek ellenõrzése; a reziduumok vizsgálata A regresszióanalízis során feltételeztük, hogy • y az x minden értékénél normális eloszlású, vagyis az e mérési hibák N(0,s2) normális eloszlásúak; • Var(y) = Var(y½x) = konstans, illetve y-nak vagy x-nek ismert függvénye; • a különbözõ i mérési pontokban elkövetett mérési hibák egymástól függetlenek; • E(y½x) = Y(x) = f(x, a,b,g, ...) az ismert vagy feltételezett függvénykapcsolat alakja, ahol a, b, ga függvény konstansai (paraméterei). REGRESSZIÓ