1 / 16

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM. 8.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol di dalam R 2 atau R 3 dan  adlah sudut diantara keduanya, maka. atau. u . v = < u , v > , sehingga.

henry-roman
Télécharger la présentation

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM

  2. 8.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol di dalam R2 atau R3 dan  adlah sudut diantara keduanya, maka atau u . v =<u, v>, sehingga Karena |cos |  1, maka

  3. Teorema 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Scwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam real, maka |<u . v>| ||u|| ||v|| <u, v>2  <u, u><v , v> <u, v>2  ||u||2 ||v||2

  4. Teorema 8.2.2 Sifat-sifat Panjang Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sembarang, maka: (a) ||u||  0 (b) ||u|| = 0 jika dan hanya jika u = 0 (c) ||ku|| = |k| ||u|| (d) ||u + v||  ||u|| + ||v|| (Ketidaksamaan segitiga)

  5. Teorema 8.2.3 Sifat-sifat Jarak Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sembarang, maka: (a)d(u, v)  0 (b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v (c)d(u, v) = d(v, u)  0 d(u, v)  d(u,w) +d(w, v) (Ketidaksamaan segitiga)

  6. 8.2.2 Sudut di antara dua vektor Misal u dan v adalah vektor-vektor tak-nol di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V. Dari teorema 8.2.1 diketahui bahwa <u, v>2  ||u||2 ||v||2 Jika dibagi dengan ||u||2 ||v||2 , didapat atau ekivalen dengan Jadi dan 0    

  7. Contoh 8.1 Cosinus dua sudut diantara dua vektor Misal R4 memiliki hasilkali dalm Euclidean. Tentukan cosinus sudut  diantara vektor-vektor u = (4, 3, 1, –2) dan v = (–2, 1, 2, 3) Penyelesian

  8. 8.2.3 Ortogonalitas Permasalahan penting di dalam semua ruang hasilkali dalam adalah menentukan apakah dua buah vektor saling ortogonal, yaitu apakah sudut yang diapit kedua vektor tersebut adalah  = /2 Definisi Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang hasilkali dalam dikatakan ortogonal jika 〈u, v〉 = 0.

  9. Contoh 8.2 Vektor-vektor Ortogonal pada M22 Jika M22 memiliki hasilkali dalam, tentukan apakah matriks-matriks u dan v berikut ortogonal atau tidak ortogonal. Penyelesaian 〈U, V〉 = 0 + 0 = 0 Karena tr(UTV) = 0, maka matriks U dan V ortogonal

  10. Contoh 8.3 Vektor-vektor Ortogonal pada P2 Misal P2 memiliki hasilkali dalam dan misalkan p = x dan q = x2. Tentukan apakah vektor-vektor p dan q ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yamg diberikan! Penyelesaian

  11. Karena 〈p, q〉 = 0, maka vektor p = x dan q = x2 adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yang diberikan.

  12. Teorema 8.2.4 Generalisasi Teorema Pythagoras Jika u dan v adlah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasilkali dalam, maka ||u + v|| = ||u||2+||v||2 Contoh 8.4 Teorema Pythagoras pada P2 Dari contoh 8.3 telah diketahui bahwa p = x dan q= x2 adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam Tentukan||p + q||2

  13. Penyelesaian ||p + q||2 = ||p||2+||q||2(Generalisasi Teorema Pythagoras) Dari contoh 8.3 didapat

  14. Latihan Tentukan apakah vektor-vektor berikut ortogonal jika mengacu pada hasilkali dalam Euclidean. a) u = (–1, 3, 2); v = (4, 2, –1) b) u = (–4, 6, –10, 1); v = (2, 1, –2, 9) 2. Jika hasilkali dalam M22 adalah〈A, B〉 = tr(ATB)= tr(BTA)

More Related