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transformada de laplace

ejercicio sobre transformada de laplace

henry186
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transformada de laplace

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  1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

  2. LOGRO DE LA SESIÓN: “Al finalizar la sesión el estudiante podrá encontrar la Transformada de Laplace de una función”

  3. TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición y Propiedades TRANSFORMADA DE LAPLACE

  4. 1Definición Sea ? una función definida para ? > 0. Entonces se dice que la integral ∞ ?−??? ? ?? = ?(?) ? ?(?) = න 0 Es la transformada de Laplace de ?, siempre que la integral sea convergente. Cuando la integral converge, el resultado es una función de ?. TRANSFORMADA DE LAPLACE

  5. ¿Cuál es su utilidad? La transformada de Laplace, sirve para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. ✓ Sistemas mecánicos, circuitos eléctricos. Ecuaciones diferenciales que modelan la evolución de algún situación. ✓ ✓ Procesos de automatización Entre otras. TRANSFORMADA DE LAPLACE

  6. Ejemplo 1. Hallar la transformada de la función ? ? = ?. ∞ ??−???? ? ? ? = ? = න 0 • ? = ? • ?? = ?−???? → ?? = ?? → ∞ ? ??−???? = lim ??−???? ? ? ? = ? = න ?→∞න ? = −?−?? 0 0 ? ? ? ?→∞−??−?? −?−?? ??−???? = lim lim ?→∞න − lim ?→∞න ?? ? ? 0 0 ? ? ?−?? ? ?−??− 1 ? 1 ?න ?−???? = −1 = −1 =1 = 0 − lim ?lim ?→∞ lim ?→∞ ?2 ? ?→∞ 0 0 Siempre que ? > 0. Para el caso cuando ? < 0 no hay convergencia. Por tanto la transformada de Laplace es: 1 ?2,? > 0 ? ? ? = ? = TRANSFORMADA DE LAPLACE

  7. Ejemplo 2. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función. ? ? = ቊ0, ?? ? ∈ (0,2) ?? ? ∈ [2,∞) ?, 2 ∞ ??−???? = ?2?1 + 2? ? ?(?) = න 0?? + න ; s > 0 ?2 0 2 Ejemplo 3. Hallar la transformada de Laplace de la función ? ? = ???(?). ∞ ???(?)?−???? ? = ?−??,?? = −??−??;?? = ??? ? ,? = −cos ? ? ???(?) = න 0 ? ?→∞−cos ? ?−??− lim ∞ ?cos ? ?−???? ? ???(?) = lim ?→∞න 0 ∞ cos ? ?−???? = 1 − ?2න ???(?)?−???? ? ???(?) = 1 − ? lim ?→∞න 0 0 1 ? ? ? = ???(?) = 1 + ?2;s > 0 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

  8. Ejemplo 2. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función. ? ? = ቊ0, ?? ? ∈ (0,2) ?? ? ∈ [2,∞) ?, 2 ∞ ??−???? = ?2?1 + 2? ? ?(?) = න 0?? + න ; s > 0 ?2 0 2 Ejemplo 3. Hallar la transformada de Laplace de la función ? ? = ???(?). ∞ ???(?)?−???? ? = ?−??,?? = −??−??;?? = ??? ? ,? = −cos ? ? ???(?) = න 0 ? ?→∞−cos ? ?−??− lim ∞ ?cos ? ?−???? ? ???(?) = lim ?→∞න 0 ∞ cos ? ?−???? = 1 − ?2න ???(?)?−???? ? ???(?) = 1 − ? lim ?→∞න 0 0 1 ? ? ? = ???(?) = 1 + ?2;s > 0 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

  9. . TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ?(?) ? ? ?(?) = ?(?) ?(?) ? ? ?(?) = ?(?) ? ?2− ?2 ? ?2− ?2 ?! ? − ??+1 2?3 ?2+ ?2 2 ? ? 1 ?2 ?! ? cosh(??) ? ???ℎ(??) ?????(? = 0,1,2,…) ??(? = 1,2,3,…) ??+1 1 ? − ? ? ?2+ ?2 ? ?2+ ?2 ??? ??? ?? − ?? ???(??) cos(??) ???(??) LA TRANFORMADA DE LAPLACE

  10. Propiedades de la Transformada de Laplace Sea ? ? ,?(?) funciones y ?,? números reales. • Linealidad • Contracción. • Traslación en el eje "?" Datos/Observaciones

  11. Propiedades de la Transformada de Laplace Multiplicación por ?. • ¿En todos estos casos, cuál es el dominio de “s”? Integral de la Transformada. • Transformada de un derivada. • Transformada de una integral. • TRANSFORMADA DE LAPLACE

  12. Ejemplo 4. Calcular la transformada de Laplace de las siguiente función. ➢ ? ? = 4?2− 5???(3?) ¿Aquí aplicamos las propiedades de la Transformada de Laplace ? ∞ 4?2− 5???(3?) ?−???? ? ?(?) = න 0 ∞ ∞ ?2?−???? − 5න ???(3?)?−???? ? ?(?) = 4න 0 0 ? ?(?) = 4? ?2− 5? ???(3?) ? ?(?) = (4)2 3 ?3− (5) ?2+ 9 ? ?(?) =8 15 ?3− ?2+ 9 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

  13. Ejemplo 5. Hallar la transformada de Laplace de las siguiente función. ➢ ? ? = ?−????2(?) ? ?(?) = ? ?−?1 − cos(2?) =1 2? ?−?−1 2? ?−?cos(2?) 2 ? ?(?) =1 1 −1 2? cos(2?)?→?+1 ?2+ 2? + 5 − ?2− 2? − 1 (? + 1) ?2+ 2? + 5 ? ?(?) =1 2 ? + 1 2 ? ?(?) =1 1 −1 ? ? ?(?) =1 4 ?2+ 4?→?+1 2 ? + 1 2 ? + 1 ?2+ 2? + 5 2 ? ?(?) =1 1 −1 (? + 1) (? + 1 )2+4 2 2 ? + 1 2 ? ?(?) = ? + 1 ?2+ 2? + 5 ?2+ 2? + 1 ?2+ 2? + 5 ? ?(?) =1 1 ? + 1− 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE

  14. Ejemplo 6. Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función. ➢ f t = t sen(5t) ???? ? ?? ➢ ? ? = ? ׬0 Aplicamos la propiedad de multiplicación por un ?. ? ? ??? ? ?? = −? ? ? න ? න ??? ? ?? ?? 0 0 = −? 1 ?∙ 1 ? ? ???(5?) = −? ?2+ 1 ? ? ?? ?? = −? 1 = −? 5 ?3+ ? ?? ?2+ 25 ?? 3?2+ 1 ?2?2+ 12 5(2?) ?2+ 252 = − − = − − 3?2+ 1 ?2?2+ 12 = 10? = ?2+ 252 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

  15. 3 FINALMENTE PARA TI Gracias por tu participación IMPORTANTE 1. Saber identificar y aplicar las propiedades de la Transformada. 2. Recordar como calcular integrales impropias. 1. Revisa los ejercicios indicados y realiza la Tarea de ésta sesión. 2. Consulta en el FORO tus dudas. Ésta sesión quedará grabada Hemos visto la importancia en la vida cotidiana de las ecuaciones diferenciales. Datos/Observaciones

  16. LISTO PARA MI EJERCICIO RETO

  17. EJERCICIO RETO Hallar la transformada de Laplace de: ? ? ? = ?3?න ? ∙ cos 4? ?? 0 (?−?)?−?? ? RESPUESTA: ? (?−?) ?−??+??

  18. EJERCICIOS ADICIONALES. 5. Hallar la transformada de Laplace de ? ? = ??∙ cos 3? ∙ ???(3?). SOLUCION. ? ?(?) = ? cos 3? ???(3?) 3 ?→?−1 ? ?(?) = ? − 12+ 36 ? cos 3? ???(3?) =1 3 2? ???(6?) =1 2 ?2+ 36 = ?2− 2? + 37 6 3 = ?2+ 36 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

  19. EJERCICIOS ADICIONALES. ?−3 ? ?2−4, hallar ? ?(2?) . SOLUCIÓN. • PROPIEDAD(Cambio de escala). 6. Si ? ?(?) = ? ?(??) =1 ? ? ?? ? ?(?) = ? ? ? ? > 0 ???????? ?? LA TRANFORMADA DE LAPLACE

  20. Datos/Observaciones

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