Geometria Espacial

1. Geometria Espacial Prof. Kairo O Silva

2. Axiomas • Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

3. A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

4. Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

5. Por dois pontos distintos passa uma única reta.

6. Por três pontos não-colineares passa um único plano.

7. Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

8. Posições relativas de duas retas

9. Posições relativas de duas retas

10. Posições relativas de duas retas

11. Temos que considerar dois casos particulares: • retas perpendiculares: • retas ortogonais:

12. Postulado de Euclides ou das retas paralelas    • Dados uma reta  r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:      

13. Determinação de um plano • uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

14. Determinação de um plano • duas retas distintas concorrentes:

15. Determinação de um plano • duas retas paralelas distintas:

16. Posições relativas de reta e plano • reta contida no plano

17. Posições relativas de reta e plano • reta concorrente ou incidente ao plano

18. Posições relativas de reta e plano • reta paralela ao plano

19. Perpendicularismo entre reta e plano

20. Posições relativas de dois planos • planos coincidentes ou iguais

21. Posições relativas de dois planos • planos concorrentes ou secantes

22. Posições relativas de dois planos • planos paralelo

23. Poliedros convexos e côncavos • Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum

24. Poliedros convexos e côncavos • Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: • tetraedro: quatro faces • pentaedro: cinco faces • hexaedro: seis faces • heptaedro: sete faces • octaedro: oito faces • icosaedro: vinte faces

25. Relação de Euler • Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: • V - A + F = 2 V=8   A=12    F=6 8 - 12 + 6 = 2

26. Relação de Euler • V = 12  A = 18   F = 8 • 12 - 18 + 8 = 2

27. Poliedros platônicos • Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: • a) for convexo; • b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; • c) toda face tiver o mesmo número de arestas; • d) for válida a relação de Euler.

28. Poliedros platônicos

29. Poliedros platônicos

30. Prismas

31. Prismas • bases:as regiões poligonais R e S • altura:a distância h entre os planos • arestas das bases:os lados ( dos polígonos) • arestas laterais:os segmentos • faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

32. Prismas • Classificação • reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

33. Prismas • Classificação • oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

34. Prismas • Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

35. Prismas

36. Prismas • volume de um prisma • V = AB.h

37. Paralelepípedo retângulo

38. Diagonais da base e do paralelepípedo

39. Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: • AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc)

40. área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: • AT= 2( ab + ac + bc)

41. volume de um paralelepípedo • volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: • V = abc

42. Cubo

43. Diagonais da base e do cubo

44. Área lateral • AL=4a2

45. Área total AT=6a²

46. Volume • V= a . a . a = a³

47. Cilindro

48. Classificação do Cilindro • circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; • circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases

49. cilindro de revolução • O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução

50. Secção transversal