a + b

B a a +b b a C A b a +b 复习回顾：相反向量向量的减法向量的加法相反向量向量的数乘向量有乘法吗？向量相乘结果还是向量吗？

情景引入 一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） F θ S 那么力F所做的功W为：其中θ是F与S的夹角

平面向量的数量积 高一数学冯永霞

已知两个非零向量和， 叫做与的数量积 a · b不能写成a×b，‘·’不能省. 数量积的定义它们的夹角为 ，我们把数量（或内积），即：特别注意：向量的加法、减法、数乘运算结果仍是向量；向量的数量积是一个数量.

当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； A O B B 当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b. b a O A 已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角。（0°≤θ ≤180°）向量的夹角 B θ A O

已知两个非零向量和， 叫做与的数量积数量积的定义它们的夹角为 ，我们把数量（或内积），思考：两个非零向量的数量积的大小由两个向量的模及它们的夹角的余弦值确定，那数量积的符号由谁确定？何时为正，何时为负，何时为零？

已知两个非零向量和， 叫做与的数量积数量积的定义它们的夹角为 ，我们把数量（或内积），思考：你能根据投影定义分析一下投影和那条线段有关系吗？

A A A a a    O B O B B O B1 B1 a b b b

已知两个非零向量和， 叫做与的数量积 a · b的几何意义：数量积a · b等于b的长度|b|与a在b的方向上投影|a|cos的乘积。数量积的定义它们的夹角为 ，我们把数量（或内积），

练1．已知 =5， =4，与的夹角 ，求；练2．已知 =5， =4， B 练3:如图的菱形ABCD中，角A等于， AB=2,求下列各数量积. A C D

当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； A O B B 当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b. b a O A 已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角。（0°≤θ ≤180°）向量的夹角共起点 B θ A O

思考： 请同学思考实数乘法运算中的运算律对于向量的数量积运算成立吗？在实数中在向量运算中交换律: ab=ba ( ) 结合律： (ab)c=a(bc) ( ) ( ) 分配律： (a+b)c=ab+bc ( ) 消去律: ab=bc(b≠0) ( ) a=c √ × √ √ ×

证明运算律(3) b a 向量a、b、a + b在c上的投影的数量分别是OM、MN、 ON, a+b c N M O 则： (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c .

已知向量a、b、c和实数，则: 数量积的运算律

解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）· （a-kb）=0 即a2-k2b2=0 9-16 =0 所以，k= 例2

a·a=|a|2 （简写 a2 = |a|2） (1) a ·b=b· a a·c＋b·c (3) (a＋b) ·c = 知识回顾: 夹角的范围数量积性质 (交换律) (2) 运算律 (分配律)

巩固练习 2. 若b≠0，a·b＝c·b，则a=c 3. (a·b)c=a(b·c) 4. 对任意向量 a 有判断正误 × 1．若，则中至少有一个为． × × √ ×

巩固练习 2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角形？当a·b＜0时， cos<0，为钝角三角形当a·b=0时，为直角三角形 3. 在△ABC中a=5,b=8,C=60o, 求