Факультативное занятие по теме «Решение задач типа С2» из сборника «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013» под редакцией Ф. Ф. Лысенко
Улыбнись!
Однажды Египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика Евклида, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом тринадцатитомном труде. Учёный гордо ответил: «В геометрии нет царской дороги!» ПтолемейI Евклид
Цели занятия: отработать навыки решения задач С2 двумя способами, углубить, закрепить полученные знания; выбрать наиболее приемлемый для ЕГЭ способ решения задач С2.
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1. AA1 = 5, это – 5 частей, тогда АЕ = 5:5*3 = 3 ЕА1= 5:5*2 = 2 FPBO, 2 2части F 3 O 3части FPC – линейный угол двугранного угла FBOC a Т Т П P FP BO н-я CPBO п-я Решение. Построим ребро двугранного угла. Для этого придется «выйти» за пределы призмы… Точки Ви О лежат в одной плоскости АВС, значит, можно их соединить отрезком. ВО – след секущей плоскости на плоскости грани АВСD. D1 C1 FP является наклонной к плоскости ABC. A1 3 B1 FC –перпендикуляр к плоскости ABC CP –проекция отрезка FP на плоскость ABC. Применим теорему о трех перпендикулярах. E 5 2 C D 2 А 2 В
3 2 FС1 D1С1 = FС OС 2 3 2 = OС 2 2 4 OС = 3 F 4 3 O 3 a P 2 13 3 4*13 В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1. Треугольники FD1C1и FOC подобны по двум углам. Составим пропорцию сходственных сторон. D1 C1 A1 3 B1 E 5 2 C D 2 А 2 2 В
F 2 2 C O F 2 a С P 4 4 P 3 O 3 3 B a 4 4 P 2 2 13 13 13 13 3 3 Мы уже решали задачу о нахождении высоты треугольника через площадь. Но можно применить и подобие треугольников ВОС и РОС (по двум углам: угол О – общий, углы ОСВ и ОРС – прямые). Составим пропорцию сходственных сторон. D1 2 C1 A1 3 B1 E 5 2 C D 2 А 2 В
Алгоритм нахождения угла между плоскостями (геометрический метод) Построить сечения многогранника данными плоскостями. Определить искомый угол между плоскостями, используя ТТП или другие свойства геометрических фигур. Применить знания теорем и аксиом стереометрии и планиметрии. Найти острый угол прямоугольного треугольника.
Дана правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а боковые ребра равны10. На ребре АА1 отмечена точка N так, что AN:NA1=4:1. Найдите координаты точек, изображенных на рисунке.
Алгоритмсоставления уравнения плоскости 1.Записать уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0. 2.Найти координаты трех точек плоскости. 3. Подставить найденные координаты в уравнение плоскости. 4.Решить систему трех линейных уравнений, найти A,B,C. 5.Подставить A,B,C в уравнение плоскости.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки с заданными координатами: А(0;0;0) , В(0;1;1) , С(1;1;0)
Запишите формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями.
Вектор нормали к плоскости-это вектор, перпендикулярный данной плоскости (нормальный вектор). n (A;B;C) n (i;j;k)
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
Геометрический метод. Этапы решения: Метод координат. Этапы решения: 1.Построили сечение, используя метод «следов». 1.Ввели систему координат.. 2.Определили координаты точек плоскости, определили вектор нормали к плоскости. 2.Определили искомый угол, используя ТТП. 3.Составили уравнение плоскости. 3. Применили признак подобия треугольников. 4.Подставили полученные коэффициенты из уравнения плоскости в формулу косинуса угла: 4.Применили теорему Пифагора. 5.Нашли тангенс угла прямоугольного треугольника.
Алгоритмрешения задач координатно - векторным методом 1.Ввести систему координат. 2.Определить координаты точек плоскости, определить вектор нормали к плоскости (если необходимо). 3.Составить уравнение плоскости. 4.Подставить полученные коэффициенты из уравнения плоскости в формулу косинуса угла:
Обучающая самостоятельная работа (вариант №21, С2) В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C и CB1D1.
Домашнее задание(вариант №3 С2) В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 5. На ребре DD1 отмечена точка F так, что DF:FD1=2:3. Найдите угол между плоскостями ABC и AFC1.
Улыбнись!
