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Statistik: 8.3.04

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Statistik: 8.3.04

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  1. Statistik: 8.3.04 Relationen zwischen metrischen Merkmalen

  2. Beispiel: Wohnungsmarkt Für 16 Angebote von Eigentumswohnungen wurden registriert: • Fläche der Wohnung (m2) • Angebotspreis (1000 EUR) PI Statistik, SS 2004 (5)

  3. Wohnungsmarkt Punkte- oder Streudiagramm (scatterplot) PI Statistik, SS 2004 (5)

  4. Randverteilungen Fläche der Wohnung (m2) Preis (1000 EUR) PI Statistik, SS 2004 (5)

  5. Randverteilungen Kenngrößen PI Statistik, SS 2004 (5)

  6. Standardisieren Merkmal X : x1, …, xn Stichprobenkennzahlen: Standardisieren: Standardisierte Daten: z1, …, zn Stichprobenkennzahlen: PI Statistik, SS 2004 (5)

  7. Beispiel: Wohnungsmarkt Standardisierte Daten: PI Statistik, SS 2004 (5)

  8. Korrelationskoeffizient Produkt-Moment Korrelationskoeffizient: oder mit der Kovarianz Beispiel: Fläche (X) und Preis (Y) von angebotenen Wohnungen: sxy = 7342.34, sx= 43.3, sy= 219.3 r = 0.826 PI Statistik, SS 2004 (5)

  9. Korrelationskoeffizient Korrelationskoeffizient ist ein (durch das Standardisieren) normiertes Maß für den linearen Zusammenhang Eigenschaften: • -1 ≤ r ≤ 1 • |r| ist Maß für die Stärke des linearen Zusammenhanges • |r|=1: perfekte lineare Abhängigkeit • |r|<1: Punkte streuen stark (|r|~0) oder schwach (|r|~1) um Gerade • Sign(r) ist Maß für Richtung des linearen Zusammenhanges • Sign(r)=1: steigende Gerade • Sign(r)=-1: fallende Gerade PI Statistik, SS 2004 (5)

  10. Beziehungen: Beispiele 0.997 -0.977 -0.289 -0.067 PI Statistik, SS 2004 (5)

  11. Rang Korrelationskoeffizient nach Spearman • Korrelationsmaß für ordinale Merkmale • Auch anwendbar auf Rangzahlen für metrische Merkmale • Definition wie Produkt-Moment Korrelationskoeffizient rxy, angewendet auf die Ränge der Beobachtungen PI Statistik, SS 2004 (5)

  12. Berechnung von r sp • Sortieren der Stichprobenpaare (xi, yi) nach steigenden Werten von X • Ersetzen der Beobachtungen (xi, yi) durch die Rangzahlen (i, Ri) • Einsetzen in Formel für Produkt-Moment Korrelationskoeffizient r : • Alternative Schreibweise: PI Statistik, SS 2004 (5)

  13. Beispiel: Schulnoten r sp = 0.430 PI Statistik, SS 2004 (5)

  14. Typen von Beziehungen zwischen Merkmalen • Kausaler Zusammenhang • Wenn es kalt ist, steigen die Heizkosten • Rauchen macht Lungenkrebs • Gemeinsame Response • Die fleißige Studentin bekommt viele gute Noten • Zahl der Babys und der Störche wird weniger • Vermengung (confounding) • Sloppy lifestyle Hypothese und Lungenkrebs PI Statistik, SS 2004 (5)

  15. Typen von Beziehungen zwischen zwei Merkmalen x und y x y x y x y x ist kausal für y z z x, y sind gemeinsame Response auf z y: Effekte von x und z sind vermengt PI Statistik, SS 2004 (5)

  16. Vorsicht! • Die Interpretation von Korrelation als kausale Beziehung ist oft eine Fehlinterpretation! • Zahl der Babys und der Störche sind hoch positiv korreliert!? • Einkommen und Konsum sind hoch positiv korreliert • Ausreißer haben großen Effekt auf den Wert des Korrelationskoeffizienten • Nicht-lineare Beziehungen! PI Statistik, SS 2004 (5)

  17. Lineare Regression Gerade, die die Datenwolke im Streudiagramm bzw. die Beziehung zwischen den dargestellten Merkmalen möglichst gut repräsentiert Wohnungsmarkt: Daten und Regressionsgerade PI Statistik, SS 2004 (5)

  18. Lineare Regression, Forts. Abhängiges Merkmal: Y Unabhängiges Merkmal: X Regressionsgerade: Y = a + b X a, b: Regressionskoeffizienten (b: Anstieg, a: Interzept) Methode der kleinsten Quadrate: Wähle die Koeffizienten so, dass die Summe der quadrierten Abstände zwischen Beobachtungen und der Geraden minimiert werden Schätzer: PI Statistik, SS 2004 (5)

  19. Wohnungsmarkt, Forts. Geschätzte Regressionsgerade PI Statistik, SS 2004 (5)

  20. Wohnungsmarkt Geschätzte Regressionsgerade • Je m2 muss man im Durchschnitt mit Kosten von 4.190 Euro rechnen; • dazu kommt ein fixer Betrag von im Durchschnitt 97.590 Euro • Residuen: • zur Beurteilung der Qualität der Erklärung der Daten durch die Regressionsgerade, insb. des Effekts von einzelnen Beobachtungen PI Statistik, SS 2004 (5)

  21. Regression in EXCEL • Analysefunktion „Regression“ • Statistische Funktionen • RGP: liefert die Koeffizienten der linearen Regression • SCHÄTZER: Liefert einen Y-Wert zu einem X-Wert nach Anpassen der linearen Regression • Und andere PI Statistik, SS 2004 (5)

  22. Regression in EXCEL: Ausgabe: Zusammenfassung PI Statistik, SS 2004 (5)