FINANCE 2 MODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET EVRY - DESS Ing nierie Math matique

1. FINANCE 2 MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET EVRY - DESS Ingénierie Mathématique/Gestion des Risques 24 janvier 2003 Philippe PRIAULET

3. Cette séance a pour but la reconstitution de la courbe des taux zéro-coupon au comptant («spot»). Connaître la courbe des taux zéro-coupon au comptant est très important en pratique car cela permet aux acteurs du marché: - d’évaluer et de couvrir à la date de reconstitution les produits de taux délivrant des flux futurs connus (obligation à taux fixe, par exemple) => certaines applications comme l’analyse «rich and cheap» (bond picking) qui consiste à détecter les produits sur-et sous-évalués par le marché pour tenter d’en tirer profit.

4. - de dériver les autres courbes implicites: la courbe des taux forward, la courbe des taux de rendement au pair et la courbe des taux de rendement instantanés. - enfin, la courbe spot est le point de de départ pour la mise en place de modèles stochastiques de déformation de cette courbe dans le temps.

5. La reconstitution de cette courbe est rendue nécessaire par le fait qu’il n’existe pas suffisamment d’obligation zéro-coupon («strips») cotées sur le marché. Par conséquent, il n’est pas possible d’obtenir les taux zéro-coupon pour un continuum de maturité. En outre, les obligations zéro-coupon ont souvent une moindre liquidité que les obligations à coupons. :

6. Nous allons distinguer trois grands types de courbe de taux zéro-coupon: - la courbe Trésor (ou courbe d’Etat). - la courbe interbancaire - et les courbes «corporate» La courbe Trésor est construite à partir des obligations émises par l’Etat (OAT, BTAN et BTF en France). Il s’agit de la courbe dite sans risque dans les pays du G7 dans la mesure où les Etats de ces pays sont censés ne jamais faire défaut. Les Etats de ces pays sont notés AAA par les agences de rating, i.e. disposent de la meilleure notation possible. :

7. La courbe interbancaire comme son nom l’indique résulte d’opérations financières entre banques. Elle est construite à partir des taux de dépôt, des futures et des swaps. Il ne s’agit pas d’une courbe sans risque puisque les banques ne jouissent pas du meilleur rating des agences de notations. Leur rating moyen se situe entre A et AA pour S&P et A1 et Aa1 pour Moody’s. Les courbes «corporate» sont les courbes qui caractérisent les entreprises du secteur privé. Il y en a de multiples qui dépendent du rating des entreprises et de leur secteur économique. On peut par exemple tracer: - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises disposant du rating A :

8. - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises du secteur Télécom disposant du rating BB - la courbe des taux zéro-coupon de France Telecom Chacune de ces courbes est construite en utilisant les obligations des entreprises concernées. On verra qu ’il est courant de construire la courbe des spreads «corporate». Elle est obtenue en soustrayant la courbe Trésor ou interbancaire à la courbe «corporate». :

9. :

10. Définition du taux zéro-coupon Il est implicitement défini dans la relation suivante: où: - B(0,t): prix de marché à la date 0 d’une obligation zéro-coupon délivrant 1 euro à la date t. On appelle aussi B(0,t), le facteur d’actualisation en 0 pour la maturité t. - R(0,t): taux de rendement en 0 de l’obligation zéro-coupon délivrant 1 euro en t. R(0,t) est aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t. :

11. Evaluation d’obligations à flux connus Le prix V de l’obligation à la date t s’écrit donc plus justement Exemple 1: Soit l’obligation de montant nominal 100$, de maturité 3 ans et de taux de coupon 10%. Les taux zéro-coupon à 1 an, 2 ans et 3 ans sont de 7%, 9% et 10%. Le prix P de l’obligation est égal à

12. Elle est construite à partir d’obligations d’Etat. Il est important de faire une sélection rigoureuse des titres qui servent à la reconstitution. Il faut éliminer: - les titres qui présentent des clauses optionnelles car la présence d’options rend le prix de ces titres non homogènes avec ceux qui n’en contiennent pas. - les titres qui présentent des erreurs de prix, typiquement dues à des erreurs de saisie. - les titres qui sont soit illiquides, soit surliquides, et présentent donc des prix qui ne sont pas dans le marché. Il ne faut pas tracer la courbe des taux sur des segments de maturité où l’on ne dispose pas de titres. Par exemple, ne pas tracer la courbe sur le segment [20-30 ans] si l’on ne dispose pas de titres de maturités supérieures à 20 ans dans le panier.

13. Elles permettent de déduire directement les taux zéro-coupon des obligations à coupons. Elles requièrent les deux conditions suivantes: - elles ont les mêmes dates de tombée de coupon - elles ont des maturités multiples de la fréquence de tombée des coupons. Cette méthode n’est que théorique car dans la pratique il est très rare de pouvoir trouver un échantillon d’obligations ayant ces deux caractéristiques.

14. Notations et résolution Pt =(Pt1, Pt2,....., Ptn)T le vecteur des prix à l’instant t des n obligations à coupons du panier F = (Fti(j))i=1,...,n, j=1,...,n la matrice n x n correspondant aux flux des n titres. Les dates de tombées des flux sont identiques pour tous les titres. Bt =(B(t,t1), B(t,t2), ,....., B(t,tn))T le vecteur des facteurs d’actualisation Par AOA, on obtient le vecteur des facteurs d’actualisation Pt = F . Bt soit Bt = F-1 . Pt car F est inversible

15. On extrait le vecteur des taux zéro-coupon à l’aide de la relation Si l’on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors

16. Exemple On obtient le système d’équation suivant: 101 = 105 B(0,1) 101.5 = 5.5 B(0,1) + 105.5 B(0,2) 99 = 5 B(0,1) + 5 B(0,2) + 105 B(0,3) 100 = 6 B(0,1) + 6 B(0,2) + 6 B(0,3) + 106 B(0,4) soit B(0,1)=0.9619, B(0,2)=0.9119, B(0,3)=0.8536, B(0,4)= 0.7890 et R(0,1)=3.96%, R(0,2)=4.717%, R(0,3)=5,417%, R(0,4)=6,103%

17. Il s’agit d’une procédure en plusieurs étapes qui permet de reconstituer une courbe zéro-coupon au comptant «pas à pas» i.e. segment par segment de maturité. 1- Pour le segment de la courbe inférieur à 1 an: Extraction des taux zéro-coupon grâce aux prix des titres zéro-coupon cotés sur le marché puis obtention d’une courbe continue par interpolation linéaire ou cubique (voir plus loin).

18. 2- Pour le segment de la courbe allant de 1 an à 2 ans: Parmi les obligations de maturité comprise entre 1 an et 2 ans, on choisit l’obligation à l’échéance la plus rapprochée. Ce titre verse deux flux. Le facteur d’actualisation du premier flux est connu grâce à l ’étape 1. Le facteur d’actualisation du second flux est solution de l’équation non linéaire P = C B(0, t1) + (100 + C) B(0, t2) avec t1 <= 1 et 1< t2 <= 2 On obtient alors un premier point de courbe sur ce segment. On réitère alors le même procédé avec l’obligation de maturité immédiatement supérieure mais toujours inférieure à 2 ans.

19. 3- Pour le segment de la courbe allant de 2 ans à 3 ans: On réitère l’opération précédente à partir des titres ayant une maturité comprise entre 2 ans et 3 ans. ...etc...

20. Exemple de Bootstrap Taux à 1 an et 2 mois soit 5.41% Taux à 1 an et 9 mois soit 5.69%

21. Exemple de Bootstrap (2) Taux à 2 ans soit 5.79% Taux à 3 ans soit 5.91% On obtient le tracé de courbe suivant pour les maturités comprises entre 1 jour et 3 ans, en supposant que l’on raccorde linéairement l’ensemble des points.

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23. Quand on utilise la méthode théorique directe ou le bootstrap, il est nécessaire de choisir une méthode d’interpolation entre deux points. Deux sont particulièrement utilisées: les interpolations linéaire et cubique. Interpolation linéaire: On connaît les taux zero-coupon de maturités t1 et t2. On souhaite interpoler le taux de maturité t avec t1< t <t2 Exemple: R(0,3) =5.5% et R(0,4)=6%

24. Interpolation cubique: On procède à une interpolation cubique par segment de courbes. On définit un premier segment entre t1 et t4 où l’on dispose de 4 taux R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). Le taux R(0, t) de maturité t est défini par sous la contrainte que la courbe passe par les quatre points de marché R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). D’où le système à résoudre:

25. Exemple On se donne les taux suivants : R(0, t1) = 4%, R(0, t2) =5%, R(0, t3) = 5.5% et R(0, t4) = 6% Calculer le taux de maturité 2.5 ans ? R(0, 2.5) = a x 2.53 + b x 2.52 + c x 2.51 + d = 5.34375% avec

26. Comparaison des deux interpolations

27. Ce sont les méthodes les plus utilisées en pratique Principe: Pour un panier d’obligations à coupons, il s’agit de la minimisation de l’écart au carré entre les prix de marché et les prix reconstitués à l ’aide d’une forme a priori spécifiée des taux zéro-coupon ou de la fonction d’actualisation. Soit un panier constitué de n titres. On note à la date t: : prix de marché du j-ème titre. : prix théorique du j-ème titre : flux futur du j-ème titre tombant à la date s (s > t)

28. L’idée consiste à trouver le vecteur des paramètres tel que On distingue deux grandes classes de modèles: - les modèles type Nelson et Siegel fondés sur une modélisation des taux zéro-coupon (cf MP 28 à 34). Le prix théorique s’écrit: g est la fonctionnelle des taux zéro-coupon. Le prix de l’obligation est une fonction non linéaire des paramètres d’estimation. La résolution d’un tel problème s’effectue à l’aide d’un algorithme de Newton modifié (cf MP p. 172 à 175).

29. - les modèles à splines fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation. f est une fonction linéaire des paramètres d’estimation. Par conséquent, le prix de l’obligation est également une fonction linéaire des paramètres d’estimation La résolution d’un tel problème est donc matricielle. Cf MP p. 19 à 28 et p. 167 à 172

30. Le modèle de Nelson et Siegel (1987) La fonctionnelle imaginée par Nelson et Siegel s’écrit : : taux zéro-coupon de maturité ? ?0: facteur de niveau; il s ’agit du taux long. ?1: facteur de rotation; il s’agit de l’écart entre le taux court et le taux long ?2: facteur de courbure ?: paramètre d’échelle destiné à rester fixe au cours du temps

31. Le modèle de Nelson et Siegel (2) Il est aisé d’exprimer les dérivées partielles de par rapport à chacun des paramètres béta, ce que l’on appelle les sensibilités des taux zéro-coupon aux paramètres béta (cf graphique suivant). Ces sensibilités sont très proches de celles que l’on obtient historiquement en appliquant la méthode de l’ACP aux taux zéro-coupon. On retrouve bien les facteurs de niveau, pente et courbure.

33. Effets de pente et courbure dans le modèle de Nelson et Siegel Pour illustrer les effets de pente et courbure, nous allons d’abord tracer une courbe croissante classique en retenant le choix de paramètres suivant: ?0 = 7% ?1 = -2% ?2 = 1% ? = 3.33 Puis nous allons faire varier isolément chacun des paramètres ?1 et ?2 entre -6% et 6%.

34. La courbe de départ

35. Effet de pente dans le modèle de Nelson et Siegel

36. Effet de courbure dans le modèle de Nelson et Siegel

37. Les formes de courbe possibles dans le modèle de Nelson et Siegel

38. Exemple d’évolution des paramètres dans le modèle de Nelson et Siegel (France - 1999 et 2000)

39. Inconvénients du modèle de Nelson et Siegel Le modèle de Nelson et Siegel ne permet pas de reconstituer toutes les formes de courbes de taux que l’on peut rencontrer sur le marché, en particulier les formes à une bosse et un creux (voir slide suivante). En outre, il manque de souplesse d’ajustement pour les maturités supérieures à 7 ans si bien que les obligations de telles maturités sont parfois mal évaluées par le modèle. Le premier inconvénient peut être levé en utilisant le modèle de Svensson ou modèle de Nelson-Siegel augmenté.

40. Forme de courbe à une bosse et un creux

41. Le modèle de Nelson et Siegel augmenté La fonctionnelle s’écrit maintenant : ?3 : paramètre de courbure supplémentaire qui a surtout une influence sur la partie courte de la courbe ?2 : paramètre d’échelle Cette extension donne plus de flexibilité à la courbe sur le secteur court terme.

42. Effet de courbure donné par ?3

43. Les autres modèles 1- La fonctionnelle des taux zéro-coupon dans le modèle stochastique de Vasicek (1977): Elle est obtenue en modélisant le taux court sous la forme (voir séances suivantes pour une description complète du modèle) 2- Vasicek augmenté 1 (très proche de Nelson et Siegel)

44. Les autres modèles (2) 3- Vasicek augmenté 2 (très proche de Nelson-Siegel augmenté) 4- Fonctionnelle CIR et bien d’autres encore

45. Exemples de reconstitution Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations» pages 6 à 12

46. Conclusion sur les modèles de type Nelson et Siegel Le reproche souvent formulé à l’encontre de cette classe de modèles est leur insuffisante flexibilité. En revanche les variables de ces modèles sont interprétables financièrement. Cette classe de modèles est en pratique le plus souvent utilisée pour l’analyse et la couverture du risque de taux de portefeuilles à flux connus (cf séance 2). Nous allons à présent aborder les modèles à splines qui sont beaucoup plus flexibles mais présentent au contraire des paramètres qui ne sont pas interprétables d’un point de vue financier.

47. Les modèles à splines Ils sont fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation. Les plus célèbres sont les splines polynomiaux (cf Mc Culloch (1971,1975)) et les splines exponentielles (cf Vasicek et Fong (1982)). Leur avantage tient à leur grande flexibilité qui leur permet de reconstruire toutes les formes de courbe rencontrées sur le marché. Ils sont utilisés pour l’analyse «rich and cheap».

48. Principe des modèles à splines Il faut d ’abord faire le choix d’une forme spécifique pour la fonction d’actualisation f(s-t;ß). La méthode consiste à estimer les paramètres en minimisant l’écart au carré entre prix de marché et prix reconstitués. Rappelons que le prix théorique de la j-ème obligation s’écrit: où B(t,t) = 1 constitue la contrainte de la minimisation A une date t, on écrit: où est la partie résiduelle non expliquée par le modèle.

49. Principe des modèles à splines (2) Les résidus vérifient les conditions suivantes: - en moyenne, ils sont nuls: - ils sont non corrélés entre eux: - il y a deux hypothèses possibles pour la variance * soit on la suppose constante auquel cas les résidus sont homoscédastiques * soit elle varie pour chaque titre auquel cas les résidus sont hétéroscédastiques

50. Principe des modèles à splines (3) Quand on fait la première hypothèse, on constate que la partie courte de la courbe est mal estimée. Dans ce cas, le vecteur des paramètres est obtenu par la méthode des MCO sous contrainte. L’idée est donc de retenir la deuxième hypothèse en donnant plus de poids dans la minimisation aux obligations de maturité courte. Une façon de procéder est de choisir un poids égal à la duration de l’obligation:

51. Principe des modèles à splines (4) Ce choix revient à résoudre le problème suivant: Dans ce cas, le vecteur des paramètres est obtenu par la méthode des MCG sous contrainte ou MCO pondérés sous contrainte. Ce choix est rationnel: il revient à dire que plus une obligation a une maturité longue, plus difficile est son prix à estimer.

52. Les splines polynomiaux 1- Modélisation standard Il est commun de considérer l’écriture standard comme dans l’exemple qui suit: La fonction d’actualisation compte ici 12 paramètres. On rajoute des contraintes de régularité sur cette fonction qui garantissent la continuité, la continuité de la dérivée première et de la dérivée seconde de cette fonction aux points de raccord 5 et 10.

53. Les splines polynomiaux (2) Pour i =0, 1 et 2: Et la contrainte qui porte sur le facteur d’actualisation: En utilisant l’ensemble de ces 7 contraintes, le nombre de paramètres à estimer tombe à 5:

54. Les splines polynomiaux (3) Le système précédent peut être écrit sous la forme suivante: où est la fonction dite bornée de puissance. Il y a une autre écriture de cette équation dans la base des B-splines. Cette écriture est devenu extrêmement classique.

55. Les splines polynomiaux (4) 2- Expression dans la base des B-splines Les B-splines sont des fonctions linéaires de fonctions bornées de puissance. On écrit alors: où les coefficients lambda sont définis comme suit: et

56. Les splines exponentielles Les splines exponentielles ont été introduites par Vasicek et Fong (1982): En utilisant les mêmes contraintes de régularité, on ramène le problème à 7 paramètres à estimer sous la contrainte lié au facteur d’actualisation (cf MP p 167-168). Le paramètre alpha est un paramètre d’ajustement supplémentaire qui rend le problème non linéaire. L’idée consiste à résoudre le problème comme s’il était fixé, puis à chercher sa valeur optimale.

57. Le choix du nombre de splines Le nombre de splines influe sur la qualité des résidus et le lissage de la courbe. Plus il y a de splines et meilleurs sont les résidus. La courbe devient toutefois moins lisse, et peut passer par des points aberrants. Moins il y a de splines et plus on lisse la courbe. Mais les écarts de prix peuvent devenir importants ce qui laisse à penser que la courbe est mal rendue. Pour choisir au mieux ce nombre de splines, on peut utiliser la règle suivante.

58. Le choix du nombre de splines (2) On constitue deux paniers. Le premier panier dit de minimisation contient les titres qui ont permis d’obtenir les paramètres d’estimation. Le deuxième panier dit de vérification contient des titres qui n’ont servi lors de la minimisation. Dans la mesure du possible, il faut que ces deux paniers soient homogènes, i.e contiennent à peu près le même nombre de titres, et les mêmes types de maturité (court, moyen et long). Pour chacun de ces deux paniers, l’idée consiste à calculer l’écart de prix moyen:

59. Le choix du nombre de splines (3) Ces deux écarts sont notés et . La règle est la suivante: 1- On calcule ces deux écarts et on s’assure qu’ils sont inférieurs à la moyenne des fourchettes «bid-ask» (environ 10 centimes de prix). S’ils ne le sont pas, on augmente le nombre de splines jusqu’à temps qu’ils le deviennent. 2- On calcule la différence entre ces deux écarts: * si elle est faible, le nombre de splines est bien spécifié. * si elle est forte, le nombre de splines est probablement trop élevé. Il faut donc en retirer jusqu’à temps que cette différence devienne faible.

60. La localisation des points de raccord La règle la plus logique consiste à localiser ces points de telle façon que chaque spline contienne à peu près le même nombre de titres. Par exemple, sur le marché français, on définit 5 splines: [0-1 an] : super court (BTF ou Monétaire + BTAN) [1-3 ans] : court terme (BTAN) [3-7 ans] : moyen terme (BTAN + OAT) [7-10 ans] : long terme (OAT) [10-30 ans] : très long terme (OAT)

61. Exemples de reconstitution Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations» pages 1 à 5 et 13-14

62. La courbe interbancaire comme son nom l’indique résulte d’opérations financières entre banques. Elle est construite à partir des taux de dépôt, des futures et des swaps. Il ne s’agit pas d’une courbe sans risque puisque les banques ne jouissent pas du meilleur rating des agences de notations. Leur rating moyen se situe entre A et AA pour S&P et A1 et Aa1 pour Moody’s. Les courbes «corporate» sont les courbes qui caractérisent les entreprises du secteur privé. Il y en a de multiples qui dépendent du rating des entreprises et de leur secteur économique. On peut par exemple tracer: - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises disposant du rating A :

63. - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises du secteur Télécom disposant du rating BB - la courbe des taux zéro-coupon de France Telecom Chacune de ces courbes est construite en utilisant les obligations des entreprises concernées. On verra qu’il est courant de construire la courbe des spreads «corporate». Elle est obtenue en soustrayant la courbe Trésor ou interbancaire à la courbe «corporate». :

64. Définition du taux zéro-coupon Il est implicitement défini dans la relation suivante: où: - B(0,t): prix de marché à la date 0 d’une obligation zéro-coupon délivrant 1 euro à la date t. On appelle aussi B(0,t), le facteur d’actualisation en 0 pour la maturité t. - R(0,t): taux de rendement en 0 de l’obligation zéro-coupon délivrant 1 euro en t. R(0,t) est aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t. :

65. Le taux de swap Rappel: Un swap standard (ou plain vanilla) est caractérisé par: - l’échange d’une patte (ou jambe) fixe dont les paiements dépendent d’un taux fixe pour une patte variable dont les paiements dépendent d’un taux variable. - un montant principal constant tout au long de la vie du swap. - enfin, la maturité du taux variable est identique à la durée entre deux paiements de la patte variable. :

66. Le taux de swap La valeur d’un swap standard de montant nominal N est égale à celle: - d’une obligation à taux fixe de maturité identique à celle du swap, de même montant nominal que le swap et délivrant des coupons selon la même fréquence que sur la patte fixe du swap (la fréquence est annuelle en zone Euro); - moins le montant nominal du swap. A une date t donnée, le taux fixe (le taux de coupon de l’obligation) est déterminé de telle façon que la valeur du swap soit égale à 0. Ce taux fixe est appelé taux de swap. C’est ainsi que sont cotés les swaps (cf exemple suivant). :

67. Exemple de cotation de swaps Euribor 3 mois :

68. Elle est construite à partir d’un panier d’instruments comprenant: - les taux du marché monétaire, typiquement les taux Euribor en zone Euro. Ils sont généralement utilisés pour les maturités allant de 1 jour à 6 mois. Ce sont des taux linéaires exprimés en base Exact/360. - les contrats futures sur taux d’intérêt, typiquement les futures sur Euribor 3 mois en zone Euro. Ils servent pour reconstituer la courbe des taux sur le segment allant de 6 mois à 2 ou 3 ans. - les swaps standards typiquement les swaps standards Euribor 3 mois ou 6 mois en zone Euro. Ils servent à reconstituer la courbe pour les maturités supérieures à 2 ou 3 ans. Il est nécessaire dans un premier temps de déduire les taux zéro-coupon des prix de ces instruments (cf exemple suivant).

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80. Nous nous intéressons au cas d’une courbe «corporate» qui correspond à un rating particulier ou à un rating et un secteur économique particulier. Il est fréquent de tracer la structure par terme des spreads zéro-coupon. Cette courbe fournit l’écart en termes de taux zéro-coupon entre la courbe «corporate» et la courbe de référence qui peut être soit la courbe d’Etat, soit la courbe interbancaire. Il existe deux façons de procéder pour obtenir la courbe des spreads zéro-coupon: - la méthode disjointe qui consiste à estimer séparément la courbe «corporate» et la courbe de référence, puis à en faire la différence pour obtenir la courbe des spreads. - la méthode jointe qui consiste à générer la courbe de référence et la courbe des spreads à partir d’une procédure en une étape.

81. Pour mettre en place cette méthode, il suffit de constituer: - la courbe de référence (Etat ou interbancaire); - et la courbe «corporate» désirée en utilisant un panier d’obligations appartenant au secteur économique et au rating auquel on s’intéresse. Les méthodes utilisées pour tracer la courbe «corporate» sont identiques à celles que l’on utilise pour tracer la courbe d’Etat.

82. On suppose que l’on souhaite générer en une seule étape la courbe de référence (Etat ou interbancaire) et les courbes de spreads pour n classes de risque différentes. On définit à la date t de reconstitution: : nombre d’obligations de la i-ème classe de risque. : prix de marché du j-ème titre de la i-ème classe de risque : prix théorique du j-ème titre de la i-ème classe de risque : flux futur tombant à la date s (s > t) pour le j-ème titre de la i-ème classe

83. Soient: : prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la i-ème classe de risque. : prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la classe de référence (Etat ou interbancaire). Il y a deux façons de décomposer le facteur d’actualisation: - de façon additive: où - de façon multiplicative: où

84. Le premier cas est particulièrement avantageux car on écrit les fonctions d’actualisation sous forme de fonctions linéaires des paramètres à estimer. Le deuxième cas est beaucoup plus intuitif dans la mesure où il se simplifie en: si bien que le taux zéro-coupon risqué apparaît comme la somme du taux zéro-coupon de référence (Etat ou interbancaire) et d’un spread. L’idée consiste alors à écrire les fonctions d’actualisation sous forme de fonctions splines, et à minimiser la somme des écarts au carré entre les prix de marché et les prix théoriques des obligations.

85. On obtient ainsi en une seule procédure l’ensemble des paramètres pour les différentes fonctions d’actualisation, et par conséquent la courbe de référence et les i courbes de spread. L’exemple ci-dessous reprend les méthodes disjointe et jointe. Nous considérons une seule classe risquée, en l’occurrence une sélection de banques de la zone Euro de rating A. La courbe de référence est la courbe interbancaire (de meilleur rating moyen que la classe risquée). La fonction d’actualisation est décomposée sous forme additive. Les 2 fonctions d’actualisation sont modélisées sous forme de B-splines cubiques. Nous retenons les splines [0,1], [1,5] et [5,10] pour la fonction d’actualisation correspondant à la courbe interbancaire, et les splines [0,3] et [3,10] pour la fonction d’actualisation de la classe risquée.