Wielocelowe problemy decyzyjne I

1. Wielocelowe problemy decyzyjne I

2. Problemy podejmowania decyzji wielokryterialnych mogą być ogólnie zakwalifikowane do dwóch kategorii:  problemy decyzji wieloatrybutowych (Multiple Attribute Decision Problem - MADP)  problemy decyzji wielocelowych (Multiple Objective Decision Problem - MODP)

3. Problemy decyzji wieloatrybutowych Cechą wyróżniającą problemy decyzji wieloatrybutowych MADP jest to, że istnieje ograniczona (i przeliczalnie mała) liczba ustalonych wcześniej opcji decyzyjnych. Każda opcja posiada określony, związany z nią, poziom osiągnięcia uznanych za istotne przez decydenta atrybutów/cech (które niekoniecznie muszą być kwantyfikowalne) i na których podstawie podejmowana jest decyzja

4. Problemy decyzji wielocelowych W przypadku problemów decyzji wielocelowych MODP nie określana jest wcześniej liczba opcji z wartościami właściwych dla problemu atrybutów. Zamiast tego problemy te posiadają: (1) zbiór kwantyfikowalnych celów na podstawie których podejmowana jest decyzja o wyborze określonej opcji decyzyjnej; (2) zbiór dobrze określonych ograniczeń na wartości różnorakich czynników kształtujących możliwości wyboru możliwych opcji (zmiennych decyzyjnych)

5. Zadanie, które posłuży do ilustrowania różnych podejść optymalizacji wielocelowej Firma produkuje dwa produkty. Zarząd wyraził życzenie, aby znaleźć program produkcji, który:  maksymalizuje całkowity zysk,  maksymalizuje spodziewaną ,,przechwytywaną” część rynku (udziały na rynku),  spełnia ograniczenia procesu produkcji (tzn. dostępności surowców),  nie doprowadza do nasycenia rynku (tzn. mamy możliwość sprzedania całej wytworzonej produkcji). Ponadto wiadomo:  jedna jednostka produktu 1. zapewnia dochód w wysokości 3 jednostek pieniężnych (jp.), a jedna jednostka produktu 2. - 1 jp.;  oszacowano, że każda sprzedana jednostka produktu 1. powiększy rynek o dwie jednostki udziału na rynku, a jedna jednostka produktu 2. - o 3 jednostki;  wytworzenie jednostki produktu 1. wymaga zużycia 2 jednostek surowca, a jednostki produktu 2. - 1 jednostki; tylko 50 jednostek surowca jest dostępnych w rozważanym okresie czasu;  badania rynku wskazują, że nie więcej niż 20 jednostek produktu pierwszego i nie więcej niż 30 jednostek produktu drugiego.

6. Oznaczmy: - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 1 - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 2 takie, które: i Znaleźć wartości maksymalizują (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) maksymalizują (czyli przechwycone w rozważanym okresie czasu udziały w rynku) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności) Analityczne sformułowanie zagadnienia:

7. Graficzne rozwiązanie zagadnienia Punkty wierzchołkowe:

8. Ogólne sformułowanie wielocelowego zagadnienia programowania liniowego; k - fukncji celu, m - ograniczeń gdzie

9. Wielość funkcji celu Nie będą nas interesowały przypadki, kiedy możliwe jest znalezienie całkowicie optymalnego rozwiązania Np. jeżeli dla przykładowego zagadnienia

10. Mówi się, że jest rozwiązaniem całkowicie optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieje takie, że Wielość funkcji celu Rozwiązanie całkowicie optymalne

11. Optymalizacja z jedną funkcją celu (jednocelowa)  Funkcja celu z odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w R  W R istnieje naturalny kanoniczny porządek Konsekwencja:  Zdefiniowanie optymalnego rozwiązania np. minimalizacji jest proste

12. Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)  Funkcja celu z=[z1, z2, ......, zK] odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w RK, K>1  Problem: W RK nie istnieje naturalny kanoniczny porządek Konsekwencja:  Istnieją różne pojęcia optymalności, które zależą od wybranego w RK porządku

13. Wielość funkcji celu Weźmy przykład – dwucelowe zagadnienie programowania liniowego

14. Przedstawienie w przestrzeni opcji decyzyjnych (w przestrzeni decyzji)

15. Transformacja

16. Przedstawienie w przestrzeni kryteriów (w przestrzeni celów)

17. Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Wybór porządku zależy od problemu decyzyjnego  Jeżeli można podać ranking funkcji celu – np. z1 jest ważniejsza niż z2 , wybrany zostanie porządek leksykograficzny

18. Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)  Jeżeli interesują nas rozwiązania dla których poprawienie wartości jednej funkcji np. z1 nie może się odbyć bez pogorszenia co najmniej jednej z pozostałych, wybrany zostanie porządek Pareto

19. Stożki nierówności Pareto Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Ilustracja nierówności Pareto

20. Rozwiązanie optymalne w sensie Pareto (rozwiązanie Pareto optymalne) Rozwiązanie jest nazywane Pareto optymalnym (zagadnienie minimalizacji), jeżeli nie istnieje Określenia:  Jeżeli jest rozwiązaniem Pareto optymalnym, to o jest nazywany punktem efektywnym  Jeżeli oraz i mówimy, że dominuje nad oraz, że dominuje nad

21. Graficzne wyznaczenie zbioru Pareto dla rozważanego przykładu a) w przestrzeni decyzji

22. b) w przestrzeni celów

23. z2 Gorsze Nieporównywalne Lepsze Nieporównywalne z1 Wykorzystanie stożków Pareto (przypadek minimalizacji)

24. Słabe rozwiązanie Pareto optymalne) Rozwiązanie jest nazywane słabym rozwiązaniem Pareto optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli nie istnieje inny takie, że

25. Alternatywy I. Wykorzystanie klasycznych metod optymalizacji jednocelowej operujących na pojedynczych punktach przestrzeni decyzyjnej – poszukiwany jest jeden punkt zbioru Pareto – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się przed optymalizacją II. Wykorzystanie metod optymalizacji operujących na populacjach punktów przestrzeni decyzyjnej (np.. algorytmy genetyczne) – poszukiwanie zbioru punktów Pareto – wyrażenie preferencji po optymalizacji

26. Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych 1. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zamianę wszystkich funkcji celu poza jedną w ograniczenia

27. Przykład Przyjmiemy całkowity zysk jako pojedynczy cel i będziemy traktować powiększenie udziału na rynku jako ograniczenie. To ostatnie przekształcenie możemy zrealizować przez przyjęcie pewnego akceptowalnego lub pożądanego powiększenia udziału na rynku. Przykładowo przyjmijmy, że takim pożądanym powiększeniem udziału na rynku jest 100. Model naszego przykładowego problemu będzie miał wówczas postać taki, które: Znaleźć wartości i (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) maksymalizują spełniając: (pożądane powiększenie udziału na rynku) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

28. Graficzne rozwiązanie Punkty wierzchołkowe Rozwiązanie optymalne

29. Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Wady • Jeżeli nie jesteśmy ostrożni (i/lub szczęśliwi), konwersja celu w (twarde) ograniczenie może prowadzić do modelu, który jest matematycznie niedopuszczalny • (np. w naszym przykładzie, jeżeli użylibyśmy wartości 120 zamiast 100 dla PS ograniczenia powiększenia udziałów na rynku, nasz model byłby matematycznie niedopuszczalny)

30. Wady  Przetworzony cel, lub cele, są traktowane jako twarde ograniczenia przez algorytmy PL. Zatem jeżeli nawet bylibyśmy skłonni pogodzić się z udziałem mniejszym niż 100 w rozważanym okresie, rozwiązanie takie nie zostanie wygenerowane przez algorytmy PL  Ma miejsce duża subiektywność w wyborze pojedynczego celu, który będzie wykorzystany w przetransformowanym modelu - wynik może różnić się istotnie w zależności od wyboru

31. Graficzna ilustracja Znalezione rozwiązanie

32. Pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez transformację części funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności? Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ograniczenia (MO) (ang. constraint method) lub metodą 

33. Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ograniczenia Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ograniczenia (MO)

34. Jeżeli jest unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MO, dla pewnych wartości to jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Jeżeli unikatowość rozwiązania zagadnienia MO nie jest gwarantowana, wówczas jedynie słabe rozwiązanie Pareto optymalne jest gwarantowane Twierdzenie MO1

35. Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadniena MO, dla pewnych wartości Twierdzenie MO2

36. Przykład:

37. Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych 2. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez agregację funkcji celu (metoda ważenia (ang. weighting method))

38. Przykład Jeden cel mierzony jest w dolarach (zysk) a drugi w uzyskiwanym udziale na rynku (np. pewna miara ,,lojalności" kupujących dany produkt przejawiająca się w większym prawdopodobieństwie powtórzenia zakupu danego towaru). Jeżeli można przetworzyć jeden z nich, powiedzmy pozyskane udziały na rynku, w dolary zysku (lub alternatywnie, dolary zysku w jednostki udziału na rynku), to będziemy mogli złożyć obydwa cele w jeden, który będzie mierzony w jednakowych jednostkach

39. takie, które: Znaleźć wartości i (zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności) maksymalizują spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności) Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla naszego przykładu, wybrać wagi: dla pierwszego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uzyskamy wówczas następujący model naszego zagadnienia:

40. Graficzne rozwiązanie Rozwiązanie optymalne

41. Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Wady  Istotny czas i ostrożność są potrzebne dla określenia odpowiednich wag

42. Graficzna ilustracja Znalezione rozwiązanie

43. Podobnie jak poprzednio, pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zaproponowanie zagregowanej – ważonej funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności?

44. Sformułowanie oryginalne (WCPL) Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ważenia Sformułowanie metody ważenia (MW) gdzie

45. Jeżeli jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości to jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Warunek twierdzenia może być zamieniony innym brzmiącym: unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości Twierdzenie MW1

46. Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadnienia MW, dla pewnych wartości Geometrycznie dla przypadku ogólnego k funkcji celu, czyli w przestrzeni celów jest hiperpłaszczyzną z normalnym do niej wektorem Twierdzenie MW2

47. Rozwiązując zagadnienie MW dla danych wartości uzyskujemy najmniejszą wartość dla której hiperpłaszczyzna ważonej funkcji celu staje się hiperpłaszczyzna podpierającą zbioru rozwiązań dopuszczalnych

48. Dziękuję za uwagę Zapraszam na kolejny wykład