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Erde, Mond und die Gravitationskonstante

Erde, Mond und die Gravitationskonstante. Franz Embacher Fakultät für Physik der Universität Wien Vortrag im Rahmen der Lehrerfortbildungstagung ASTRONOMIE Friedrich-Schiller-Universität J ena, 15. – 17. Juli 2013. Wie groß sind Erde und Mond? Wie weit ist der Mond von der Erde entfernt?

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Erde, Mond und die Gravitationskonstante

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Presentation Transcript

  1. Erde, Mond und die Gravitationskonstante Franz Embacher Fakultät für Physikder Universität Wien Vortrag im Rahmen der Lehrerfortbildungstagung ASTRONOMIE Friedrich-Schiller-Universität Jena, 15. – 17. Juli 2013

  2. Wie groß sind Erde und Mond? • Wie weit ist der Mond von der Erde entfernt? • Welche Masse hat die Erde? • Welchen Wert hat die im Newtonschen Gravitationsgesetz auftretende Gravitationskonstante? Fragen…

  3. Wie groß sind Erde und Mond? • Wie weit ist der Mond von der Erde entfernt? • Welche Masse hat die Erde? • Welchen Wert hat die im Newtonschen Gravitationsgesetz auftretende Gravitationskonstante? Fragen… … und woher kennen wir die Antwortenauf diese Fragen?

  4. Gravitationskonstante … hat Henry Cavendish im Labor gemessen • Radius der Erde … hat Eratosthenes von Kyrene bestimmt • Masse der Erde … aus der Formel für die Erdbeschleunigung • Größe und Entfernung des Mondes … durch Beobachtung einer Mondfinsternis und durch zeitgleiche Beobachtung des Mondes von unterschiedlichenPositionen auf der Erde Antwortmöglichkeiten 1

  5. Gravitationskonstante … hat Henry Cavendish im Labor gemessen • Radius der Erde … hat Eratosthenes von Kyrene bestimmt • Masse der Erde … aus der Formel für die Erdbeschleunigung • Größe und Entfernung des Mondes … durch Beobachtung einer Mondfinsternis und durch zeitgleiche Beobachtung des Mondes von unterschiedlichenPositionen auf der Erde nicht leicht durchführbar Antwortmöglichkeiten 1 nicht leicht durchführbar nicht leicht durchführbar

  6. In der Regel wird das Ergebnis den SchülerInnen lediglich mitgeteilt. • Gravitationskonstante … hat Henry Cavendish im Labor gemessen • Radius der Erde … hat Eratosthenes von Kyrene bestimmt • Masse der Erde … aus der Formel für die Erdbeschleunigung • Größe und Entfernung des Mondes … durch Beobachtung einer Mondfinsternis und durch zeitgleiche Beobachtung des Mondes von unterschiedlichenPositionen auf der Erde nicht leicht durchführbar Antwortmöglichkeiten 1 nicht leicht durchführbar In der Regel wird das Ergebnis den SchülerInnen lediglich mitgeteilt. In der Regel wird das Ergebnis den SchülerInnen lediglich mitgeteilt. nicht leicht durchführbar

  7. Theoretische Voraussetzung: • NewtonschesGravitationsgesetz • ein bisschen Geometrie und Algebra • Vier Beobachtungsdaten: • Erdbeschleunigung • ( ) • Umlaufzeit des Mondes • ( Wochen) • Scheinbare Größe des Mondes • ( Winkelgrad) • Größe des Erdschattens auf dem Mond • ( mal der Größe des Mondes) •  bestimmen: , , und ! Antwortmöglichkeiten 2a

  8. Theoretische Voraussetzung: • NewtonschesGravitationsgesetz • ein bisschen Geometrie und Algebra • Vier Beobachtungsdaten: • Erdbeschleunigung • ( ) • Umlaufzeit des Mondes • ( Wochen) • Scheinbare Größe des Mondes • ( Winkelgrad) • Größe des Erdschattens auf dem Mond • ( mal der Größe des Mondes) •  bestimmen: , , und ! Antwortmöglichkeiten 2a Alternative bzw. ergänzende sachlogische Vorgangsweise für die Sek II

  9. Newtonsches Gravitationsgesetz mit als unbekannt angenommener Gravitationskonstante . Theoretische Voraussetzungen

  10. Newtonsches Gravitationsgesetz mit als unbekannt angenommener Gravitationskonstante . Grundgesetzder Mechanik Theoretische Voraussetzungen

  11. Newtonsches Gravitationsgesetz mit als unbekannt angenommener Gravitationskonstante . Grundgesetzder Mechanik Theoretische Voraussetzungen 3. Keplersches Gesetz für (kreisförmigen) Mondumlauf Erdbeschleunigung

  12. Weitere Voraussetzungen: • Strahlensatz • Satz von Pythagoras • elementare algebraische Umformungen • Näherungen: • Erde und Mond sind Kugeln. • Erdposition ist fixiert. • Mond umläuft die Erde auf einer Kreisbahn. • Sonne und Mond werden unter dem gleichen Winkel gesehen. • Weitere Näherungen: Erdumlauf um die Sonne wird vernachlässigt, Erdatmosphäre wird vernachlässigt. Voraussetzungen | Näherungen

  13. Worum es (hier) in erster Linie geht: • Verwendung von Größen, die der Anschauung leicht zugänglich sind, • deren Werte größenordnungsmäßig bekannt sind oder leicht (näherungsweise) in Erfahrung gebracht werden können, • die (zumindest zum Teil) von SchülerInnen selbst gemessen werden können • und die mit den gesuchten Größen in einen physikalischen (SchülerInnen bekannten) Zusammenhang gebracht werden. • Worum es (hier) in erster Linie nicht geht: • Präzisionsaussagen • Problematisierung von Messfehlern und unberücksichtigten Effekten Worum es (nicht) geht

  14. Der Wert der Erdbeschleunigung • kann in einem Fallexperiment bestimmt werden • und ist im Physikunterricht gut etabliert. • Der „Idealwert“ ist:(Der wahre Wert hängt vom Ort auf der Erdoberflächeab und variiert um einige Promille.) Erdbeschleunigung

  15. Relevant ist der siderische Monat, d.h. die Zeitspanne, nach der sich die beobachtete Stellung des Mondes relativ zu den Fixsternen wiederholt. • Seine Messung erfordert die Beobachtung des Mondes über längere Zeiten, • aber im Prinzip ist klar, wie sie durchgeführt wird, und die Größenordnung des Ergebnisses ist wohlbekannt( Wochen). • Der „Idealwert“ ist: Umlaufzeit des Mondes

  16. Der synodische Monat, nach dem sich die Mondphasen wiederholen, ist • mit ganztägiger Genauigkeit als Zeitspanne zwischen zwei Vollmonden aus einem Kalender zu ermitteln, aber • um 2 Tage länger als der siderische Monat (im Mittel Tage), • physikalisch hier eigentlich nicht zulässig, • und seine Verwendung bewirkt einen Fehler von 15 bis 30% in den Endergebnissen. • Daher ist von dieser vermeintlichen Vereinfachung eher abzuraten. Eine Verlockung…

  17. Das Verhältnis kann mit einem Lineal gemessen werden: Monddurchmesser : Mondentfernung

  18. Der „Idealwert“ ist:(das entspricht Winkelgrad). Anmerkung: Aufgrund des variierenden Erde-Mond-Abstands schwankt zwischen und . Monddurchmesser : Mondentfernung

  19. Das Verhältnis kann aus der Aufnahme einer Mondfinsternis (genauer: Kernschattenfinsternis) ermittelt werden: Größe der Erde : Größe des Mondes http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Mondfinsternis_2008-08-16.jpg

  20. Dabei ist allerdings zu bedenken, dass Kernschattenradius Erdradius ! (Hipparchos, zweites vorchristliches Jahrhundert) Größe der Erde : Größe des Mondes

  21. Größe der Erde : Größe des Mondes Da wir Sonne und Mond unter dem gleichen Winkel sehen, gilt daher und folglich

  22. Geometrische Auswertung (etwa anhand eines Papierausdrucks): Satz von Pythagoras: und daraus: Erde : Mond

  23. Geometrische Auswertung (etwa anhand eines Papierausdrucks): Satz von Pythagoras: und daraus: Erde : Mond abmessen! berechnen!

  24. Typischer Papierausdruck: daher und („Idealwert“) Erde : Mond

  25. Anmerkung zur Genauigkeit der Bestimmung von : • Fehlerquelle Erdatmosphäre: • Schattengrenze unscharf undu.U. schwer zu lokalisieren • Schattenvergrößerung um 2% • Fehlerquelle Konstrastverstärkung(digitales Rendering) Größe der Erde : Größe des Mondes http://www.dangl.at/2008/mf080816/mf080816e.htm http://www.martin-wagner.org/totale_mondfinsternis_maerz_2007.htm

  26. Zusammenfassung: Idealwerte

  27. Bestimmung von , , und

  28. bekannt! bekannt! Bestimmung von , , und bekannt! bekannt! Vier Gleichungen fürvier Unbekannte: , , und !  nach den Unbekannten auflösen!

  29. Nach den Unbekannten aufgelöst: Jede der vier Größen , , und ist nötig! Bestimmung von , , und

  30. Die numerischen Ergebnisse mit den „Idealwerten“ sind: Bestimmung von , , und

  31. Die numerischen Ergebnisse mit den „Idealwerten“ sind: mittlerer Erdradius: 6371.0 km Bestimmung von , , und mittlerer Mondradius: 1737 km mittlere Erde-Mond-Distanz: 384400 km geozentrische Gravitationskonstante: 3.986004418·1014 m3/s2(World Geodetic System 1984) Abweichungen von den wahren (mittleren) Werten < 1% !

  32. Einfluss von Messfehlern und unberücksichtigten Effekten: Bestimmung von , , und

  33. Bisher bestimmt, aber nicht und ! • Tieferer Grund: • Struktur des Newtonschen Gravitationsgesetzes • Gleichheit von träger und schwerer Masse! • Eines der großen Probleme der Astronomie des17. und 18. Jahrhunderts! Antwortmöglichkeiten 2b wobei kürzt sich aus der Bewegungsgleichung heraus (links als träge Masse und rechts als schwere Masse)!  Massen können nicht durch die Beobachtung rein gravitativ bestimmter Bewegungen bestimmt werden!

  34. Massen können nicht durch die Beobachtung rein gravitativ bestimmter Bewegungen bestimmt werden! •  Zur Bestimmung von und müssen nicht-gravitativeKräfte einbezogen werden: • Mit kleinen Massen: Experiment vonHenry Cavendish (1798) undnachfolgendeVerbesserungen(LorándEötvös,…): Gravitations-Drehwaage • Mit großenMassen:Isaac Newton: Näherungswertder Gravitationskonstante durchAbschätzung der Dichte der Erde! Erdmasse und Gravitationskonstante

  35. Massen können nicht durch die Beobachtung rein gravitativ bestimmter Bewegungen bestimmt werden! •  Zur Bestimmung von und müssen nicht-gravitativeKräfte einbezogen werden: • Mit kleinen Massen: Experiment vonHenry Cavendish (1798) undnachfolgendeVerbesserungen(LorándEötvös,…): Gravitations-Drehwaage • Mit großenMassen:Isaac Newton: Näherungswertder Gravitationskonstante durchAbschätzung der Dichte der Erde! Erdmasse und Gravitationskonstante

  36. Wie kann die Dichte der Erde abgeschätzt oder zumindest plausibel eingegrenzt werden? • Dichte oberflächennaher Gesteine: • Im Erdinneren ist die Dichte sicher größer als an der Oberfläche (physikalische Argumente: Absinken, Druck) • Allgemeine Eigenschaft von festen und flüssigen Stoffen: Dichten variieren in einem überschaubaren Bereich(von etwa bis )! • Physikalischer Grund: Atome sind sehr robust (und ihre Größe variiert nicht sehr stark) – dank der elektromagnetischen Wechselwirkung und ihrer Quantennatur! Erdmasse und Gravitationskonstante

  37. Zwei mögliche Strategien: • „Gut raten“: Veranschlagen einen Faktor 2 im Vergleich zu Oberflächengestein:Damit ergibt sich(wahrer Wert: ) und(wahrer Wert: ). Erdmasse und Gravitationskonstante

  38. Zwei mögliche Strategien: • „Gut raten“: Veranschlagen einen Faktor 2 im Vergleich zu Oberflächengestein:Damit ergibt sich(wahrer Wert: ) und(wahrer Wert: ). Erdmasse und Gravitationskonstante Newton hat „geraten“: Dichte der Erde = 5 mal der Dichte von Wasser.

  39. Seriöse Eingrenzung: • Selbst wenn die Erde im Inneren aus schwersten Metallen besteht, kann erwartet werden:Damit ergibt sichund Erdmasse und Gravitationskonstante

  40. Fragen an die SchülerInnen: • Warum hat die Masse des Mondes keine Rolle gespielt (und konnte daher auch nicht ermittelt werden)? • Kann dieses Verfahren auch dazu verwendet werden, um die Größe der Sonne und ihre Entfernung (die „Astronomische Einheit“) zu bestimmen? Physikalische Nachbemerkungen

  41. Fragen an die SchülerInnen: • Warum hat die Masse des Mondes keine Rolle gespielt (und konnte daher auch nicht ermittelt werden)? • Kann dieses Verfahren auch dazu verwendet werden, um die Größe der Sonne und ihre Entfernung (die „Astronomische Einheit“) zu bestimmen? • Antworten: • In einem System „Zentralkörper + Satellit“ kann (bei bekanntem ) aus der Bewegung nurdie Masse des Zentralkörpers bestimmt werden!(Grund: träge = schwere Masse, Methode: Kepler 3) • Unsere genauesten Daten der Planetenmassen: von der Bewegung künstlicher Satelliten! Physikalische Nachbemerkungen Nein!

  42. Antworten: • Ohne genaue Kenntnis der Massen (im 17./18. Jahrhundert) konnte die Newtonsche Theorie nur die Verhältnisse von Distanzen im Sonnensystem angeben und vorhersagen, nicht aber die absoluten Distanzen. • Die Astronomische Einheitwurde im 18. und 19.Jahrhundert parallaktischbestimmt (Venustransit). Physikalische Nachbemerkungen

  43. Antworten: • Ohne genaue Kenntnis der Massen (im 17./18. Jahrhundert) konnte die Newtonsche Theorie nur die Verhältnisse von Distanzen im Sonnensystem angeben und vorhersagen, nicht aber die absoluten Distanzen. • Die Astronomische Einheitwurde im 18. und 19.Jahrhundert parallaktischbestimmt (Venustransit). Physikalische Nachbemerkungen http://apod.nasa.gov/apod/image/1206/VenusTransit2012_Hetlage.jpg

  44. Diese Präsentationfinden Sie am Web unterhttp://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Rel/EMG/ Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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