Cellulaire Automaten

1. Cellulaire Automaten Ronald Westra Systems Theory Group Department of Mathematics Maastricht University The Netherlands westra@math.unimaas.nl.

2. CELLULAIRE AUTOMATEN (CA) • Basis theorie van CA • Voorbeelden van evoluties van CA patronen • De CA als model van een dynamisch systeem met lokale dynamica • CA patronen in de natuur • Evolutie van steden • Hydro en aero-dynamica met CA • Complexiteit van CA • Cryptography en supercomputing

3. CELLULAIRE AUTOMATEN • Basis theorie van Cellulaire Automaat • Een cellulaire automaat is een verzameling van identieke entiteiten, de cellen. deze cellen kunnen geindexeerd worden, bijvoorbeeld cel[1], cel[2], …, cel[100]. •  Elke cel kan slechts in één van een eindig aantal toestanden (engels: states) aannemen. Deze toestanden kunnen dus genummerd of gecodeerd worden als {0, 1, …, K} of {rood, geel, blauw} of {blij, verdrietig, zwanger}. Bovendien is voor elke cel cel[i] een omgeving gedefinieerd, namelijk als een deelverzameling van de cellen. Het meest eenvoudig is de topology

4. voorbeeld van CELLULAIRE AUTOMATEN The Game of Life [ James Conway, 1970 ] www demo’s: http://www.bitstorm.org/gameoflife/ http://world.std.com/~bgw/applets/1.02/Life/Life.html • Rules • For a space that is populated: • Each cell with one or no neighbors dies, as if by loneliness. • Each cell with four or more neighbors dies, as if by overpopulation. • Each cell with two or three neighbors survives. • For a space that is empty • Each cell with three neighbors becomes populated.

5. C3 C1 C2 C4 C5 C6 Elementen van de Cellulaire Automaat 1: de cellen

6. Elementen van de Cellulaire Automaat 2: de toestand (state) Sbijvoorbeeld: {0,1,…,K} of {rood,groen,geel,blauw} C3 C1 C2 C4 C5 C6

7. Elementen van de Cellulaire Automaat 3: de omgeving (neighborhood)bijvoorbeeld: naaste buren (next neighbours) C3 C1 C2 C4 C5 C6 buur buur cel

8. Elementen van de Cellulaire Automaat 4: de lokale regel(local rule)bijvoorbeeld: Si= (Si-3, Si-2,…, Si+2, Si+3, )

9. Voorbeeld van een Cellulaire Automaat • 1D keten • Neighborhood: linker- en rechtercel • twee states: {0,1} (0 = zwart, 1 = wit } • regel: si(t+1) = f(si-1(t), si(t), si+1(t))

10. Voorbeeld van een Cellulaire Automaat • Let op: • daar er maar twee states zijn; {0,1} zijn er slechts een eindig aantal triples: {si-1(t), si(t), si+1(t)} en wel 2x2x2 = 8 triples • voor elk van deze acht triples kunnen we twee nieuwe waarden definieren, namelijk: {0,1} • er zijn dus maximaal 28 = 256 verschillende functies mogelijk !

11. Voorbeeld van een Cellulaire Automaat • we kunnen de functies dus nummeren van 0 to 255 • we kunnen deze functies als logische functies weergeven, bv: f(s0) = (not(s-1) andnot(s0)) or (not(s-1) andnot(s1)) • hier de eerste 34 voorbeelden van alle 256 mogelijke functies:

12. De eerste 34 van alle 256 mogelijke functies:

13. Berekening volgende toestand oud 1 1 0 f(s0) = (not(s-1) andnot(s0)) or (not(s-1) andnot(s1)) nieuw 0

14. t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = n Iteratie van toestanden door de tijd ……….

15. Evolutievanbinaire cellulaire automatenmetverscheidene lokaleregels . De initieletoestand is ongeordend. Horizontaal naar beneden staan de opeenvolgende toestenden. Dit laat vier klassen zien [uit: S. Wolfram, Computation theory of CAs].

16. Voorbeelden van 1D-CA’s vanuit een startpunt met verschillende propagatie regels. [uit: S. Wolfram, 2D CA’s].

17. CA Patroon op de schelp van de Zeeslak ConusArticulata

18. 2D Cellulaire Automaten Zelfde ingredienten: cel, toestand, Omgeving ( topologie) propagatie regel

19. Topologie cartesische omgevingsstruktuur Neighborhood voor 2D Cellulaire Automaten. [uit: S. Wolfram, 2D CA]. Nadeel: zijkanten grenzen maar met één punt.

20. Topologie hexagonale omgevingsstruktuur

21. Voorbeelden van 2D Cellulaire Automaten en hun 1D analogon. [uit: S. Wolfram, 2D CA].

22. Meer voorbeelden van 2D Cellulaire Automaten en hun 1D analogon. [uit: S. Wolfram, 2D CA].

23. Meer voorbeelden van 2D Cellulaire Automaten en hun 1D analogon. [uit: S. Wolfram, 2D CA].

24. Meer voorbeelden van 2D Cellulaire Automaten en hun 1D analogon. [uit: S. Wolfram, 2D CA].

25. Voorbeelden van 2D Cellulaire Automaten Enkele voorbeelden en toepassingen van 2D CA’s 1. Chemisch-fysische diffusie patronen etc.: http://cell-auto.com/ 2. Propagatie van polariteitsgolven over hartwanden: http://www.cnd.mcgill.ca/bios/bub/CAs.html

26. Meer toepassingen 2D Cellulaire Automaten Turbulentie en stromingspatronen

27. Stromingspatroon in vloeistof gegenerreerd met CA met 4096 x 2048 cellen met 6 toestanden per cel.

28. Stromingspatroon in vloeistof gegenerreerd met CA met 4096 x 2048 cellen met 6 toestanden per cel.

29. Meer toepassingen 2D Cellulaire Automaten Modelering van groei en oppervlakte gebruik van bevolkingscentra. http://www.riks.nl/RiksGeo/projects/modulus/Evaluation.pdf http://www.geo.ucl.ac.be/LUCC/MODLUC_Course/PDF/G.%20Engelen%20a.pdf

30. Meer toepassingen 2D Cellulaire Automaten: Modelering van groei en oppervlakte gebruik van bevolkingscentra[uit: http://www.riks.nl/RiksGeo/projects/modulus/Evaluation.pdf].

31. Cellulaire Automaten als Dynamische Systemen Cellulaire automaten kunnen beschouwd worden als dynamische systemen met de volgende dynamica: x0(t+1) = f(x0(t), x1(t), x2(t), … , xn(t)) waarbij {x1, x2, … , xn} de waarden van de states van de buren van x0 zijn. f stelt de propagatieregel voor.

32. Cellulaire Automaten als Dynamische Systemen De regelsf kunnen als gerichte graph (graaf) worden weergegeven:

34. Equivalentieklassen voor Cellulaire Automaten • Ondanks alle verscheidenheid in uiterlijk zijn er vier fundamentele klassen te onderscheiden in de dynamica van CA: • Klasse 1evolutie leidt totéén homogene toestandbv, allecellen de waarde 0; • Klasse 2evolutie leidt toteenverzameling stabiele of periodieke structuren; • Klasse 3evolutie leidt toteen chaotisch patroon; • Klasse 4evolutie leidt tot complexeen persistente structuren.

35. Vier equivalentie klassen voor de dynamica van 1D-CA’s. [uit: S. Wolfram, Cellular Automata].

36. Cellulaire Automaten als Dynamische Systemen Self Organisation: Terwijl de meeste systemen streven naar maximale entropie en dus maximale chaos, staan CAs juist toe dat orde uit chaos ontstaat. Universal Computability: de verzameling regels bevat elke berekenbare functie (computable function) in het domeingebied [dus hier de mappings van invoer- naar uitvoer-states]

37. Cellulaire Automaten als Dynamische Systemen Toepassing van Universal Computability: Cryptografie: coderen en decoderen van berichten.

38. Referenties/links CELLULAIRE AUTOMATEN Veel informatie (waaronder enkele van de gebruikte afbeeldingen) stammen uit: http://www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca http://www.mat.ucsb.edu/~g.legrady/academic/courses/04s102/ca.html http://www.brunel.ac.uk/depts/AI/alife/al-ca.htm Applets: http://cell-auto.com/ Conway: Game of Life: http://www.bitstorm.org/gameoflife/

39. opgave CELLULAIRE AUTOMATEN Vind enkele stabiele oplossingen van Conway’s Game of Life

40. Modelling and Identification of dynamical gene interactions Ronald Westra, Ralf Peeters Systems Theory Group Department of Mathematics Maastricht University The Netherlands westra@math.unimaas.nl.

42. Themes in this Presentation • How deterministic is gene regulation? • How can we model gene regulation? • How can we reconstruct a gene regulatory network from empirical data ?

43. 1. How deterministic is gene regulation? Main concepts: Genetic Pathway and Gene Regulatory Network

44. What defines the concepts of agenetic pathwayand agene regulatory networkand how is it reconstructedfrom empirical data ?

45. G1 G2 G6 G3 G4 G5 Genetic pathway as astatic and fixed model

46. G1 G2 G6 G3 G4 G5 Experimental method:gene knock-out

47. How deterministic is gene regulation? Stochastic Gene Expression in a Single Cell M. B. Elowitz, A. J. Levine, E. D. Siggia, P. S. Swain ScienceVol 297 16 August 2002

50. A B